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Les tensions de radiation ; leur interprétation en mécanique classique et en relativité
Léon Brillouin
To cite this version:
Léon Brillouin. Les tensions de radiation ; leur interprétation en mécanique classique et en relativité.
J. Phys. Radium, 1925, 6 (11), pp.337-353. �10.1051/jphysrad:01925006011033700�. �jpa-00205225�
LE JOURNAL DE PHYSIQUE
E T
LE RADIUM
LES TENSIONS DE RADIATION;
LEUR INTERPRÉTATION EN MÉCANIQUE CLASSIQUE ET EN RELATIVITÉ
par M. LÉON BRILLOUIN.
Sommaire. 2014 Les efforts exercés par une onde sur une paroi (absorbante ou réfléchis- sante) sont ordinairement appelés pressions de radiation. Le terme de tensions convient mieux, car l’effort dépend de l’orientation de la paroi et n’est pas normal à celle-ci. Ces tensions ont été calculées par de nombreux auteurs, et généralement au moyen de rai- sonnements indirects. On avait cru possible de les interpréter en admettant que l’onde transporte une certaine quantité de mouvement; si E est la densité d’énergie, la densité de quantité de mouvement serait E/V,V étant la vitesse de propagation.
Les calculs directs, repris dans cette étude, ne confirment pas cette manière de voir ; on obtient les efforts exercés par les ondes en prenant les valeurs moyennes de la densité tensorielle des efforts et flux de quantité de mouvement. Le calcul est indiqué en détail pour une onde de compression dans un fluide, et redonne exactement les formules trouvées par d’autres méthodes: la densité de quantité de mouvement est nulle dans ce cas. Pour
une onde electromagnétique, les efforts sont les tensions de Maxwell, augmentées des termes d’électro- et de magnéto-striction ; leur valeur moyenne donne encore les tensions de radia- tion; la densité de quantité de mouvement est nulle, si l’on prend la théorie classique ;
en relativité, sa valeur est EV/c2.
Si l’on revient aux ondes élastiques dans un fluide, en les étudiant au point de vue de la mécanique relativiste, on trouve une densité de quantité de mouvement
EV/c2
$$(1p/03C1 ~03C1/~p)
,p étant la pression, et p, la densité.
De toutes façons, c’est la densité tensorielle des efforts qui permet d’interpréter les ten- sions de radiation ; la densité de quantité de mouvement n’a aucun rapport avec cette question; quelques remarques sur la théorie des quanta de lumière complètent l’article, ainsi que l’indication rapide des applications à la théorie des solides; les ondes élas- tiques dans un solide font l’objet d’une étude spéciale [Ann. de Phys., t. 4 (1925)],
p. 528.
L’article contient en outre (§ 8 et 9) l’expression détaillée de la densité tensorielle des efforts et flux de quantité de mouvement, pour un milieu continu quelconque étudié en mécanique relativiste.
SÉRIE VI. TOME VI. NOVEMURE 1925 11.
1. Position du problèmes La détermination des efforts moyens (pressions de radiation), exercés par une onde sur un miroir ou une paroi absorbante, est un problème important, tant au point de vue théorique que pour ses conséquences pratiques. Les ondes électromagnétiques, d’une part, les ondes élastiques, d’autre part, conduisent à des résultats
assez semblahles ; j’avais eu l’occasion de faire une révision des raisonnements généraux
sur ce sujet (’), mais des recherches récentes m’ont fait découvrir quelques inexactitudes dans les conclusions antérieures, soit dans les formules brutes, soit surtout dans leur inter-
prétation. Depuis Lord R’1yleigh, qui fut l’un des premiers à étutlier ces problèmes, on a
. (1) Anrzales de Sul;., t. 37 (1920), p. 337-559 (Thèse de
L8 JOURNAL DB PHYSIQUE ET LE SÉRIE VI. - T. VI. - N° il - NOVEMBRE 1925. 23
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01925006011033700
généralement supposé que la pression de radiation manifestait l’existence d’une qualtité de
mouvement transportée par l’onde : considérons, par exelnple, une onde électromagnétique
se propageant dans un fluide, 51111’allt ia direction et disposons une surface absorbante S’
dont la normale fasse un angle T avec nous observerons un effort exercé par la radia-
.
tion sur la surface (1); par unité d’aire, cet effort aura une composante normale
et une composante tangentielle
(1) J’appelle E la densité d’énergie de l’onde incidente, dont la vitesse de propagation V est
fonction de la densité p du milieu matériel fluide.
Nous voyons immédiatement, sur ces formules, qu’il ne s’agit pas d’efforts dont l’ensemble soit réductible à une pression; l’effort par unité de surface n’est pas normal à la surface et dépend de son orientation. Comment devons-nous traduire ces résultats "1
On a ordinairement énoncé les conclusions suivantes (?) : l’onde crée une augmentation
de pression moyenne
et transporte une certaine quantité de mouvement; admettant alors que la vitesse de trans- port de la quantité de mouvement est V, on en déduit qu’il doit y avoir, dans la région tra-
versée par l’onde, une densité de quantité de mouvement Elv.
Pour une onde électromagnétique, on ne voit d’ailleurs pas quelle serait l’origine de
cette densité de quantité de mouvement, puisque cette onde n’est accompagnée d’aucun déplacement matériel, il semble évident qu’elle possède une quantité de mouvement nulle;
v
.
les tbéories relativistes conduisent à la valeur E 2 , c étant la vitesse de la lumière dans le
c .
vide.
(1) Ces formules sont obtenues par des raisonnements mécaniques très généraux, qui ne font nullement ressortir l’origine des efforts l’V et T, mais fournissent brutalement les résultats (1) : c’est pourquoi l’on a
cherché une interprétation physique ; la déduction des tensions de radiation à partir des tenseurs des efforts, que je développe ici, montre d’où proviennent les tensions, et en constitue le procédé de calcul le
plus rapide. ,
(~) J’ai moi-même utilisé un énoncé de ce genre dans deux articles, publiés dans ce journal t. 3 (1922), p. 363], sur l’interprétation de la viscosité des liquides; le changement d’énoncé n’infirme veii rien les conclusions de ces études, qui reposaient uniquement sur l’emploi des formules (1), lesquelles sont
correctes.
... .
Pour des ondes de compression dans un fluide, on aboutit à des conclurions semblables ;
les formules (1) sont encore valables ; Lord Rayleigh avait calculé la densité de quantité de
mouvement et lui attribuait une valeur finie: j’avais (thèse, loc. cit, cru devoir corriger son résultat ; en réalité, ces déductions sont erronées ainsi que je m’en aperçus au cours d’une discussion avec P. Ehrenfest; la densité de quantité de mouvement est nulle en mécanique
v
classique, et prend, en relativité, une valeur de l’ordre de grandeur de E - ’
(;-
Il y a donc une difficulté réelle, et l’on doit admettre que les énoncés précédents sont
une traduction inexacte des résultats. Rien, d’ailleurs, n’oblige à admettre que le transport
de quantité de mouvement se fasse avec la vitesse V; on sait déjà que, dans un milieu dis-
persif, la vitesse V, qui sert à calculer les différences de phase entre deux points, n’cst pas
égale à la vitesse de transport de l’énergie (~), laquelle diffère peu de la vitesse de groupe.
La densité de quantité de mouvement n’a donc aucune relation simple avec les pressions de radiation, celles-ci dérivent au contraire directement du tenseur des efforts et flux de quan- tité de mouvement.
2. Tensions dans un milieu continu. Flux de quantité de mouvement
Pour bien préciser le sens des énoncés ultérieurs il est t utile que nous revenions sur
quelques définitions gé.nérales de la mécanique des milieux continus.
Considérons une petite région du corps : elle se trouve, à un instant t, animée d’une cer-
taine vitesse d’ensemble v par rapport à des axes de référence fixes orthogonaux
prenons un sys tème d’axes parallèles aux axes fixes, mais animés d’un mouvement de trans- lation rectiligne et uniforme avec la vitesse v ; par rapport à ces nouveaux axes Oyly2y3, la région considérée est au repos à l’instant t. Nous pouvons alors définir (~) les élas- tiques 0 dans cette région. Ces efforts forment, on le sait, une densité tensorielle à 2 indices (3)
Le sens de ces grandeurs est le sui;ant ; considérons un élément de surface (apporté
aux axes de composantes de2, A travers cette surface, la partie du corps située vers la normale négative exerce, sur la portion du corps placée du côté de la nor-
male positive, un effort dont les composantes sont
La force résultante sur un élément de volume d~ est
Les neuf composantes 8ik sont liées par les conditions de symétrie Sk = qui réduisent
à 6 le nombre de composantes indépendantes.
Si le corps considéré est un fluide, les efforts tangentiels e12, 031 sont nuls, tandis
que les efforts normaux 811, 0~, 0:3 sont égaux entre eux; leur valeur coinmune est - }J, p représentant la pression. Le tableau (2) se réduit donc alors à
(1) r. p. ex. L. BRILLOUIN. La théorie des quanta. (Conférences-rapports sur la phy.ique), chap. 1.
(2) J’ai repris de près ces définitions générales dans un article récemment paru aux .4nn. de Phys.,
t. 3 (192~)., p. 251-298, auquel le lecteur pourra se reporter.
(3) Je préciserai, autant que possible, la variance des grandeurs, en utilisant les indices supérieurs pour la contrevariance, et réservant les indices inférieurs à la covariance. Les applications porteront, d’ailleurs,
sur le cas d’axes orthogonaux, par rapport auxquels cette distinction n’est pas essentielle.
Pour étudier les mouvements du corps, les axes momentanément liés à chaque parcelle matérielle, ne seront pas utilisables. Nous devrons rapporter le corps à des axes fixes O.1’1.r2,r3 et nous pourrons encore définir un tenseur ~1 qui joue un rôle analogue au ten-
seur 0- à travers un élément de surface fixe d~’, nous aurons un transport de matière, puisque le corps est entrainé avec une vitesse r. L’effort exercé à travers la surface fixe
comprendra tout d’abord le terme puis le transport de quantité de mouvement par la matière qui s’écoule à travers la surface. La quantité de mOUyelnent par unité de volume
pe3; la quantité de mouvement, transportée par seconde, à travers une sur- face dc’, a pour composantes
’
Ce flux de quantité de mouvement pVivk est à retrancher de l’effort 0- Par rapport aux
axes fixes, nous obtenons donc le tableau des efforts et flux de quantité de mouvement, 1¥lk - eill qui forment une densité tensorielle deux fois covariante
La force résultante sur la matière qui se trouve à l’instant t dans un volume fixe d=’ sera
donnée par .
et les équations du mouvement, en coordonnées d’Euler, s’écrivent
Voyons maintenant comment appliquer ces résultats généraux au problème qui nous
intéresse. Supposons un milieu continu, traversé par une onde élastique qui se propage
librement; si nous disposions d’appareils de mesure infiniment légers et fidèles, nous pour- rions les placer dans le milieu à étudier, de telle sorte qu’ils soient entraînés par celui-ci
pendant ses vibrations. Nous mesurerions alors directement les tensions 0; mais les condi- tions supposées ci-dessus sont irréalisables. Nous aurons des appareils de dimensions finies ;
ces appareils occuperont des positions fixes dans le milieu; si leurs indications sont instan- tanées, ils nous donneront les valeurs du tenseur W (efforts rapportés à des instruments de
mesure fixes). Précisons cl’ailleurs que les parois des manomètres ainsi employés devront
être parfaitement absorbantes pour les ondes à étudier; s’il y avait, en effet, des réflexions d’ondes sur la paroi du manomètre, tout le mouvement vibratoire en serait troublé.
Supposons enfin que nos instruments aient une inertie considérable. Ils ne pourront
nous donner que les valeurs moyennes des tensions Ces valeurs moyennes sont justement
les tensions de radiation,
3. Ondes de compression dans un fluide. - Les efforts 0~ se réduisent alors à
une pression p, et la loi de compressibilité nous fera connaître la relation p - f (~); pour de
petites variations de densité, nous utiliserons un développement en série de Taylor
,
Considérons un mouvement ondulatoire qui se propage suivant l’axe Oxl ; la vitesse a pour
composantes vl = v; v2 = 0; les équations générales (8) se réduisent alors à
Il faut ajouter la rondition de conservation de la masse
Nous négligerons tout d’abord les termes du second degré, pv’ dans l’équation (10) et
1f"o (p - dans (9), quitte à vérifier plus loin l’ordre de grandeur des approximations
2 n
ainsi réalisées. I.4a formule (10) nous donne
Eliminant w entre (i1) et (10 bis), nous obtenons l’équation de propagation
Les variations de densité se propagent donc sans déformation, avec une vitesse
Prenons, par exemple, une onde sinusoïdale
La condition (H) nous donne la valeur de la densité de quantité de mouvement
La constante additive a qu’introduit l’intégration de (ii) correspondrait à un mouvement
d’ensemble du liquide, sans rapport avec le mouvement ondulatoire-, nous devons donc
prendre a _-_ 0.
La vitesse v est alors donnée par
La vitesse moyenne, observée en un point fixe .xl, n’est donc pas nulle, mais égale
2V
à - a z V ; ceci ne signifie aucunement qu’il y ait une vitesse d’ensemble; au lieu
2 /o- n
d’observer les différentes particules matérielles qui passent à chaque instant en .z’, nous pourrions suivre le mouvement d’une molécule, située initialement en rl; nous trouverions que la vitesse moyenne de cette molécule est zéro ; ce qui correspond bien à la condition de nullité de la densité de quantité de mouvement moy enne (14) (1). Les approximations que
nous avons faites, en négligeant dans l’équation (10) les termes du second degré reviennent
à admettre que les v itesses v dans Fonde sont très petites devant la vitesse de propagation V,
. ,.
2
de telle sorte qu’on puisse négliger V2 ou 2 devant l’unité.
Po
Calculons maintenant les valeurs moyennes des composantes du tenseur (6) ; les quan- (’) J’ai repris ces raisonnements sous une autre forme, au moyen des équations en coordonnées de
Lagrange; les résultats sont identiques; se reporter à l’article ,4nn, de t. 4 (1925), p. 528.
tités il,: 2, ~~, 1l"31 sont évidemment nulles : il nous reste à évaluer 1l~22 et ~t’3~ : la densité dans l’onde, est donnée par les expressions équivalentes _
Les tirets indiquent les valseurs 1110yennes dans le temps ; nous aurons alors (d’après 9).
Nous obtenons donc finalement, pour le tenseur des efforts et flux de quantité de mouve- ment, l’expression moyenne suivante
Ce sont les composantcs de la tension de radiation; les trois termes étant inégaux, nous ne
pouvons parler d’une pression, car les efforts moyens dépendront de l’orientation due la surface sur laquelle on fera la mesure. Soit un élément de surface d ~, de composantes
ce qui correspond au problème du §i (figure 1) ; les forces exercées par la radiation sur
cette surface s’obtiendront par des formules du type (3) ; ces efforts auront pour projections d f’ 1 et d (2’ sur les axes Ox1 et Ox2
ce qui redonne bien exactement les composantes normale ,Y et tangentielle T de nos
Îoifimule> (1). Nous avions supposé implicitement que la surface de l’instrument de mesure
est telle qu’elle n’apporte aucun trouble dans les mouvements vibratoires du fluide; c’est
dire que cette surface doit être parfaitement absorbante pour l’onde incidente. Si la surface forme miroir, il faudra tenir compte de l’onde réfléchie, dont les efforts viendront se super-
poser à ceux de ronde incidente.
4. Ondes élastiques dans un solide; dilatation thermique des solides. - La méthode que nous venons de développer est tout à fait générale, et s’applique aussi bien à la détermination des tensions de radiation pour des ondes élastiques se propageant dans un
solide. Ces tensiuns seront données par les valeurs moyennes du tenseur (6) des efforts et
du flux de quantité de mouvement, dans la région traversée par l’onde.
Le calcul devient, dans ce cas, un peu plus délicat, et conduit à des résultats assez
différents des précédents. J’ai donné autre part (1) le détail des raisonnements; les ondes ]onitudinales donnent un tenseur analogue à celui que nous avons obtenu pour les ondes de compression dans un fluide; mais pour les ondes élastiques transversales, l’aspect du
ten>eur se modifie complètement ; les efforts exercés sur une paroi absorbante dépendent
non seulement de Fangle d’ilcidence, mais aussi de la polarisation. Dans tous les cas, la
densité de quantité de mouvement est nulle, et ne joue aucun rôle.
Ces diverses forinules ont un grand intérêt au point de vue de la théorie de la dilata- tioii thermique. On admet actuellement que l’agitation thermique d’un solide peut être analysée en ondes élastiques : ces ondes sont les unes longitudinales, les autres transver-
sales, et se propagent en tous sens à travers le corps. Elles possèdent toutes sortes de fréquences, avec accumulation vers les hautes fréquences, pour lesquelles la demi-longueur d’onde est due l’ordre de grandeur des distances moléculaires. Soit El, la densité d’énergie ~ (
totale des ondes longitudinales, dont les directions de propagation sont supposées égale-
ment réparties suivant toutes les orientations ; soit Et, la densité d’énergie des ondes trans-
ver·ales, de toutes polarisations, et également diffusées en tous sens.
Les formules que j’ai établies permettent de calculer les efforts moyens exercés par ces ondes sur la surface qui limite le corps. Ces efforts se réduisent à une pression normale
formule dans laquelle VI et ~ sont respectivement les vitesses de propagation des ondes longitudinales et transversales ; ces vitesses dépendent de l’état de compression du solide
par l’intermédiaire de la densité p.
Sous l’influence de la pression u, due à l’agitation thermique, le solide se dilatera;
nous interprétons ainsi la dilatation thermique, qui se ramène à un pur problème d’élasti-
cité. La formule (17) diffère très peu de celle que Debye et Ratnowsky (’) ont établie par une voie détournée, et dont j’ai discuté les conséquences dans un travail antérieur (1).
. Les tensions de radiation des ondes électromagnétiques. Tensions de Maxwell. - Nous suivrons, pour les ondes électromagnétiques, la même méthode que dans les problèmes précédents ; nous savons qu’un milieu soumis à des actions électriques
et magnétiques est le siège de tensions de Maxcvell, grâce auxquelles on peut interpréter
toutes les forces qui s’exercent entre les corps électrisés, les aimants ou les courants. Nous
prendrons les expressions des tensions de Maxwell dans un milieu traversé par une onde
électromagnétique; les valeurs moyennes de ces tensions nous donneront les tensions de radiation. Nous nous bornerons, pour simplifier, au cas d’un milieu fluide, mais les calculs
pourraient aussi bien se faire pour un solide transparent; les formules seraient seulement
un peu plus compliquées.
Le calcul des tensions de Maxwell est exposé sous une forme très claire par II.-.A..
Lorentz ~1) - la méthode suivie est celle de Hertz. On calcule, pour un élément de matière contenu dans un volume dr, et par unité de temps, le travail p des forces électromotrices ; soit, d’autre part, q la somme de la chaleur de Joule, du flux d’énergie vers l’extérieur et de l’accroissement d’énergie électrique et magnétique interne. Pour un corps au repos, on a p = q; mais pour un corps en mouvement, la différence q - p représente le travail des forces pondéromotrices (égal à l’accroissement d’énergie cinétique de la particule maté- rielle). Soient h’ , les composantes du champ électrique; bi, b2, b3, celles de l’inluc- tion électrique ; H et B seront le champ et l’induction magnétique. Les forces pondéromo-
trices forment un tenseur analogue aux tensions dans un solide déformé.
Appelons 1J¡"ik les composantes de ce tenseur ; leurs v aleurs sont
(1) S. RATXOWSKY, Ann. der Phys., t. 38 (1913), p. 63 î.
’
(2) L. BRILLOUIX, Ann. Sup., t. 37 (1920), p. 431.
J’avais utilisa dans ce travail des formules de pression de radiation qui n’étaient pas exactes pour une onde isolée, mais leurs valeurs moyennes pour des ondes complètement diffusées étaient correctes, et con- formes à la formule lî ; on trouera dans cet exposé toutes les références utiles.
(3) Encyklopiidie der Bd Y. 2, Heft 1 ; ce volume contient deux articles :
Théorie de Maxwell, p. 63-144; voir spécialement p. 10J-i l.l . Théorie des électrons, p. l’~~-280.
Les paragraphes 5 et 6 ne font que résumer l’exposé de Lorentz.
et des expressions analogues pour les autres composantes (1). Ces formules sont écrites en
unités rationnelles Lorentz-Heaviside ; 11 é e 1 1 ]n représententles densités d’énergie électrique
’et magnétique, égales respectivement nous supposons que le corps, iso-
trope ou anrsotrope, ne présente pas d’ly-stérésis et que les inductions dépendent
linéairement des champs (hk ou Les formules (t~~ font intervenir les dérivées des éner-
gies (Il, et par rapport aux coiiiposaiites 1 clé la déformation (dilatations ", c2z, 033 et glissements , C2:3, ces dérivés sont frises à induction constante, ainsi que le rappelle
la lettre b ou Il placée en indice.
Pour un fluide isotrope, les expressions Il, et tl m ne dépendent t (à température donnée)
que de la densité, seul facteur qui puisse modifier le pouvoir inducteur spécifique li ou la perméabilité les Il- seront donc fonctions des déformations par l’intermédiaire de la dila- tation cubique -r,
et nous écrirons
Nous avons, d’autre part
et de même
Il faut insister sur ce point, que les formules (18) présentent une certaine part d’arbitraire.
Le raisonnement général de Hertz ne donne pas directement les tensions y, mais seulement leur action résultante sur un élément de volume; cette action est une densité de forces f
Or on peut modifier les valeurs des W sans changer les Îorcçs f ; ajoutons, par exemple, à 1J¡"11, 1¡¡"l2 et un vecteur >1"1 , X2, LB3 de divergence nulle
et nous ne changeons rien aux f. Nous avons admis la condition de symétrie W12 == ’If:! 1 ,
pour faire un clloia parmi cette infinité de systèmes possibles.
Les formules (18) sont les plus géiiéralemv-nt admises. On peut y distinguer les
(1) Les U? forment une densité tensorielle deux fois con trevariante ; on peut écrire la composante géné- rale sous la forme.
hî et BI sont des tenseurs du ordre; b et H sont des densités tensorielles du 1er ordre; T est donc bien
une densité tensorielle du 21 ordre; les g,l sont les conjugués des coeffirienls due la forme quadralique
ds’2 = 9t1. dx dxl ; pour le cas des axpsorthogonaux
1 ~: ~ - 1.
