Stabilité et stabilisation des systèmes à retards

(1)

Michel

Dambrine

Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis - ENSIAME LAMIH UMR CNRS 8530

[email protected]

EAA 2006, Douz

(2)

Plan

1ère partie : analyse de la stabilité

Définitions

Cas des systèmes linéaires stationnaires Seconde méthode de Lyapunov

Principe de comparaison

(3)

2e partie : commandes stabilisantes

Introduction

Prédicteur de Smith et extensions

Approche algébrique

(4)

Cas des systèmes linéaires stationnaires

Équation et fonction caractéristiques Technique de la D-partition Méthode de Walton et Marshall Autres méthodes

Seconde méthode de Lyapunov

Méthode des fonctions de

Lyapunov-Razumikhin Méthode des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii

Principe de comparaison

Première partie I

Analyse de la stabilité des systèmes à retards

(5)

Définitions Cas des systèmes linéaires stationnaires

Principe de

Définitions

Cas des systèmes linéaires stationnaires Équation et fonction caractéristiques Technique de la D-partition

Méthode de Walton et Marshall Autres méthodes

Seconde méthode de Lyapunov

Méthode des fonctions de Lyapunov-Razumikhin

Méthode des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii

(6)

Notions de stabilité

x (t ; t

0

, ϕ) : solution de l’EDF

(S ) x ˙ (t ) = F (t , x

t

) avec x

t0

= ϕ ∈ C

Mêmes définitions de la stabilité que pour les EDO mais avec la norme de la convergence uniforme pour les C.I. :

kϕk

_C

= sup

−τ≤θ≤0

{kϕ (θ)k}

(7)

Principe de

Définitions : La solution x = 0 de (S) est dite

I

stable si, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(t

₀

, ε) t.q.

kϕk

_C

< δ ⇒ kx(t ; t

0

, ϕ)k < ε, ∀t ≥ t

0

I asymptotiquement stable

si, de plus, il existe

η=δ(t0)

t.q.

kϕk_C < η⇒limt→∞x(t;t0, ϕ) =0

I exponentiellement stable

s’il existe

α, β, γ >0

t.q.

kϕk_C < γ⇒ kx(t;t₀, ϕ)k ≤βkϕk_C e^−α(t−t⁰⁾,

∀t ≥t₀

(8)

Notions de stabilité

Définitions : La solution x = 0 de (S) est dite

I

stable si, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(t

₀

, ε) t.q.

kϕk

_C

< δ ⇒ kx(t ; t

0

, ϕ)k < ε, ∀t ≥ t

0

I

asymptotiquement stable si, de plus, il existe η = δ(t

0

) t.q.

kϕk

_C

< η ⇒ lim

t→∞

x (t ; t

0

, ϕ) = 0

I exponentiellement stable

s’il existe

α, β, γ >0

t.q.

kϕk_C < γ⇒ kx(t;t₀, ϕ)k ≤βkϕk_C e^−α(t−t⁰⁾,

∀t ≥t₀

(9)

Principe de

Définitions : La solution x = 0 de (S) est dite

I

stable si, pour tout ε > 0, il existe δ = δ(t

₀

, ε) t.q.

kϕk

_C

< δ ⇒ kx(t ; t

0

, ϕ)k < ε, ∀t ≥ t

0

I

asymptotiquement stable si, de plus, il existe η = δ(t

0

) t.q.

kϕk

_C

< η ⇒ lim

t→∞

x (t ; t

0

, ϕ) = 0

I

exponentiellement stable s’il existe α, β, γ > 0 t.q.

kϕk

_C

< γ ⇒ kx (t ; t

₀

, ϕ)k ≤ β kϕk

_C

e

^−α(t−t⁰⁾

,

∀t ≥ t

₀

(10)

Influence d’un retard sur la stabilité

I

L’effet déstabilisant des retards est bien connu :

˙

x (t ) = −x (t − h )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1

h=0

h=1

-1

(11)

Principe de

¨

y (t ) + y (t ) − 1

2 y (t − h ) = 0

-1 0 1 2

h = 1

h = 0

(12)

Contenu

Définitions

Cas des systèmes linéaires stationnaires Équation et fonction caractéristiques Technique de la D-partition

Méthode de Walton et Marshall Autres méthodes

Seconde méthode de Lyapunov

Méthode des fonctions de Lyapunov-Razumikhin

Méthode des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii

Principe de comparaison

(13)

Principe de

Équation et fonction caractéristiques

Recherche des solutions exponentielles : x (t ) = exp(st)x

₀

est une solution de

(S ) x ˙ (t ) = A

₀

x (t ) + A

₁

x(t − τ ) si s est solution de l’équation caractéristique

det [sI

n

− A

0

− A

1

exp(−τ s)]

| {z }

p(s, τ )

= 0

(14)

Principe de comparaison I

p(s, τ ) →

fonction caractéristique

c’est un quasi-polynôme : p(s, τ ) = D

₀

(s) +

P_n

i=1

D

_i

(s) exp(−i τ s) avec

• deg(D0(s))>deg(Di(s)) (cas retardé), ou

• deg(D0(s))≥deg(Di(s)) (cas neutre)

I

zéros de p(s, τ ) →

racines caractéristiques.

L’équation caractéristique est transcendantale : il existe un

nombre infini de racines

(15)

Principe de

solutions de s + e = 0 :

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-150 -100 -50 0 50 100 150

Im

(16)

p(s, τ ) est une fonction entière de s :

il ne peut y avoir qu’un nombre fini de zéros dans un ensemble borné de

C

I

Soit

(si)i≥1

une suite infinie de racines caract. t.q.

|s₁| ≤ |s₂| ≤. . .

alors

1. |si| →+∞lorsquei→ ∞, 2. Re(s_i)→ −∞lorsquei→ ∞

I

Pour un

α

donné, il n’existe qu’un nombre fini de racines

s

t.q.

Re(s)> α.

(17)

Principe de I

p(s, τ ) est une fonction entière de s :

il ne peut y avoir qu’un nombre fini de zéros dans un ensemble borné de

C

I

Soit (s

i

)

i≥1

une suite infinie de racines caract. t.q.

|s

₁

| ≤ |s

₂

| ≤ . . . alors

I

Pour un

α

donné, il n’existe qu’un nombre fini de racines

s

t.q.

Re(s)> α.

(18)

p(s, τ ) est une fonction entière de s :

il ne peut y avoir qu’un nombre fini de zéros dans un ensemble borné de

C

I

Soit (s

i

)

i≥1

une suite infinie de racines caract. t.q.

|s

₁

| ≤ |s

₂

| ≤ . . . alors

I

Pour un

α

donné, il n’existe qu’un nombre fini de racines

s

t.q.

Re(s)> α.

(19)

Principe de I

p(s, τ ) est une fonction entière de s :

il ne peut y avoir qu’un nombre fini de zéros dans un ensemble borné de

C

I

Soit (s

i

)

i≥1

une suite infinie de racines caract. t.q.

|s

₁

| ≤ |s

₂

| ≤ . . . alors

I

Pour un

α

donné, il n’existe qu’un nombre fini de racines

s

t.q.

Re(s)> α.

(20)

p(s, τ ) est une fonction entière de s :

il ne peut y avoir qu’un nombre fini de zéros dans un ensemble borné de

C

I

Soit (s

i

)

i≥1

une suite infinie de racines caract. t.q.

|s

₁

| ≤ |s

₂

| ≤ . . . alors

I

Pour un α donné, il n’existe qu’un nombre fini de racines s

t.q. Re(s) > α.

(21)

Principe de

Développement asymptotique de la solution x(t ) x(t ) =

X

i:Resi>α

Q

i

(t )e

^sⁱ^t

+ O(e

^αt

), Q

_i

(t ) = polynômes en t , α ∈

R

t.q. Re(s

_i

) 6= α, ∀i

Condition de stabilité exponentielle :

(S) est exponentiellement stable ssi toutes les racines

caractéristiques sont à Re < 0.

(22)

x(t ) =

X

i:Resi>α

Q

i

(t )e

^sⁱ^t

+ O(e

^αt

), Q

_i

(t ) = polynômes en t , α ∈

R

t.q. Re(s

_i

) 6= α, ∀i

= ⇒

Condition de stabilité exponentielle :

(S) est exponentiellement stable ssi toutes les racines

caractéristiques sont à Re < 0.

(23)

Principe de

Idée : Continuité des zéros de la fonction caractéristique p (s, τ, a, b) par rapport à ses paramètres a , b

a b

Re stable Im instable

Espace des paramètres lieu des racines

(24)

Hypersurfaces = {(a , b) : p(j ω, a , b, τ ) = 0, ω ∈

R

}

⇒ Partition de l’espace des paramètres

a b

D-partition N = cst

N = nombre de racines caract. instables.

Localiser pour quelles régions N = 0.

(25)

Principe de

⇒ Partition de l’espace des paramètres

a b

D-partition N = cst

N = nombre de racines caract. instables.

(26)

Exemple : x(t ˙ ) = −ax (t ) − bx (t − 1)

Équation caractéristique : p(s, a, b) = s + a + be

I p(0,a,b) =0=⇒a+b=0

I p(jω,a,b) =0

=⇒

a +bcosω=0 ω−bsinω =0

I

Si

b=0

et

a >0, alors N =0

(27)

Principe de

Équation caractéristique : p(s, a, b) = s + a + be

I p(0,a,b) =0=⇒a+b=0

I p(jω,a,b) =0

=⇒

I

Si

b=0

et

a >0, alors N =0

(28)

Exemple : x(t ˙ ) = (t ) bx (t 1)

Équation caractéristique : p(s, a, b) = s + a + be

^−s

a a + b = 0 b

I

p(0, a, b) = 0 = ⇒ a + b = 0

I p(jω,a,b) =0

=⇒

I

Si

b=0

et

a >0, alors N =0

(29)

Principe de

Équation caractéristique : p(s, a, b) = s + a + be

a b

I

p(0, a, b) = 0 = ⇒ a + b = 0

I

p(j ω, a, b) = 0

= ⇒

a + b cos ω = 0 ω − b sin ω = 0

I

Si

b=0

et

a >0, alors N =0

(30)

Exemple : x(t ˙ ) = (t ) bx (t 1)

Équation caractéristique : p(s, a, b) = s + a + be

^−s

a b

N = 0

I

p(0, a, b) = 0 = ⇒ a + b = 0

I

p(j ω, a, b) = 0

= ⇒

a + b cos ω = 0 ω − b sin ω = 0

I

Si b = 0 et a > 0, alors N = 0

(31)

Principe de

Idée : Stabilité en fonction de la valeur du retard.

X

h = 0

Im

h = h*

Re stable instable

plan des racines

(32)

Cas simple : p(s, τ ) = n(s) + d (s)e

^−τs

Hyp. : d

^◦

n(s) > d

^◦

d (s).

racine caractéristique s = j ω ?

p(s, τ ) = 0 ⇔ ¯ p(s, τ ) = 0, c’est-à-dire :

n(j ω) + d (j ω)e

^−jωτ

= 0 n(−j ω) + d (−j ω)e

^j^ωτ

= 0

Élimination du terme exponentiel ⇒ équation polynomiale W (ω

²

)

,

n(j ω)n (−j ω) − d (j ω)d (−j ω) = 0

⇒ solutions en nombre fini !

(33)

Principe de

Cas simple : p(s, τ ) = n(s) + d (s)e

^−τs

Hyp. : d

^◦

n(s) > d

^◦

d (s).

Détermination des valeurs de τ pour lesquelles il existe une racine caractéristique s = j ω ?

c’est-à-dire :

n(j ω) + d (j ω)e

^−jωτ

= 0 n(−j ω) + d (−j ω)e

^j^ωτ

= 0

Élimination du terme exponentiel ⇒ équation polynomiale W (ω

²

)

,

n(j ω)n (−j ω) − d (j ω)d (−j ω) = 0

⇒ solutions en nombre fini !

(34)

Cas simple : p(s, τ ) = n(s) + d (s)e

^−τs

Hyp. : d

^◦

n(s) > d

^◦

d (s).

Détermination des valeurs de τ pour lesquelles il existe une racine caractéristique s = j ω ?

p(s, τ ) = 0 ⇔ ¯ p(s, τ ) = 0, c’est-à-dire :

n(j ω) + d (j ω)e

^−jωτ

= 0 n(−j ω) + d (−j ω)e

^j^ωτ

= 0

Élimination du terme exponentiel équation polynomiale W (ω

²

)

,

n(j ω)n (−j ω) − d (j ω)d (−j ω) = 0

⇒ solutions en nombre fini !

(35)

Principe de

Hyp. : d

^◦

n(s) > d

^◦

d (s).

Détermination des valeurs de τ pour lesquelles il existe une racine caractéristique s = j ω ?

p(s, τ ) = 0 ⇔ ¯ p(s, τ ) = 0, c’est-à-dire :

n(j ω) + d (j ω)e

^−jωτ

= 0 n(−j ω) + d (−j ω)e

^j^ωτ

= 0

Élimination du terme exponentiel ⇒ équation polynomiale W (ω

²

)

,

n(j ω)n (−j ω) − d (j ω)d (−j ω) = 0

⇒ solutions en nombre fini !

(36)

1. Stabilité (pôles) pour τ = 0.

2.

Calcul du polynôme

W(ω²).

3.

Recherche des zéros

ω_i² ≥0

de

W(ω²)

4.

Si pas de zéros

>0

de

W(x) =0, stabilité du système =

stabilité pour

τ =0

.Sinon, analyse de l’évolution du lieu

des racines au voisinage des points s=jω_i

signe Re_dτ^ds

s=jωi =signe W⁰(ω_i²)

5.

Détermination des valeurs de

τ

pour lesquelles

s =jω_i

est une racine caractéristique :

e^jωⁱ^τ =−^n(−j_d(−j^ω_ωⁱ⁾

i)

(37)

Principe de

1. Stabilité (pôles) pour τ = 0.

2. Calcul du polynôme W (ω

²

).

3.

Recherche des zéros

ω_i² ≥0

de

W(ω²)

4.

Si pas de zéros

>0

de

stabilité pour

τ =0

.Sinon, analyse de l’évolution du lieu

signe Re_dτ^ds

5.

Détermination des valeurs de

τ

pour lesquelles

s =jω_i

est une racine caractéristique :

i)

(38)

1. Stabilité (pôles) pour τ = 0.

2. Calcul du polynôme W (ω

²

).

3. Recherche des zéros ω

_i²

≥ 0 de W (ω

²

)

4.

Si pas de zéros

>0

de

stabilité pour

τ =0

.Sinon, analyse de l’évolution du lieu

signe Re_dτ^ds

5.

Détermination des valeurs de

τ

pour lesquelles

s =jω_i

est une racine caractéristique :

i)

(39)

Principe de

1. Stabilité (pôles) pour τ = 0.

2. Calcul du polynôme W (ω

²

).

3. Recherche des zéros ω

_i²

≥ 0 de W (ω

²

)

4. Si pas de zéros > 0 de W (x ) = 0, stabilité du système = stabilité pour τ = 0 .Sinon, analyse de l’évolution du lieu des racines au voisinage des points

s=jω_i

signe Re_dτ^ds

5.

Détermination des valeurs de

τ

pour lesquelles

s =jω_i

est une racine caractéristique :

i)

(40)

1. Stabilité (pôles) pour τ = 0.

2. Calcul du polynôme W (ω

²

).

3. Recherche des zéros ω

_i²

≥ 0 de W (ω

²

)

4. Si pas de zéros > 0 de W (x ) = 0, stabilité du système = stabilité pour τ = 0 .Sinon, analyse de l’évolution du lieu des racines au voisinage des points s = j ω

_i

signe Re

_dτ^ds

s=jωi

= signe W

⁰

(ω

_i²

)

5.

Détermination des valeurs de

τ

pour lesquelles

s =jω_i

est une racine caractéristique :

i)

(41)

Principe de

1. Stabilité (pôles) pour τ = 0.

2. Calcul du polynôme W (ω

²

).

3. Recherche des zéros ω

_i²

≥ 0 de W (ω

²

)

4. Si pas de zéros > 0 de W (x ) = 0, stabilité du système = stabilité pour τ = 0 .Sinon, analyse de l’évolution du lieu des racines au voisinage des points s = j ω

_i

signe Re

_dτ^ds

s=jωi

= signe W

⁰

(ω

_i²

)

5. Détermination des valeurs de τ pour lesquelles s = j ω

_i

est une racine caractéristique :

e

^jωⁱ^τ

= −

^n(−j_d(−j^ω_ωⁱ⁾

i)

(42)

p(s, τ ) = (s + 2)

²

− 1

4 e

^−τs

= 0 Stabilité en fonction de τ ?

1. τ =0: p(s,0) = (s+2)²−1 4 =

s+5

2 s+ 3 2

2 pôles stables.

2.

calcul de

W : W(ω²) = (jω+2)²(−jω+2)²− ₄¹₂

= (ω²+4)²−₄¹₂

= (ω²+¹⁵₄)(ω²+ ¹⁷₄) 3. W

n’a pas de racine positive

=⇒

Stabilité asymptotique

∀τ

.

(43)

Principe de

p(s, τ ) = (s + 2)

²

− 1

4 e

^−τs

= 0 Stabilité en fonction de τ ?

1. τ = 0 : p(s, 0) = (s + 2)

²

− 1 4 =

s + 5

2 s + 3 2

2 pôles stables.

2.

calcul de

W : W(ω²) = (jω+2)²(−jω+2)²− ₄¹₂

= (ω²+4)²−₄¹₂

= (ω²+¹⁵₄)(ω²+ ¹⁷₄) 3. W

n’a pas de racine positive

=⇒

Stabilité asymptotique

∀τ

.

(44)

p(s, τ ) = (s + 2)

²

− 1

4 e

^−τs

= 0 Stabilité en fonction de τ ?

1. τ = 0 : p(s, 0) = (s + 2)

²

− 1 4 =

s + 5

2 s + 3 2

2 pôles stables.

2. calcul de W : W (ω

²

) = (j ω + 2)

²

(−j ω + 2)

²

−

₄¹₂

= (ω

²

+ 4)

²

−

₄¹₂

= (ω

²

+

¹⁵₄

)(ω

²

+

¹⁷₄

)

3. W

n’a pas de racine positive

=⇒

Stabilité asymptotique

∀τ

.

(45)

Principe de

p(s, τ ) = (s + 2)

²

− 1

4 e

^−τs

= 0 Stabilité en fonction de τ ?

1. τ = 0 : p(s, 0) = (s + 2)

²

− 1 4 =

s + 5

2 s + 3 2

2 pôles stables.

2. calcul de W : W (ω

²

) = (j ω + 2)

²

(−j ω + 2)

²

−

₄¹₂

= (ω

²

+ 4)

²

−

₄¹₂

= (ω

²

+

¹⁵₄

)(ω

²

+

¹⁷₄

) 3. W n’a pas de racine positive = ⇒ Stabilité asymptotique

∀τ .

(46)

Exemple 2 p(s, τ ) = s + s + 2s + 1 + e Stabilité en fonction de τ ?

1. τ =0: p(s,0) =s³+s²+2s+2= (s+1)(s²+2)

1 racine stable

(−1)

& 2 racines imaginaires pures

(±j√

2) 2.

calcul de

W

3.

Trois zéros réels positifs :s

=0,s =±j√

2

et

s =±j 4.

Évolution des racines

• s=±j√

2 :W⁰(2)>0⇒ Re^ds_dτ ±j√

2>0 Sens déstabilisant

• s=±j :W⁰(1)<0⇒ Re^ds_dτ _±j <0 Sens stabilisant

(47)

Principe de

Stabilité en fonction de τ ?

1. τ = 0 : p(s, 0) = s

³

+ s

²

+ 2s + 2 = (s + 1)(s

²

+ 2) 1 racine stable (−1) & 2 racines imaginaires pures (±j √

2)

2.

calcul de

W

3.

Trois zéros réels positifs :s

=0,s =±j√

2

et

s =±j 4.

Évolution des racines

• s=±j√

2 :W⁰(2)>0⇒ Re^ds_dτ ±j√

(48)

Exemple 2 p(s, τ ) = s + s + 2s + 1 + e Stabilité en fonction de τ ?

1. τ = 0 : p(s, 0) = s

³

+ s

²

+ 2s + 2 = (s + 1)(s

²

+ 2) 1 racine stable (−1) & 2 racines imaginaires pures (±j √

2) 2. calcul de W

W (ω

²

) =

−j

ω

³

+ 2j ω − ω

²

+ 1

2

− 1

= ω

²

(ω

²

− 1)(ω

²

− 2)

3.

Trois zéros réels positifs :s

=0,s =±j√

2

et

s =±j 4.

Évolution des racines

• s=±j√

2 :W⁰(2)>0⇒ Re^ds_dτ

_±j^√₂>0 Sens déstabilisant

(49)

Principe de

Stabilité en fonction de τ ?

1. τ = 0 : p(s, 0) = s

³

+ s

²

+ 2s + 2 = (s + 1)(s

²

+ 2) 1 racine stable (−1) & 2 racines imaginaires pures (±j √

2) 2. calcul de W = ω

²

(ω

²

− 1)(ω

²

− 2)

3. Trois zéros réels positifs :s = 0, s = ±j √

2 et s = ±j 0 n’est pas une racine caract. ⇒ à ignorer

4.

Évolution des racines

• s=±j√

2 :W⁰(2)>0⇒ Re^ds_dτ ±j√

• s=±j :W⁰(1)<0⇒ Re^ds_dτ ±j <0 Sens stabilisant

(50)

Exemple 2 p(s, τ ) = s + s + 2s + 1 + e Stabilité en fonction de τ ?

1. τ = 0 : p(s, 0) = s

³

+ s

²

+ 2s + 2 = (s + 1)(s

²

+ 2) 1 racine stable (−1) & 2 racines imaginaires pures (±j √

2) 2. calcul de W = ω

²

(ω

²

− 1)(ω

²

− 2)

3. Trois zéros réels positifs :s = 0, s = ±j √

2 et s = ±j 4. Évolution des racines

• s=±j√

2 :W⁰(2)>0⇒ Re^ds_dτ ±j√

(51)

Principe de

Stabilité en fonction de τ ?

1. τ = 0 : p(s, 0) = s

³

+ s

²

+ 2s + 2 = (s + 1)(s

²

+ 2) 1 racine stable (−1) & 2 racines imaginaires pures (±j √

2) 2. calcul de W = ω

²

(ω

²

− 1)(ω

²

− 2)

3. Trois zéros réels positifs :s = 0, s = ±j √

2 et s = ±j 4. Évolution des racines

• s=±j√

2 :W⁰(2)>0⇒ Re^ds_dτ ±j√