UNS Systèmes dynamiques M1 2017-2018
3. Étude qualitative des systèmes diérentiels : portraits de phase, stabilité
Exercice 3.1. Portraits de phase. Donner l'allure du portrait de phase des systèmes
diérentiels suivants.
x0=y−sin(x) y0 =x4−y x0=x−14x2−xy
y0 = 2y−y2−xy . x0 =x−y2
y0= (y−1−x)2
Exercice 3.2. Système de Lotka-Volterra. On xe des paramètres strictement positifs α,β, γ etδ. On souhaite étudier le système diérentiel suivant (qui modélise l'évolution de populations de prédateurs et de proies au cours du temps) :
(LV)
x0=αx−βxy y0=−γy+δxy .
1. Déterminer, pour des réelsxet y,ϕt(x,0)etϕt(0, y), oùϕest le ot associé à (LV). 2. Montrer que toute trajectoire qui contient un point du cadran
C={(x, y), x >0, y >0}
est incluse dansC.
3. Dresser l'allure de la restriction àC du portrait de phase associé à(LV). 4. On note
C1=n
x < γδ, y > αβo
C2=n
x < γδ, y < αβo
C3=n
x > γδ, y < αβo
C4=n
x > γδ, y > αβo D1=n
x= γδ, y > αβo .
Démontrer qu'une solutionψ de(LV) telle que ψ(0) ∈D1 visite successivement les régionsC1,C2,C3,C4 puis revient surD1.
5. Déterminer une intégrale première de(LV)dénie surCde la formeI(x, y) =F(x) + G(y). En déduire que les solutions de(LV)incluses dansC sont dénies surR.
6. Montrer que les orbites de(LV)contenues dansCsont toutes périodiques. Indication : on pourra montrer que l'intégrale premièreIdéterminée lors de la question précédente est injective surD1.
Exercice 3.3. On noteg: [0,+∞[→Rla fonction dénie par g(r) = r3sin(1r)sir >0
g(0) = 0 .
On considère le système diérentiel donné en coordonnées polaires par θ0 = 1
r0 = g(r) .
1. Pourquoi peut-on appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz à ce système en(r, θ)? 2. Discuter la stabilité de l'origine.
Exercice 3.4. Discuter la stabilité de l'origine pour chacun des systèmes diérentiels sui- vants.
x0 = −2x−3xy y0 = 2x2−y .
x0 = 2y(z−1) y0 = −x(z−1) z0 = −z3
.
Indication : On recherchera une fonction de Lyapounov de la formeax2+by2ouax2+by2+cz2. Exercice 3.5. SoitV :R3→Rune fonctionC∞qui admet un minimum strict en un point x0 ∈R3 et qui n'a pas de point critique sur un voisinage du pointx0 (le gradient de V ne s'annule pas sur un voisinage dex0). Discuter la stabilité de l'équilibrex0 pour chacun des systèmes diérentiels suivants (avecf coecient strictement postif).
x0 =−∇V(x).
x00+f x0+∇V(x) = 0.
x00+∇V(x) = 0.
Exercice 3.6. Dans les deux cas suivants, déterminer les points d'équilibre des champs de vecteurs ci-dessous. Que peut-on dire de leur stabilité en étudiant le linéarisé de ces champs de vecteurs ?
1.
X1
x y
=
−x2−y
−x+y2
. 2.
X2
x y
=
−1 +x2+y2
−x
. Exercice 3.7 On considère le système diérentiel suivant.
x0 = −y−x(x2+y2) y0 = x−y(x2+y2) .
Déterminer les points d'équilibre du système et étudier leur stabilité (on pourra le cas échéant déterminer une fonction de Lyapounov). Sans résoudre le système, discuter le temps d'exis- tence des solutions maximales.
Exercice 3.8 On veut étudier l'équation diérentielle (du pendule)θ00=−sin(θ). 1. Déterminer une intégrale première pour cette équation diérentielle.
2. Étudier le temps d'existence des solutions maximales de cette équation diérentielle.
3. Tracer le portrait de phase associé à ce système diérentiel.
4. Étudier la stabilité des points d'équilibre.
5. Mêmes questions pour l'équation diérentielle (du pendule amorti)θ00=−f θ0−sin(θ), avec f > 0. On recherchera une fonction de Lyapounov au lieu d'une intégrale pre- mière.
Exercice 3.9 On veut étudier le système diérentiel (qui peut modéliser les eectifs de deux populations en interaction).
x0 = −xy−2x2+ 2x y0 = −y2−12xy+y . 1. Déterminer les points d'équilibre et étudier leur stabilité.
2. Montrer que le cadran{x≥0, y≥0}est invariant.
3. Esquisser le portrait de phase associé au système diérentiel dans ce cadran.
4. Discuter le temps d'existence des solutions incluses dans ce cadran.
