MECANIQUE QUANTIQUE

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MECANIQUE QUANTIQUE

COURS 3 – QUANTIFICATION- DE-L’ENERGIE- POUR- DES-SYSTEMES- SIMPLES QUENTIN GLORIEUX

3P001 – UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016

BILAN-COURS-1-ET-2

• La description complète de l’état d’une particule se fait par une fonction d’onde , dont le carré donne la densité de probabilité de présence au point r, à l’instant t.

• L’évolution dans le temps de la fonction d’onde placée dans un potentiel V(r) est donnée par l’équation de Schrödinger :

où est l’observable énergie ou Hamiltonien du système considéré.

• L’amplitude de probabilité de l’impulsion de la particule est donnée par la transformée de Fourier de la fonction d’onde (à 1D) :

• Cela entraine la relation d’incertitude d’Heisenberg qui relient les incertitudes sur xetp :

Quantification de l’énergie pour des systèmes simples 2

(r, t)

i~@ (x, t)

@t = ˆH (x, t) Hˆ

'(p, t) = 1 p2⇡~

Z

(x, t)e ^ipx/~dx

x p ~ 2

BILAN-COURS-1-ET-2

• A chaque grandeur physique on associe une observable, opérateur linéaire hermitien agissant sur les fonctions d’onde. La valeur moyenne à l’instant t d’une observable s’obtient ainsi :

• L’observable position est la multiplication par rde la fonction d’onde.

L’observable impulsion est

• Ces observables ne commutent pas :

• Pour un système isolé dans un potentiel indépendant du temps, les états propres de l’énergie sont les états stationnaires de la forme :

où est une solution normée de l’équation de Schrödinger independant du temps :

Quantification de l’énergie pour des systèmes simples

hait= Z

⇤(r, t)h

A ˆ ^⇤(r, t)i dr

hait

ˆ r ˆ

p pˆ= i~r

[ˆx,pˆx] =i~

(r, t) = ↵(r)e ^iE^↵^t/^~

↵(r)

H ˆ ↵(r) =E↵ ↵(r)

TROIS-PRINCIPES-IMPORTANTS-SUR-LA-MESURE:

• Grandeur physique décrite par une observable. La valeur moyenne :

• Spectre discret des valeurs propres :

1. Théorème spectral : en dimension finie les fonctions propres d’une observable forme une base de :

2. Principe de quantification : Le resultat de la mesure de Âest certain si et seulement si l’état est un état propre de Â.

Preuve en exercice ! Sakai ou HPP.

Par exemple les états stationnaires (états propres de l’Hamiltonien) ont une énergie bien définie.

3. Reduction du paquet d’onde : Juste après la mesure ayant donné le resultat la fonction d’onde de la particule est dans l’état propre

hait = Z

⇤(r, t)h

A ˆ ^⇤(r, t)i dr A ˆ _n(x) =a_n _n(x)

L²(R) (x)

an n(x)

(x) =X

n

Cn n(x)

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Une particule est dans l’état avant la mesure.

Quelle est la probabilité p1 de mesurer le resulat lors d’une mesure de l’observable A (on a : ).

Tout de suite apres cette première mesure, on effectue une seconde mesure sur cette particle. Quelle est la probabilité p2 de mesurer le resulat et la probabilité p3 de trouver le resultat ?

A. p1=1, p2=1, p3=0 B. p1= ,p2=1, p3=0 C. p1= ,p2= , p3=

D. p1= 1 ,p2= , p3=0 E. p1= ,p2= , p3=

F. p1= ,p2= 1 , p3= 1 G. p1= ,p2= 0 , p3=

(x) =X

n

Cn n(x) A ˆ n(x) =an n(x)

a_n

a_n a_k₆_=n

|Cn|²

|Cn|² |Cn|²

|C_n|²

|Cn|²

Une particule est dans l’état avec On ne connait pas les Cn a priori.

1- On peut connaitre avec precision l’état de la particule en mesurant 1 fois A.

2- On peut connaitre avec precision l’état de la particule en mesurant N fois A.

3- One ne peut pas connaitre avec precision l’état de la particule en mesurant A.

4- On peut connaitre avec precision l’état de la particule si l’on dispose de N copies identiques de la particule et que l’on realise la mesure de A, 1 fois par particule (N fois).

Quelles sont les propositions VRAIES ? A. 1

B. 2 C. 1 et 2 D. 3 E. 1, 2 et 4 F. 2 et 4 G. 4

(x) =X

n

Cn n(x) A ˆ n(x) =an n(x)

QUANTIFICATION-DE-L’ÉNERGIE

Résoudre l’équation de Schrödinger indépendante du temps pour des systèmes simples.

2 types de systèmes selon E : états liés et états de diffusion Exemple

Mécanique Quantique :

E=EK+V(r)

V(r) = Gmm⁰

r Classiquement

OBJECTIF-DE-CE-COURS

Utiliser le formalisme de la mécanique ondulatoire pour aborder des problèmes physiques d’une grande importance :

• Microscope à effet tunnel

• Radioactivité alpha

• Quantification de l’énergie

• Origine de la liaison chimique

Surface d’un cristal de cuivre, 48 atomes de fer forment une enceinte de rayon 7nm

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DES-EXEMPLES-SIMPLES

1. Etats de diffusion

• Potentiel constant

• Marche de potentiel 2. Etats liés

• Oscillateur Harmomique

• Puits de potentiel

• Potentiel en , atome d’Hydrogène (Cours 14 et 15)

V(x) =Kx² 1/r

Plaçons nous dans une zone de l’espace où V est constant.

L’équation de Schrödinger indépendant du temps s’écrit à 1D :

qui s’intègre en : avec

• Si E -V>0alors p est réel et la fonction d’onde est une

superposition d’onde plane monochromatique se dirigeant vers la gauche et vers la droite.

• Si E –V<0 alors est négative, donc p est complexe. La fonction d’onde est une somme d’exponentielles réelles.

Classiquement la particule ne peut pas pénetrer dans cette zone.

Quantiquement nous allons voir que c’est un peu différent !

POTENTIEL-CONSTANT

~² 2m

00(x) +V (x) =E (x) ~² 2m

00(x) + (V E) (x) = 0

(x) =⇠+e^ipx/^~+⇠ e ^ipx/^~ p²/2m=E V ou

p²/2m

MARCHE-DE-POTENTIEL

Prenons la situation suivante : On cherche des solutions de la forme :

• Cas 1 :

Dans ce cas les solutions s’écrivent :

avec

A l aide de la continuité en x=0 de et on en déduit

(x, t) = (x)e ^iEt/^~ E < V0

0

MARCHE-DE-POTENTIEL

Prenons la situation suivante : On cherche des solutions de la forme :

• Cas 2 :

Dans ce cas les solutions s’écrivent :

avec

Si on prend une particule incidente venant de gauche : et On peut en déduire

(x, t) = (x)e ^iEt/^~ E > V0

= 0 ⇠₊= 1

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Prenons la situation suivante : On cherche une solutione de la forme :

avec et

A l aide de la continuité en x=0 de et on déduit :

qui se simplifie pour en

EFFET-TUNNEL

0

⁰a 1 E < V0

EFFET-TUNNEL

RADIOACTIVITÉ-ALPHA

C’est aussi une conséquence de l’effet tunnel !

OSCILLATEUR-HARMONIQUE

Définition :

On appelle oscillateur harmonique, un système constitué d’une particule de masse m, élastiquement lié à un centre par une force de rappel : Energie potentielle :

Pourquoi ce problème ?

Ce problème se retrouve dans de très nombreuses situations physiques.

Si un système est à l’équilibre en , on peut en déduire que l’énergie potentielle est minimale à ce point (la somme des forces est nulle).

On a donc : . On peut donc dévolopper V(x) :

x₀ F(x) = K(x x0)

x₀

dV(x)

dx |x=x0= 0

V(x) =K(x x0)²/2

V(x) =V(x₀) +V⁰(x₀)(x x₀) +V⁰⁰(x₀)

2 (x x₀)²+V⁽³⁾(x₀)

6 (x x₀)³+· · ·

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RAPPEL-DE-LA-SOLUTION-CLASSIQUE

Le potentiel est ou La force :

L’équation du mouvement :

Les solutions sont : avec L’énergie totale est :

Il n’y a donc que des états liés (raisonnable comme le potentiel tend vers l’infini avec x).

Exemples : masse au bout d’un ressort, circuit LC…

V(x) =V0+K(x x0)²/2 V(x) =Kx²/2 F(x) = Kx

m¨x= Kx

x=Acos(!t+ ) !=p K/m E= 1

2mx˙²+V(x) = 1

2mx˙²+1 2m!²x²

PROBLEME-QUANTIQUE

L’Hamiltonien du système est : Equation aux valeurs propres :

SOLUTION : Fonctions propres :

avec Hnle polynome de Hermite de degré n.

Energies propres :

Espacement constant entre les états.

Energie de point zéro non nulle !!

Méthode algébrique au cours 8

Hˆ = pˆ²_x 2m+ 1

2m!²xˆ²

✓ ~² 2m

d² dx² +1

2m!²x²

◆

(x) =E (x)

E_n= (n+ 1 2)~!

UN-THEOREME-IMPORTANT-:

Théorème de Sturm-Liouville :

On peut classer les niveaux par valeur croissante de l’énergie en fonction du nombre de noeuds (points où le signe change) de la fonction d’onde

Polynomes de Hermite :

2eme état excité

1er état excité 3eme état excité

état fondamental

On considère un oscillateur harmonique dont les énergies sont donnés par

On cherche les niveaux d’énergie du demi-puit harmonique : E_d0, E_d1, E_d2

A. Ed0= Ed1= , Ed2= uniquement la 1ere

B. Ed0= Ed1= , Ed2= les mêmes

C. Ed0= Ed1= , Ed2= toutes sauf la 1ere

D. Ed0= Ed1= , Ed2= les impaires

E. Ed0= Ed1= , Ed2= les paires En= (n+1

2)~!

3~!/2 3~!/2

3~!/2

1 2 3 4 5

5 10 15 20 25

E_d0 E_d1

E_d2

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PUITS-DE-POTENTIEL-CARRÉS

Potentiel constants par morceaux. 2 situations physiques importantes :

• Forces qui lient les neutrons et les protons

• Puits quantiques dans les semi-conducteurs On cherche les états liés pour 0<E<V0

Problème identique à la marche de potentiel, les solutions sont de la forme :

avec et

Continuité de la fonction d’onde et de la dérivée en –a et a pour trouver les constantes A,B,C,D

K=p

2m(V0 E)/~ k=p 2mE/~

PUITS-QUANTIQUE-CARRÉ

On a :

Impossible d’avoir A et B non nuls simultanément.

On classe les solutions :

Or on doit avoir ou et ,

Solution graphique dans le plan(Ka,ka) 1 seule solution si :

i.e

K²+k²= 2mV0

~ K²a²+k²a²= 2mV0a² Ka=katanka Ka=kacotka ~

PUITS-DE-POTENTIEL-INFINI

Limite intéressante du cas précedent : Les solutions dans II sont de la forme :

avec nentier >0 et

Les niveaux d’énergies correspondants sont donnés par :

C’est un résultat quantique très important, qui est l’analogie du phénomène d’onde stationnaire !

On voit que le théorème de Liouville s’applique également.

Notons que les étas ne sont pas équidistants en énergie.

V₀! 1

n(x) =Asin(n⇡x/L) A=p

2/L

En=n²⇡²~² 2mL²

BOITES-QUANTIQUES

Le puit inifini a une grande importance en nano-électronique car il permet de décrire les boites quantiques (confinement 3D).

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DOUBLE-PUITS-

Paramètres du problème :

• Largeur d’un puits

• Hauteur d’un puits

• Ecart entre les deux puits

• Modélisation de la liaison chimique :

• Inversion de la molécule d’ammoniac

MODELISATION-DU-DOUBLE-PUITS

On s’intéresse aux niveaux d’énergie E<V0

On cherche les solutions sous la forme ci-contre avec des solutions paires et des solutions impaires .

b

"b

SOLUTIONS-DU-DOUBLE-PUITS

Comme précédemment, on cherche les solutions sous la forme :

Avec et .

Les conditions aux limites imposent des relations sur les valeurs de E.

Approximations : barrière haute et donc barrière large

On trouve :

K =p

2m(V0 E)/~ k=p 2mE/~

E⌧V₀ K k K 1

symétrique

anti-symétrique

= 2b a

SOLUTIONS-GRAPHIQUES

On a :

On trace et

avec

On a un résultat important : et donc

symétrique

anti-symétrique y= tan(ka) y= "Aka

y= "_Ska

kS< kA<⇡/a E_S< E_A< E₀

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PHÉNOMÈNE-D’INVERSION

On a trouvé les solutions symétriques et anti-symétriques (ce sont les états propres de l’énergie). On peut les combiner linéairement :

avec , la fréquence de Bohr du système.

Cette valeur vaut pour l’ammoniac. Très sensible à bet V0

Cette combinaison linéaire va donc évoluer dans le temps !!!

⌫= (EA ES)/h= 2A/e ^K

⌫= 24 GHz

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