MECANIQUE QUANTIQUE MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 3: Chapitre 3: Solutions stationnaires de Solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger l’équation de Schrödinger

MECANIQUE QUANTIQUE MECANIQUE QUANTIQUE

Chapitre 3:

Chapitre 3:

Solutions stationnaires de Solutions stationnaires de

l’équation de Schrödinger l’équation de Schrödinger

Pr. M. ABD

Pr. M. ABD- -LEFDIL LEFDIL

Université Mohammed V

Université Mohammed V- - Agdal Agdal Faculté des Sciences

Faculté des Sciences

Département de Physique Département de Physique Année universitaire 07 Année universitaire 07- -08 08 Filières SM

Filières SM- -SMI SMI

On a vu que l’équation de Schrödinger dépendante du temps était donnée par:

) t , r ( ( ) t , r ( m V

2 t

) t , r i (

2 → →

→

 ψ



 



 − ∆ +

∂ = ψ

∂ h

h

Lorsque le potentiel V est indépendant du temps V(r,t)=V(r), l'équation de Schrödinger devient:

) t , r ( H ) t , r ( ) r ( m V

2 t

) t , r i (

2 → → →

→

ψ

=

 ψ



 



 − ∆ +

∂ = ψ

∂ h

h

H est appelé Hamiltonien du système.

les solutions de l'équation de Schrödinger seront ditessolutions stationnaires.

Le système est dit conservatif et son énergie est constante.

On

On avuavu dans le TD n°2 que la fonction d’onde dans le TD n°2 que la fonction d’onde peut être écrite sous forme d’un produit de peut être écrite sous forme d’un produit de fonction spatiale

fonction spatiale φφ et de fonction temporelle u: et de fonction temporelle u:

ψψ(x,t)= φ(x,t)= φ(x) u(t)(x) u(t) On a montré que:

On a montré que:

) x ( e

A ) t , x

(

i E

φ

=

ψ

A 3 dimensions, on obtient:

) r ( e

A ) t , r

(

i E →

→ −

φ

=

ψ

On a vu dans le TD n°2 que la fonction d’onde peut être On a vu dans le TD n°2 que la fonction d’onde peut être écrite sous forme d’un produit de fonction spatiale écrite sous forme d’un produit de fonction spatiale φφ et et de fonction temporelle u:

de fonction temporelle u: ψψ(x,t)= (x,t)= φφ(x) u(t)(x) u(t) On a montré que:

On a montré que:

) x ( E ) x ( ) x ( x V

m

2

2

2

 φ = φ



 



 +

∂

− h ∂

La résolution de l’équation de

La résolution de l’équation de SchrodingerSchrodinger se réduit alors àse réduit alors à

A 1 dimension

Etude de quelques systèmes Etude de quelques systèmes

unidimensionnels unidimensionnels

On se limitera à des formes de potentiel On se limitera à des formes de potentiel très simplifiées afin de pouvoir résoudre très simplifiées afin de pouvoir résoudre sans difficulté l'équation de Schrödinger.

sans difficulté l'équation de Schrödinger.

Bien que les formes du potentiel que Bien que les formes du potentiel que nous allons étudier soient simples, ils nous allons étudier soient simples, ils correspondent à des applications très correspondent à des applications très intéressantes.

intéressantes.

1- 1 - Saut de potentiel Saut de potentiel 2- 2 - Barrière de potentiel Barrière de potentiel 3- 3 - Puits de potentiel fini Puits de potentiel fini 4- 4 - Puits de potentiel infini Puits de potentiel infini

5- 5 - Particule dans une boite (3D) Particule dans une boite (3D)

1- 1 - Saut de potentiel Saut de potentiel





>

= <

II région 0 x si V

I région 0 x si ) 0

x ( V

0

x ik x

ik

1

( x ) = Ae

+ Be

φ

Il est défini par:

L’énergie E de la particule doit être positive afin que l’onde incidente soit une onde de propagation. On supposera que La particule vient du coté négatif de l’axe des abscisses x.

Nous allons distinguer deux cas: x< 0 et x> 0.

1- x< 0: l’équation de Schrodinguer s’écrit:

La solution générale est alors donnée par:

2 2

1 2

2 1 2 2

2

2

2 mE

k où 0 ) x ( dx k

) x ( ) d

x ( dx E

) x ( d m

2 h

h φ + φ = =

⇔ φ φ =

−

A- E > V₀

L’onde incidente est représentée par le terme exp(ik₁x) et qui correspond à une onde plane allant de gauche vers la droite.

Lorsque la particule arrive en x=0, elle peut soit être réfléchie, soit être transmise.

L’onde réfléchie est représentée par le terme exp(-ik₁x).

2- x> 0:l’équation de Schrodinguer s’écrit:

0 ) x ( dx k

) x ( ) d

x ( E ) x ( dx V

) x ( d m 2

2 2 2

2 2 0

2

2

φ + φ = φ ⇔ φ + φ =

− h

2 2 0

2

) V E ( m k 2

h

= −

Avec:

x ik x

ik

2

( x ) = Ce

+ De

La solution générale est alors

φ

donnée par:

Le premier terme en exp(ik₂x) correspond à une onde plane allant de gauche vers la droite: il représente donc l’onde transmise.

Par contre le second terme représente une onde venant de + l’infini allant vers la gauche. Comme nous n’avons pas de particule qui provient dans ce sens, nous poserons D= 0

)2

x φ(

Conditions aux limites:

La fonction φ(x) et sa première dérivée φ’(x) doivent être continues en x= 0.

k C ) k B A ( ) 0 ( ' ) 0 ( '

C B A )

0 ( ) 0 (

1

=

−

⇔ φ

= φ

= +

⇔ φ

= φ

+

−

+

−

On trouve:

A

k k

k C 2

et k A

k k B k

2 1

1 2

1 2 1

= + +

= −

Remarque:L’onde incidente et l’onde réfléchie interférent comme le montre la figure précédente.

 

 





+ + −

+ + −

= 1 ( ) 2 ( 2 )

)

(

2 1

2 2 1

2 1

2 2 1

2

1

Cos k x

k k

k k k

k k A k

φ x

Pour x< 0, la densité de probabilité ρ=φ*(x) φ(x) est donnée par:

Pour x> 0, la densité de probabilité ρ=φ*(x) φ(x) est donnée par:

[

]

2 2 1

2 2

2

) 4

( k k

A k C

x = = +

φ

Détermination de la densité de courant de probabilité J:

dN/dt est le taux de comptage dans un détecteur de surface S exposé à un flux de particules dont la densité est j=ρ v.

ρ étant la densité des particules et v leur vitesse.

[

]

2 1 2

t

2

2 1

2 1

1 r

1 i

4 J

: transmise

J

: réfléchie

J : incidente

k k

AA k m

Onde k

k k

k AA k

m Onde k

m AA Onde k

= +

 

 





+

− −

=

=

∗

∗

∗

h h h

ψ ψ

= ρ

=

→

→ ∗

→

m v p

J

La probabilité de réflexion s’exprime par:

2

2 1

2 1 i

r

k k

k k J

R J 



 



 +

= −

=

La probabilité de transmission s’exprime par:

(

)

i t

k k

k k 4 J

T J

= +

=

On remarque que:

R + T = 1

Remarque:Dans une situation analogue en mécanique classique, la particule serait toujours transmise, alors qu’en mécanique quantique elle a une probabilité non nulle d’être réfléchie

B- E < V₀

x ik x

ik

1

( x ) = Ae

+ Be

φ

1- x< 0: l’équation de Schrodinguer ne change pas:

2- x> 0:l’équation de Schrodinguer s’écrit:

2 2

1 2

2 1 2 2

2

2

2 mE

k où 0 ) x ( dx k

) x ( ) d

x ( dx E

) x ( d m

2 h

h φ + φ = =

⇔ φ

φ =

−

0 ) x ( dx k

) x (

d

2 2

2

φ + φ =

2 2 0

2

) E V ( m k 2

h

= −

avec

x k x

k

2

( x ) = Ce

+ De

φ

La solution générale est donnée par:

L’exponentielle positive diverge et ne représente donc pas une solution physique: C= 0.Il reste:

x k 2

( x ) = De

φ

φ₂ tend vers 0 à l’infini: C’est une onde évanescente.

Il n’y a pas d’onde transmise.

) x

2

( φ

2 2

( x ) φ

Conditions aux limites:

La fonction φ(x) et sa première dérivée φ’(x) doivent être continues en x= 0.

k D i k B

A

D B

A

1 2 2

1

2 1

) (

) 0 ( ' ) 0 ( '

) 0 ( )

0 (

=

−

⇔

=

= +

⇔

=

+

−

+

−

φ φ

φ φ

On trouve:

1 2 1

1 2 1

k ik k

2 B D et k

ik k

2

A = D + = −

ψ ψ

= ρ

=

→

→ ∗

→

m v p

J

Détermination de la densité de courant de probabilité J comme dans la première partie:

m k k

k D k

m k k

k D k

J

k ik k

k ik D k

m k

i

1 2

1 2 2 2

2 1 r

1 2

1 2 2 2

2 1

1 2 1

1 2 2 1

1 i

4 J 1

4 1

4 J 1

h h h

− +

= + +

=

− ⇔

= +

On a le coefficient de réflexion R:

J 1 R J

i

r =

=

Remarques Remarques

2

2-- Comme l’équation de Schrödinger est linéaire, Comme l’équation de Schrödinger est linéaire, la superposition de solutions du type présenté la superposition de solutions du type présenté est aussi une solution. On peut alors construire est aussi une solution. On peut alors construire une solution type paquet d’ondes, qui seront en une solution type paquet d’ondes, qui seront en partie réfléchies et en partie transmises.

partie réfléchies et en partie transmises.

1- R dépend de la valeur de E par rapport à V₀

 













>

 

 





 

 





− +

−

−

<

=

0 2

0 0

0

V E Si E

1 V 1

E 1 V 1

V E si

1

R

2- 2 - Barrière de Potentiel Barrière de Potentiel

Elle est Elle est définie par:

définie par:

 

 



>

<

<

<

=

III région

a x si 0

II région

a x 0 si V

I région

0 x si 0 )

x (

V

Région I ^{Région II} Région III V(x)

V₀

a

x ik x

ik

1

( x ) = Ae

+ Be

φ

1- x< 0 (région I):l’équation de Schrodinguer s’écrit:

La solution générale est alors donnée par:

2 2

1 2

2 1 2 2

2

2

2 mE

k où 0 ) x ( dx k

) x ( ) d

x ( dx E

) x ( d m

2 h

h φ = φ ⇔ φ + φ = =

−

2- x> a (région III): l’équation de Schrodinguer s’écrit:

La solution générale est alors donnée par:

Mais D=0, d’où

x ik x

ik

De

e C

x )

3

(

+

φ =

3- 0<x< a (région II):l’équation de Schrodinguer s’écrit:

) x ( E ) x ( ) V

x ( d

0 2

2

φ + φ = φ

− h

x

e

C x )

3

( =

φ

Dans cette zone 0<x< a, on distingue deux cas:

) E V ( m 1 2

k avec

Ge Fe

) x

(

2

=

+

= −

φ

h

) V E ( m 1 2

k avec

Ge Fe

) x

(

2

=

+

= −

φ

h

a- E<V₀:

b- E>V₀:

Classiquement: si E>U₀, la traversée de la barrière est possible. Par contre pour E<U₀, il est impossible.

Qu’en est il en mécanique quantique?

a

Conditions aux limites:

La fonction φ(x) et sa première dérivée φ’(x) doivent être continues en x= 0 et en x=a.

) ( ' )

( ' et

) 0 ( ' )

0 ( '

) ( )

( et ) 0 ( )

0 (

3 2

2 1

3 2

2 1

+

− +

−

+

− +

−

=

=

=

=

a a

a a

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

On pourra ainsi déterminer les constantes B, C, F et G en fonction de A (A étant l’amplitude de l’onde incidente)

Pour déterminer cette probabilité, on calculera les densités de courant de probabilité:

∗

∗

∗

=

−

=

=

m CC J k

m BB J k

m AA J k

t 1

1 r

i 1

h h h

Le coefficient de transmission T est alors donné par:

∗

=

= AA

CC J

T J

i t

→

)

x φ (

a

) x φ(

) E V V ( 4 E

) a k ( 1 sinh

T

1

2 0 0

2 2

−

 

 





 

 





− +

=

V ) 1 E a ( mV a 2

k Où

0 2

2 0

2

= −

h

E<V₀:

E>V₀:

) V E V ( 4 E

) a k ( 1 sin

T

1

2 0 0

3 2

−

 

 





 

 





− +

= 1 )

V ( E a mV a 2

k Où

0 2

2

3

=

−

h

T oscille en fonction de E et devient totale seulement pour certaines

valeurs de celle-ci.

T représente la probabilité de transmission par effet tunnel. C’est un phénomène très important en physique.(Microscope à effet tunnel, Électronique, …)

T dépend de la hauteur de barrière V₀, de sa largeur a ainsi que de l’énergie E de la particule incidente.

Pour E>V₀, sin devient oscillant. Ce qui conduit à T oscillatoire aussi.

La résonance T=1 se produit seulement pour quelques valeurs d’énergie spécifiques.

Pour d’autres valeurs de E, certaines particules sont réfléchies même pour E>V₀: c’est là la nature ondulatoire d’une particule quantique.

V₀

Le fait le plus remarquable est que même pour E<V0, la particule à une certaine probabilité d’être transmise. Ce qui est contraire à la physique classique.

Ce phénomène est appeléEFFET TUNNEL.

Exercice:Deux fils de cuivre sont séparés par une couche d’oxyde isolante. On modélise cette couche par

une hauteur de barrière égale à V₀=10 eV.

1-Estimer le coefficient de transmission dans le<cas où L’énergie incidente de l’électron est de 7 eV.

On distinguera

Les deux cas: a= 5 nm et a=1nm

) E V V ( 4 E

) a k ( 1 sinh

T

1

2 0 0

2 2

−

 

 





 

 





− +

=

Solution:

1-On utilisera la formule ci-dessous:

Pour a= 5 nm: T=0,963 10^-38 Pour a= 1 nm: T=0,657 10^-6 Baisser la largeur de 5 fois, conduit à une augmentation de T de 33 ordres de grandeurs

2- Si un courant électrique de 1 mA arrive sur le fil 1, quel sera le courant à l’autre extrémité du fil 2 après avoir traversé la couche isolante d’épaisseur a= 1nm

Solution:

électrons 10

25 , 6 t N

Ne t

mA q

1 = = ⇔ =

10

11 , 4 T =

= N

N ^I

^{= 65 , 7 pA}

Soit N_transmis le nombre d’électrons transmis:

N est le nombre d’électrons dans la zone du fil 1.

1 mA correspond au courant dû aux électrons incidents et réfléchis.

Microscope à effet Tunnel Microscope à effet Tunnel

Il s'agit, pour simplifier, d'un palpeur, d'une pointe qui suit la surface de l'objet. La pointe balaie (scanne) la surface à représenter, un ordinateur enregistre la hauteur de la pointe, on peut ainsi reconstituer la surface.

Pour cela, avec un système de positionnement de grande précision (réalisé à l'aide de piézoélectriques),

on place une pointe conductriceen face de la surface à étudier et l'on mesure le courant résultant du passage d'électrons entre la pointe et la surface par effet tunnel(les électrons libres du métal sortent un peu de la surface, si l'on se met très près sans pour autant la toucher, on peut enregistrer un courant électrique). Dans la plupart des cas, ce courant dépend très rapidement (exponentiellement) de la distance séparant la pointe de la surface, avec une distance caractéristique de quelques dixièmes de nanomètres. Ainsi, on fait bouger la pointe au dessus de l'échantillon avec un mouvement de balayage et on ajuste la hauteur de celle-ci de manière à conserver une intensité du courant tunnel constante. On peut alors déterminer le profil de la surface avec une précision inférieure aux distances inter atomiques.

Mais souvenons-nous que l'on a une image de synthèse, pas une « photographie » des atomes.

(Première réalisation en 1982 par les chercheurs d’IBM- Zurich. Ces auteurs ont reçu le prix Nobel en 1986.

« STM Scanning Tunneling Microscopy ») AFM (Atomic Force Microscopy) pour les échantillons non conducteurs.

3- 3 - Puits de potentiel fini Puits de potentiel fini

Il est défini par:

Il est défini par:

Région III Région I

Région I

Région II

4- 4 - Puits de potentiel infini Puits de potentiel infini

Zone III V(x)=0

Zone I

L

La résolution de l’équation de schrodinger nous donne en tenant compte du fait que: φ(0)=φ(L)=0

Pour x>a et x<0, il est impossible de trouver la particule (les parois du puits sont rigides):

φ_Ι(x)= φ_ΙΙΙ(x)=0 Zone II

Pour 0< x <L (zone II)

) x ( dx E

) x ( d m

2

2

2

φ = φ

− h

2 2 2

2

2

2

où 0 ) ) (

(

h k mE x

dx k x

d + = =

⇔ φ φ

Conditions de raccordements (de continuité):

0 Be

Ae )

L ( ) L (

0 B A ) 0 ( ) 0 (

ikL ikL

III II

I II

= +

⇔ φ

= φ

= +

⇔ φ

= φ

−

ikx ikx

II

( x ) = Ae + Be

φ

La solution est:

D’où

B A = −

L k n 0 ) e e (

A

−

= ⇔ = π

et

n ∈Z

φ_n(x) ²

n

( x ) φ L x

sin n C ) x

n

(

= π φ

2 2 2 2

n

2 mL

E = n π h

E

Pour 0< x <L Énergie du n^ièmeniveau:

E est quantifiée

nm m

a

0

n

( x ) φ ( x ) dx = δ

∫ φ

et

Fonction d’onde du nième niveau (où C=Cte de normalisation):

L C = 2

avec

5 5 - - Particule dans Particule dans une boite (3D) une boite (3D)

V= 0 pour 0 <x,y,z < L

Extension de l’étude d’une particule Dans une boite avec des murs rigides

Boite avec des murs rigides: V est infini suivant les 3 directions OX, Oy et OZ

L_x=L_y=L_z=L

) r ( E ) r ( H ) r ( ) r ( m V

2

2 → → → →

φ

= φ

=

 φ



 



 − h ∆ +

2 2 2

2 2

2

z y

x

) z , y , x ( ) r ( et k z j y i x r

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆

φ

= φ

+ +

=

→

Cz Cy

CX

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

E

E

E

z ) m ( 2 y )

m ( 2 x )

( 2m m

2

+ +

=

∂

− ∂

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂

=

∆

− h h h h

L’équation de Schrödinger (3D) pour un potentiel indépendant du temps.

On a:

Or V= 0 pour 0 <x,y,z < L,

L’équation de Schrödinger devient

) r ( E ) r ( H ) r m (

2

2 → → →

φ

= φ

= φ

∆

− h

Comme x,y et z sont indépendantes, on peut écrire:

) z ( ) y ( ) x ( )

z , y , x ( ) r

( = φ = φ

φ

φ

φ

En substituant dans l’équation de Schrödinger ci-dessous et en divisant par φ(x,y,z), on obtient:

E z )

) z ( m ( 2 ) z ( ) 1 y

) y ( m ( 2 ) y ( ) 1 x

) x ( ( 2m

) x ( 1

2 3 2 2

3 2

2 2 2

2 2

1 2 2

1

∂ = φ

− ∂ + φ

∂ φ

− ∂ + φ

∂ φ

− ∂

φ h h h

Comme E=Constante, l’expression n’est vraie que si:

) x ( x E

) x (

2m

1 2

2

= φ

∂ φ

− h ∂ E ( y )

y ) y (

2m

2 2

2

= φ

∂ φ

− h ∂

) z ( z E

) z (

2m

3 2

2

= φ

∂ φ

− h ∂

E E

E

E

+

+

=

Avec:

E étant l’énergie totale du système 3D.

Chaque terme ressemble à celui qu’on a vu dans le cas d’un puits de potentiel infini. Par conséquent:

x k sin )

x

(

1

∝

φ φ

( y ) ∝ sin k

y φ

( z ) ∝ sin k

z

Conditions de raccordement:

π

=

⇔

=

⇔

=

φ

( L ) 0 sin k

L 0 k

L n

La quantité de mouvement 3D a pour composantes:

1 x x

1

1

n

k L k

P π

=

=

= h h h

y y

2

2

n

k L k

P π

=

=

= h h h

3 z z

3

3

n

k L k

P = h = h = h π n

, n

et n

= 1 , 2 ,... + ∞

L’énergie E est donnée par:

) n n n mL ( ) 2

P P P m ( 2

1 m

2

E P

2 2 2

3 2 2 2 1

2

= + + = π + +

= h

3 2 1,n ,n

E

E =

z k sin y k sin x k sin A ) z , y , x

( =

φ

La fonction d’onde φ(x,y,z) est donnée par:

Où A est la constante de normalisation.

La fonction d’onde ψ(x,y,z) est donnée par:

Et i- 3 2

1

x sin k y sin k z e k

sin A ) t , z , y , x

( =

ψ

Détermination de A:

1 dxdydz

) z , y , x ( ) z , y , x (

Boite

= ψ

∫∫∫ ψ

1 dz z k sin dy y k sin dx x k sin A

L

0

3 2 L

0

2 2 L

0

1 2 2

∫ =

∫

∫

On trouve:

2 3

L

A 2 



 



= 

E t i - 3 2

1 2

3

e sin

sin 2 sin

) , , ,

( k x k y k z

t L z y

x 



 



=  ψ

1^er état (fondamental):n₁=n₂=n₃=1 ₀

2 2 2

111

E

mL 3 2

E = h π =

2 ^èmeétat (1^erétat excité):

2 0 2 2 excité

état er

1

2 E

mL 6 2

E π =

= h

C’est un état dégénéré:

même énergie pour 3

états différents.

E

= E

= E

n n

Dégénérescence Dégénérescence 4 E 4 E

12 12

11/3 11/3 E E

11 11 3 3 3 E 3 E

9 9 3 3 2 E 2 E

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