Exercice 1 : écriture algébrique z = a + ib

SRC1 TD12 Complexes.

TD12 : Complexes.

Exercice 1 : écriture algébrique z = a + ib

Lorsque l’on parlera de points, on les suppose définis dans un repère orthonormal(O, ~u, ~v).

1. • Quelles sont les parties réelles et imaginaires des deux complexes z1= (2−3i)(5 + 4i)et z2= ³⁺²ⁱ₂ ?

• Trouvez la partie et réelle du nombre complexez3= ²⁺³ⁱ_1−3i (rappel : multiplier en haut et en bas par la quantité conjuguée pour avoir un dénominateur réel...). Même chose pourz4=¹⁻ⁱ_1+i^√√₂².

• Quels sont les conjuguész¯1,z¯2, z¯3,z¯4 dez1, z2,z3,z4?

• Que valent les modules|z1|,|z2|,|z3|,|z4|? Quelle est la distance entre le pointM(22,−7)et le pointO(0,0)?

• Calculez|z2−z1|. Quelle est la distance entreM1(22,−7) et le pointM2(³₂,1)? 2. Démontrez que∀z∈C, |¯z|=| −z|.

3. Quel est le module de z5= 2(cos^π₆ −isin^π₆)?

4. Soitz=³⁻⁷ⁱ_9+2i et z⁰ =³⁺⁷ⁱ_9−2i démontrersans calculquez+z⁰ est un réel et quez−z⁰ est un imaginaire pur.

5. Trouvez tous les complexes tels quez²=−1.

6. Factoriser dansCl’expression4z²+ 1, puisz²+ 9.

7. Résoudre dansRl’équationz²+z+ 1 = 0. Puis résoudre dansCla même équationz²+z+ 1 = 0.

Exercice 2 : écriture trigonométrique z = re

1. • Ecrire sous forme algébriquez1= 3e^iπ3. Ecrire sous forme trigonométrique puis algébriquez₁³. Même exercice avecz2= 2e^iπ4 etz₂⁴.

• Ecrire sous forme trigonométrique (il faut donc calculer module et argument) les nombres :z1=i,z2=−1 +i et z3=−√

2 +√ 2i.

• Calculezz2z3 de sorte à l’obtenir sous forme trigonométrique. Quelles sont les parties réelle et imaginaire de z2z3?

2. Retrouvez la formule trigonométrique permettant de calculer cosθsinθ⁰, en utilisant les complexes.

3. Linéarisez sin³θ (c’est-à-dire ôtez la puissance en exprimant sin³θ en fonction de sinθ et sin 3θ. En déduire I=R^π

2

0 sin³θdθ.

4. Démontrez (presque sans calcul) que(cos^2π₃ +isin^2π₃ )(cos^π₃ +isin^π₃) =−1.

5. On sait quesinθ vaut 0.22. Combien vautsin(3θ)? Pour le savoir, utilisez la formule de Moivre pour exprimer sin(3θ)en fonction desinθ etsin³θ, puis répondez à la question.

6. Soitj=e^2iπ3 .

• Donnez l’écriture algébrique dej.

• Que vautj³?

• Montrez que 1 +j+j² = 0 (il y a au moins 2 façons de procéder, en utilisant l’écriture algébrique et en ne l’utilisant pas).

• Montrez que j²+j⁴+j⁶= 0. Quelles sont donc les deux solutions complexes de 1 +z+z²= 0? Factorisez 1 +z+z².

• Quelles sont les trois racines, réelles ou complexes, du polynômez³−1? (Autrement dit, quelles sont les trois solutions dez³= 1). Factorisez ce polynôme dansC, puis dansR.

• (plus dur ! !) Montrez, de façon plus général, que pour toutn, la somme desnracines complexes du polynôme zⁿ−1vaut 0. Il faut donc d’abord trouver l’expression des racines de ce polynôme ! Indice : l’une d’elles est e^2iπn ...

7. • Que vaut

XN

k=0

e^ikθ ?

Il faut se souvenir de la façon de calculer la somme des termes d’une suite géométrique...

• En déduire

XN

k=0

cos(kθ), et XN

k=0

sin(kθ)