CHAPITRE III

(1)

SMP5

MECANIQUE ANALYTIQUE CHAPITRE III

PUISSANCES REELLES-PUISSANCES

VIRTUELLES.

(2)

Soit (∑) étudié par rapport à R(O) ayant n paramètres principaux

I-Puissance réelle.

I-1.Schématisation des efforts :

Les efforts s’exerçant sur (∑) par rapport à R(O) peuvent être schématisés par la donnée d’une densité massique ( ou volumique) d efforts notée :

n 2

1

, q ..., q q

B A F et AB F.

C que els t sinon

0 B P si F -

A P si F )

P ( f ) unitaire u

( u C C Coup le

sinon

0 A P si F )

P ( f : A en concentrée F

Force

: rs p articulie Cas

A B R M M

: IR B et A

: que tels

dm ) P

( f P A M

IR A en moment de

et

dm ) P

( f R

: résultante de

) ( sur un torseur t

constituen efforts

Ces

B A

3 P

A

3 P



 



 



 



 



 















 

 















































R R R

R

) P

(

f   R



(3)

I-2. PUISSANCE REELLE:

. q des homogène non

linéaire forme

une est P

p uissance La

dm P O . ) P

( f Q

et

es généralisé force

de s comp osante les

sont Q

Les n 1,...., i

dm q

P . O ) P

( f

Q où

Q q Q

P donc

dm P O . ) P

( f dm

q P . O ) P

( f q

dm P q O

q P . O

) P

( f P

: vient il

P q O

q P O

(P/R) V

: de comp te en tenant

: Prop riété /

*

dm ) P ( V . ) P

( f P

: p ar donnée est

) P

( f densité la

p ar s rep résenté efforts

des R à rap p ort p ar

P réelle p uissance

La

: Définition /

*

i . /R

f P

0

i

P i

i

0 i

.

1 /R i

f

P

P i

n

1 i

i . P

i .

1 i

/R f

i .

1 i

P /R f /R

f



 



 



 









 

 





















 



 









 





 













 











 



 













 







 



 







 



 











R t R

R t

t

R R

R

n

i

n

i

n

i

(4)

 

   

) S ( . C P

: C Couple

) A ( V . P

: A en concentrée F

Force

: rs particulie Cas

0 ) S ( . A B A

B ) S ( . :

puisque

) S ( . M ) B ( V .

) S ( . A B M A

B ) S ( ) B ( V .

) S ( . M ) A ( V . P

) (S B , A

: effet en calculer;

la pour )

(S sur choisi A point du

te indépendan est

quantité Cette

) S ( . M ) A ( V . ) A ( V , ) S ( M , P

)

(S A

: par donnée est

M , torseur le

par s représenté efforts

des P

réelle puissance la

, ) ( ) (S solide chaque

Sur

P

dm ) P ( V . ) P

( f dm

) P ( V . ) P

( f P

: ) P

( f densité la

par s représenté )

( sur exerçant s'

efforts des

R à rapport par

P réelle puissance La

: 2 Remarque /

*

. 0 Q alors t de tes indépendan sont

s principale liaisons

les toutes Si

: 1 /Remarque

*

/R j sur C

/R sur F

j j

j B

j

j /R A

/sur j f

j

j A

j /R A

/sur j f

/R A /sur j f

max

1

/R /sur f jmax

1

j P

P R / /sur f

/R sur f

0

R

R F

R R

R

R R

R

R R

R

R R

R S R

R

j

j j

j

j j

S

S S

S

j

S S

j

























































































  



   





 



 



 



 



(5)























R R Q

et R Q

) R x ( P

x ) R x ( ) D I ( V et z ) D (

: x p rincip al p aramètre

1 s p rincip ale c

et b , a Si

0 Q et R R Q

, R Q

) R x ( P

x ) R x ( ) D I ( V et z ) D (

et x p rincip aux p aramètres

2 aire comp lément c

et s p rincip ale b

et a Si

t de dép endante holonome,

uniforme

p rop re rotation

- c

t de te indép endan holonome,

R y : contact -

b

0 R

et et t de te indép endan holonome,

et

, 0 z

; p lan mouvement -

a

: sont liaisons Les

I G ) D ( )

G ( V ) D I ( V :

que telle

R à rap p ort p ar

(D) de glissement de

vitesse la

est ) D I ( V où ) D I ( V . R P

: vaut p uissance

Sa

R y R x

R R : est (D) sur exerçant s'

I en réaction La

(D).

de et , Euler d'

angles les

et G de z et y x, s coordonnée les

: sont (D)

de p rimitifs p aramètres

Les

. angulaire vitesse

de uniforme p rop re

rotation une

avec

axe cet sur glisse et roule ,

x O axe l' avec I en p ermanent p onctuel

contact en

, (D)

G.

centre de

et R ray on de

(D) homogène disque

un ), y , x O;

( cal p lan verti le

dans considère, On

. ascendante verticale

la est y O où fixe direct, ,

orthonormé rep ère

un ) , y , x O;

( R Soit

: Exemp le /

*

t 0

t x

. R

0 .

0 0

0

0 t

t x .

. R

0 . .

0 0 . 0

.

n 2 0

0 0

0 R I

0 n 2 0

n 1 0

t I

0 0

0

0 0

0 0 0

I I

I































































t t

R

R R

R

R R

cste cste

R R

R

R R

z z



 



 



 



(6)

II-Puissance virtuelle:

liaison.

la maintenir p our

disque au

moteur le

p ar e transféré temp s

de unité p ar énergie l'

est c' C P

: nulle non est réelle p uissance sa

que Notons

p arfaite.

liaison une

d' agit s' Il

0 ) (D .

C P et 0 ) (D z )

(D/R

: alors , p rincip ale est

liaison cette

Si

z C C moteur coup le

un p ar imp osée est

uniforme p rop re

rotation liaison

la (D), disque du

p récédent exemp le

l' Dans

: Exemp le /

*

. p rincip ale p rise

est liaison cette

lorsque nulle

est

réalisent la

qui liaison de

efforts des

virtuelle p uissance

la si Gauss) de

sens au ( p arfaite dite

est liaison Une

: p arfaites Liaisons

/

*

. q aux rap p ort p ar

homogène linéaire

est p uissance Cette

q Q

P donc

dm q

P . O ) P

( f q

dm q q

P . O

) P

( f P

: vient il q q

P O

(P) V : de comp te en tenant

: Prop riété /

*

dm ) ( V . ) P

( f P

: p ar ) P

( f densité la

p ar s rep résenté efforts

des P vituelle p uissance

la définit on

analogue, manière

De

: Définition /

*

/R0

C

*

* C

* 0

0

* i

* i 1

i

* f

P i

n

1 i

* i P

* i

1 i

* f

* i

1 i

*

P

*

* f

































 



 

 







 













 

 









 



 









 



 



n

i n

i

n

i

R R

P R

R

(7)

*/Cas du contact ponctuel:

 

. principale est

liaison cette

lorsque nulle

est liaison de

efforts des

virtuelle puissance

a parfaite.L liaison

une est frottement sans

ou glissement sans

faisant se

ponctuel contact

Tout

frottement sans

contact

) ( F

ou

) (S à rapport par

) (S de glissement non

0 ) S / S (I V

: si nulle est virtuelle puissance

Cette

).

(S à rapport par

) (S de glissement de

virtuelle vitesse

la est ) ( ) S / S (I V où

) S / S (I V . F ) R / S (I V . - ) R / S (I V . F P

: donc 0 F

F : réaction la

de et action l' de principe le

après d'

) R / S (I V . F ) R / S (I V . F P donc

) (S sur ) (S de réaction

F et ) (S sur ) (S de réaction F

: sont liaison de

efforts Les

) ( contact de

commun nt

plan tange un

admettant I

en ponctuel permanent

contact en

) ( de solides 2

) (S et ) (S Soient

1 2 S

2 1

2 g 1

*

2 1

2 g 1

*

2 g 1

* 1 2 S 0

2

* 0

1

* 1 2 S

* liaison

1 2 S 2 1 S

0 1

* 1 2 S 0 2

* 2 1 S

* liaison

1 2

1 2 S 2

1 2

1 S

2 1



































S

S S



 



(8)

III-Energie potentielle.





 

 























 

 

 









 

 



 







jmax

1 j

p p

jmax

1 j

j

p p

0 p

i i

p p

0 n

1 i

. /R) i

(P f p

i .

1 i

p p

p /R)

(P f 1

n 2

1 p p

) R / ( U )

R / ( U alors ) (S )

( Si

: Additivité /

*

forces.

de fonction appelée

est ) R / ( U )

R / ( V fs.

conservati dits

alors sont efforts Ces

/R) (P

f densité la

par s représenté efforts

aux ant correspond e

potentiell énergie

l' est ) R / ( U

Q - U et

...n 1,

i Q

q - U

: équations 1)

(n des système du

solution donc

est existe, elle

lorsqu' ),

R / ( U

Q Q P

et

q U q U t

d U d comme

t d U d - P

: que telle C

classe de

) t , q ,..., q

, q ( U ) R / ( U

fonction une

existe il

si e potentiell énergie

une d' dérivent /R)

(P f densité la

par s représenté efforts

Des

: Définition /

*

j

i n

i

S t t q





(9)

cste z

. G O g m ) ( U : alors e

descendant est

verticale la

Si : remarque

cste z

. G O g m

cste z

g m ) ( U

mg U

et

t 0

U U

y U x

U

: de solution donc

est ) , , , z, y , x, ( U ) ( U

g m - Q et

0 Q

Q Q

Q Q Q

:

tion identifica p ar

avec,

Q Q

Q y Q Q

z g m - P

donc

(G/R) V

g m dm

S/R) (P

V g

dm S/R) (P

V g P

z z y y x (G/R)

V et z z y y x x G O

et , Euler d'

angles les

et G de z y , x, s coordonnée les

sont R

à rap p ort p ar

(S) de p aramètres Les

z g - g /R)

(P f p esanteur de

champ le

dans G inertie d'

centre de

et m masse de

) S ( solide un

considère on

; ascendante verticale

la est z O où direct ,

orthonormé )

z , y , x R(O;

à rap p ort Par

: p esanteur de

e p otentiell Energie

/

*

pp pp

p p

p

pp pp

z 0

y x

0 .

. .

. z .

y .

x .

/R) (S f

P P

/R) (S f

. .

.















 

 



 



 



 



 



 

















































 

 



 



 



 



S S

z t

S

z x

x

S S





































(10)

*/Energie potentielle élastique:

x

cinétique.

énergie leur

calculer à

avoir pas ne pour e négligeabl masse

de considérés seront

ils s, déformable sont

ressorts les

Or

étudié.

système du

partie faire titre, ce à doivent, ils

élastique;

e potentiell énergie

l' de réservoirs les

sont ressorts Les

: 2 Remarque

0 U a on 0) x ( déformé non

état l' à puisqu' n

intégratio d'

constante de

pas a y n' Il

: Remarque1

2K x U 1

: est ante correspond élastique

e potentiell énergie

l' et K x - Q donc x K x - M /R) ( V . F P

: est force cette par développée réelle

puissance la

x x x M /R) ( V comme

ressort du t allongemen

L - X où x x K x - x L) - (X K - F

x X M O

M extrémité autre

son en F rappel de

force une exerce O, en fixée est extrémité une

dont

L, repos au longueur de

et K raideur de

unitaire),

x ( x O axe d' e, négligeabl masse

de al, longitudin ressort

Un

Pe

2 Pe

x .

/R F

. .





 



 



X

(11)

IV-SYSTEMES CONSERVATIFS.

*/ Si pour un système ( ∑) par rapport à R

- toutes les liaisons sont principales, parfaites et indépendantes du temps

-tous les efforts qui travaillent, autres que les efforts de liaison, dérivent d’une énergie potentielle alors :

l énergie mécanique de ( ∑) par rapport à R est conservée au cours du temps:

T(( ∑/R) + Up( ∑/R) = cste au cours du mouvement

C’est l’intégrale première de l’énergie où la valeur de la constante est déterminée par les conditions initiales.

*/Démonstration:

On applique le théorème de l’énergie cinétique au système (∑) par rapport à R