TS Correction exercice 7 2011-2012
On considère le jeu suivant : une urne contient six boules blanches et une boule rouge. Le joueur tire successivement et sans remise une boule jusqu’à tirer la boule rouge. On notekle rang du tirage de la boule rouge. On suppose que, à chaque tirage, chaque boule a autant de chance d’être tirée.
Le joueur gagnekesikest pair et perdkesikest impair. SoirXla variable aléatoire qui correspond au gain du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité deX.
De toute évidence, on peut tirer la boule rouge au premier tirage, au deuxième, ... jusqu’au septième tirage on aura alors tiré que des boules blanches lors des 6 premiers tirages).
Ainsik∈ {1,2,3,4,5,6,7}
Remarque 1 Même si la variable aléatoireX correspond au gain du joueur,X peut prendre des valeurs néga- tives (le gain est une quantité algébrique).
On résume dans un tableau, les données de l’énoncé et la loi suivie par X :
k 1 2 3 4 5 6 7
X −1 2 −3 4 −5 6 −7
Probabilté deX =k 1 7
1 7
1 7
1 7
1 7
1 7
1 7 En effet :
• SoitR: « tirer la boule rouge » etR2: « la boule rouge est tirée au deuxième tirage » . On aR2={B1∩R}.
p(R2) =p(B1∩R) =p(B1)×p(R) = 6 7×1
6 = 1
7 puisqueRetB1sont indépendants et le tirage est sans remise.
• Et ainsi de suite,R3={B1∩B2∩R}doncp(R3) =p(B1)×p(B2)×p(R) = 6 7×5
6 ×1 5 =1
7
• Et etc ....
2. Calculer son espérance mathématique. Ce jeu est-il intéressant pour le joueur ? E(X) =−1×1
7 + 2×1
7 −3×1
7 +...+ (−7)×1 7 =−4
7
L’espérance de gain sur ce jeu étant négatif, il n’est pas intéressant pour le joueur.
My Maths Space 1 sur 1
