G265-Attention à la peinture.
Six peintres : A, B, C, D, E, F peignent les 100 poteaux d’une clôture rectiligne.
A peint les poteaux de a en a à partir du premier ; B peint les poteaux de b en b à partir du deuxième ; C peint les poteaux de c en c à partir du troisième ; D peint les poteaux de d en d à partir du quatrième ; E peint les poteaux de e en e à partir du cinquième ; F peint les poteaux de f en f à partir du sixième.
Chaque poteau a été peint une seule fois.
a, b, c, d, e, f sont des entiers compris entre 1 et 100 inclus.
Combien y a t-il de 6-uplets (a, b, c, d, e, f) possibles ?
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Inspiré des olympiades américaines (2002-1 exercice 9) dans lequel il n’y avait que trois peintres.
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Solution proposée par Michel Lafond
Une étude détaillée (Voir ci-dessous) ou un programme montre qu’il y a exactement 26 six-uplets possibles, ce sont :
6, 6, 6, 6, 6, 6 6, 6, 100, 6, 6, 3 6, 8, 6, 4, 6, 8 6, 100, 6, 4, 6, 4 6, 100, 6, 6, 3, 6 6, 100, 6, 100, 6, 2 6, 100, 100, 6, 3,3 8, 6, 4, 6, 8, 6
8, 8, 4, 4, 8, 8 8, 100, 4, 4, 8, 4 8, 100, 4, 100, 8, 2 10, 5, 5, 5, 5, 10 100, 5, 5, 5, 5, 5 100, 6, 4, 6, 4, 6 100, 6, 6, 3, 6, 6 100, 6, 100, 3, 6, 3 100, 6, 100, 6, 2, 6 100, 8, 4, 4, 4, 8 100, 8, 100, 4, 2, 8 100, 100, 4, 4, 4, 4 100, 100, 4, 100, 4, 2 100, 100, 6, 3, 3, 6 100, 100, 100, 3, 3, 3 100, 100, 100, 4, 2, 4
100, 100, 100, 100, 2, 2 100, 100, 100, 100, 100, 1
On peut remarquer que dans chaque six-uplet solution, la somme des inverses des termes autres que 100 est égale à 1.
Par exemple dans (8, 100, 4, 4, 8, 4) on a : 1/8 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/4 = 1.
Cela traduit le fait que 100% du travail doit être exécuté.
Voici le début et la fin de la discussion à la main. (Avec un ordinateur c’est aussi possible.) : Le tableau ci-dessous correspond à environ 10 % de la discussion complète :
Les poteaux 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont peints respectivement par A, B, C, D, E, F.
On discute ensuite pour savoir qui va peindre les poteaux suivants :
Qui va peindre le poteau 7 ? Ou bien c’est A (a = 6) ou bien c’est B (b = 5) ou bien c’est C (c = 4) ou bien c’est D (d = 3) ou bien c’est E (e = 2) ou bien c’est F (f = 1).
Si c’est A [a = 6] alors A peindra 1, 7, 13, 19, 25, 31 etc.
Qui va peindre le poteau 8 ? Ou bien c’est B (b = 6) ou bien c’est C (c = 5) ou bien c’est D (d = 4) ou bien c’est E (e = 3) ou bien c’est F (f = 2).
Si c’est B [b = 6] alors B peindra 2, 8, 14, 20, 26 etc.
Qui va peindre le poteau 9 ? Ou bien c’est C (c = 6) ou bien c’est D (d = 5) ou bien c’est E (e = 4) ou bien c’est F (f = 3).
Si c’est C [c = 6] alors C peindra 3, 9, 15, 21, 27 etc.
Qui va peindre le poteau 10 ? Ou bien c’est D (d = 6) ou bien c’est E (e = 5) ou bien c’est F (f = 3).
Si c’est D [d = 6] alors D peindra 4, 10, 16, 22, 28 etc.
Qui va peindre le poteau 11 ? Ou bien c’est E (e = 6) ou bien c’est F (f = 5) Si c’est E [e = 6] alors E peindra 5, 11, 17, 23, 29 etc.
F doit alors peindre les poteaux 12, 18, 24 etc. (f = 6) et on vérifie facilement que le 6-uplet (6, 6, 6, 6, 6, 6) convient
Si c’est F [f = 5] alors F peindra 6, 11, 16, 21 etc. Mais 16 a déjà été peint par D.
Si c’est E [e = 5] alors E peindra 5, 10, 15, 20 etc. Mais C a déjà peint 15.
Si c’est F [f = 4] alors F peindra 4, 10, 16 etc. Mais B a déjà peint 14.
Si c’est D [d = 5] alors D peindra 4, 9, 14, 19 etc. Mais 14 a déjà été peint par B.
Si c’est E [e = 4] alors E peindra 5, 9, 13, 17 etc. Mais 13 a déjà été peint par A.
Si c’est F [f = 3] alors F peindra 6, 9, 12, 15, 18, 21 etc.
Qui va peindre le poteau 10 ? Ou bien c’est C (c = 7) ou bien c’est D (d = 6) ou bien c’est E (e = 5).
Si c’est C [c = 7] alors C peindra 3, 10, 17, 24 etc. Mais F a déjà peint 24.
Si c’est D [d = 6] alors D peindra 4, 10, 16, 22, 28 etc.
Qui va peindre le poteau 11 ? Ou bien c’est C (c = 8) ou bien c’est E (e = 6) Si c’est C [c = 8] alors C peindra 3, 11, 19, 27 etc. Mais 19 a déjà été peint par A.
Si c’est E [e = 6] alors E peindra 5, 11, 17, 23, 29 etc. et on vérifie facilement que le 6-uplet (6, 6, 100, 6, 6, 3) convient.
[C n’aura peint que le poteau 3]
Si c’est E [e = 5] alors E peindra 5, 10, 15, 20 etc. Mais F a déjà peint 15.
Si c’est C [c = 5] alors C peindra 3, 8, 13, 18 etc. Mais 13 a déjà été peint par A.
Si c’est D [d = 4] alors D peindra 4, 8, 12, 16, 20 etc.
Et ainsi de suite…
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Si c’est F [f = 1] alors F peindra 6, 7, 8, 9, 10 etc. Ce qui donne la solution
(100, 100, 100, 100, 100, 1) dans laquelle c’est F qui fait presque tout le travail en peignant 95 poteaux à lui seul.
F I N
