SMP5
MECANIQUE ANALYTIQUE CHAPITRE IV
EQUATIONS DE LAGRANGE
*/ Principe des puissances virtuelles:
Quelque soit le repère R, quelque soit le système (∑) , à tout instant t et pour tout champ de vitesses virtuelles compatible avec les liaisons principales , la puissance virtuelle des quantités d’accélération de (∑) par rapport à R est égale à la puissance virtuelle de tous les efforts appliqués à (∑) dans R.
I- Puissance virtuelle des quantités d’accélération:
R à rapport par
) ( de on accélérati d'
quantités de
es généralisé s
composante
1,....n i
dm q
P . O ) P
(
où
q dm q
P . O ) P
( q
) ( P donc
dm q q
P . O
) P
(
) ( P : vient il q q
P O
(P) V : de compte en tenant
dm P) ( V . ) P
(
) ( P
: par donnée est
) ( de on accélérati d'
quantités des
) ( P virtuelle puissance
La
P i
n
1 i
*
P i
n
1 i
*
* acc
P 1
* i
* acc 1
* i
*
P
*
* acc
* acc
R
R
R R
i
i i i
n i
i n
i
i
*/ Calcul des i :
,...n.
1 i q
) R ( T q
) R ( T dt
Γ d
: on trouve
dm ) R P
( 2 V
/R) 1 T(
: comme
dm q
) R P
( . V ) R P
( V
dm q
) R P
( . V ) R P
( dt V
d Γ
1,...n
i
q
) R P
( V q
P O dt
d et
q
) R P
( V q
P O
: suivantes propriétés
des compte en tenant
dm q
P O dt
. d ) R P
( V
- dm q
P . O ) R P
( dt V
d
dm q
P . O dt
) R P
( V d
Γ
dm
q P . O ) R P
( γ
Γ ...n 1,
i Pour
i .
i i
P 2
P i
P
. i i
i i
. i i
P i
P i
P i
i
P i
i
II- Equations de Lagrange:
Le principe des puissances virtuelles : (R), (∑), CCV compatible, à t fixé
,...n.
1 i Q
q
) R ( U
q ) R ( T q
) R ( T dt d ) Lq
liaison) de
et donnés ( fs conservati non
efforts les
tous de e généralisé composante
la représente Q
Q q
) R ( U
Q Q
Q et
,...n.
1 i q
) R ( T q
) R ( T dt Γ d
: puisque encore,
ou
,...n.
1 i Q
Γ
: donc
s arbitraire scalaires
q q
Q q Γ
) ( P
) ( P
fs conservati non efforts i i
P i
. i i
fs conservati non efforts i
fs conservati non efforts i i
P fs
conservati non efforts i fs conservati iefforts
itotal
i .
i i
itotal i
* i n
1 i
* i itotal n
1 i
* i i
*
efforts les tous
* acc
Ce sont les n équations de Lagrange du mouvement de (∑) par rapport à R.
*/Démarche d’application:
1- Choix des liaisons principales, sachant que:
la prise d’une liaison holonome principale permet de réduire le nombre des paramètres principaux et donc le nombre des équations de Lagrange et que la prise d’une liaison parfaite principale réduit le nombre de efforts de liaison inconnus dans ces équations.
2- Définir les n paramètres principaux.
3- Construire le champ de vitesses virtuelles compatible avec les liaisons principales.
4-Calculer les énergies cinétique et potentielle compatibles du système étudié 5- Calculer les n composantes de force généralisées des tous les efforts
appliqués au système
6- Etablir le système des n équations de Lagrange
7-Le compléter, éventuellement, par les équations de liaison
complémentaires.
*/ Remarque1:
Il y a autant d’équations de Lagrange que de paramètres principaux.
*/Remarque 2:
Si le système (∑) étudié est conservatif par rapport à R, alors:
R.
à rapport par
) ( de Lagrangien le
est /R) ( U - /R) T(
) ,...q q , q L(
) R ( L où
,...n 1 i 0 q
) R ( L q
) R ( L dt d ) Lq
: oit S
,...n 1 i 0 q
) R ( U ) R ( T q
) R ( U ) R ( T dt
d ) Lq
définition par
q des te indépendan )
,...q q , q ( U ) R ( U : comme
,...n 1 i
q ) R ( U
q ) R ( T q
) R ( T dt d ) Lq
: écrivent s'
Lagrange de
équations Les
s principale et
parfaites sont
liaisons les
et toutes fs
conservati sont
donnés efforts
les tous puisque
0 Q
P n
2 1
i .
i i
i P .
i P i
. n
2 1 P P
i P i
. i i
fs conservati non efforts i
i
Donc le mouvement d’un système conservatif est complètement décrit par la
donnée de son Lagrangien.
*/Remarque 3:
e.
potentiell énergie
une d' dériver cas
certains dans
peuvent nt
entraineme d'
inertie d'
efforts Les
-
) ( à colinéaire toujours
pas est ' n ) / ( puisque général
en pas est l' ne virtuelle
puissance leur
mais nulle rs est toujou Coriolis
de efforts des
réelle puissance
la -
: que Notons
P O' ) / ( Ω ) / ( Ω P O' dt /R
) (R/R Ω d ) /R (O' γ /R) S (P f
: nt entraineme d'
inertie d'
force de densité une
et -
) / ( ) / ( 2 ) / (
f
: Coriolis de
inertie d'
force de densité une
-
: par es représenté inertie
d' forces des
s, extérieure forces
des plus en nt apparaisse ),
( ) (S solide chaque
pour et R Dans
galiléen non
repère )
R(O' et galiléen repère
(O) R Soient
* 0
0 0
0 0
j e
0 C
j 0
P V R
P V
R R R
R R
P V R
R R
S P j
*/Remarque 4:
Les équations de Lagrange relatives à x , y ou z ( resp. ψ,ϴ et ϕ) sont des
combinaisons linéaires des théorèmes de la résultante ( resp. théorèmes des
moments) appliqués aux différents constituants solides de (∑) et projetés sur
les axes correspondants.
cste cos θ
a g m cste z
. G O g m )
(S/R U
) cos (
2 sin 1
2 A 1 ) S ( )..
( II ) S 2 ( ) 1 T(S/R
: sont R
à rapport par
) ( de s compatible e
potentiell et
cinétique énergies
Les
) cos (
w sin u
, u z
) S (
0 0
0 0
0 0 )
( II
est (S) de O en inertie d'
principale matrice
la (S);
de inertie d'
principal repère
un est ) , w , u O;
( R
(S) à lié ) , y , x O;
( R
) , w , u O;
( R
) , v , u O;
( R
fixe ) , y , x O;
( R
(S).
de et , Euler d'
angles les
sont qui principaux paramètres
donc,3 a
On
. 0 ) (O/R V puisque
0 (O) V car 0 (O) V . R P
z R y R x
R R
: effet en nulle;
est O en R réaction la
de virtuelle puissance
la car parfaite est
Elle
. principale t
du temps.e te
indépendan holonome,
est Elle 0.
z y x : fixe"
point O
"
liaison la
est liaison seule
La
O.
en ) S ( de inertie d'
principaux moments
les C et A A, note On
. z a G O que G tel inertie
d' centre de
m, masse de
est (S) O.
fixe point son
de autour z
O axe d'
homogène (S)
révolution de
solide un
d' mouvement le
, g pesanteur de
champ le
dans considère,
On
. ascendante verticale
la est z O où fixe direct, ,
orthonormé repère
un ) , y , x O;
( R Soit
Lagrange.
de Mouvement :
Exemple /
*
0 0
. 2 2 .
.2 . 2
o 0 0 0
0 .
. .
. .
. 0 . 0
o 2
O , 2
u O , 0 1
O , 0
0 0 0
0
*
* R O
* 0
n3 n2 0
0 n1 O
O
0 0
0 0 0
0
O
P
z z
C R
S R
z z
R
C A A S
z
z z
z z
z
I
sin a g m sin H cos sin A
A
: ) L de compte en tenant
encore, ou
sin a g m ) cos (
sin C cos
sin A
A
0 Q et
sin a g m ) R ( U
; ) cos (
sin C cos
sin A
) R ( T
; A ) R ( T ) L
) cos (
C H laquelle dans
mouvement, du
première intégrale
constante
H ) cos (
C
0 )
cos (
d C
0 Q et 0 ) R ( U
; 0 ) R ( T
; ) cos (
C ) R ( T ) L
) cos (
cos C sin
A K laquelle dans
mouvement, du
première intégrale
constante K
) cos (
cos C sin
A
0 )
cos (
cos C sin
d A
0 Q et 0 ) R ( U
; 0 ) R ( T
; ) cos (
cos C sin
A ) R ( T ) L
: sont Lagrange de
équations 3
Les
. . .. 2
. . . .
.. 2 P
. . . .
. 2 .
0 t à .
. .
. .
.
. P . .
0 t à .
2 . .
. 2 .
. .
2 . .
. P 2 .
. .
dt
dt
*/Remarques :
- Le système (∑) est conservatif par rapport à R, l’équation de Lagrange relative à ϴ peut être remplacée par l’intégrale première de l’énergie:
cste
cos θ a
g m )
cos (
2 sin 1
2 A
1
. 2 .2 2
.
. 2
C
- Ces équations de Lagrange peuvent retrouvées en appliquant le théorème du moment dynamique en O à (S) par rapport à R
z rotation la
de axe ' l de direction la
sur équation
cette de
projection )par
u rotation la
de axe ' l de direction la
sur équation
cette de
projection par
)
z rotation de
axe ' l de direction la
sur équation
cette de
projection par
)
: retouve on
G O /
) S
( soit
) S
( . ) ( II ) S
(
R O
O G
O ) ( )
( /
) S
( )
S (
: écrit s' R à rapport par
(S) de O en dynamique
moment du
théorème le
galiléen, étant
R
0 0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
