Devoir maison n° 3

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Devoir maison n°3 1/1 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Devoir maison n° 3

A. Se familiariser avec les factorielles

Soit n ☻ IN, on appelle factorielle de n l’entier noté n! défini par : n! = 1×2×…×n si nÃ1 et 0!=1.

Par exemple, 4! = 1 ×2 × 3 × 4 = 24 a. Calculer 3!, 5! et 6!.

b. Sans calculatrice et sans calculer 10!, montrer que 6! × 7! = 10!

c. Simplifier (n+1)!

n! .

d. Montrer par récurrence, que pour tout k ☻ IN^*, on a : k! Ã2^k−1.

e. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que n! Ã10⁷.

B. Etude d ’ une suite

On considère la suite

( )

^uⁿ définie pour tout n ☻ IN par un=1 0! + 1

1! + 1

2! + … + 1 n! 1. Calculer les 4 premiers termes de la suite.

2. Démontrer que

( )

^uⁿ est strictement croissante.

3. Le but de la question est de prouver que

( )

^uⁿ est majorée.

a. Démontrer que pour tout n☻IN*, unÂ1 + 1 2⁰ + 1

2¹ + … + 1 2ⁿ⁻¹. b. Démontrer que pour tout n☻É, 1

2⁰ + 1

2¹ + … + 1 2ⁿ⁻¹ = 2

 1−





1 2

n

. c. En déduire que

( )

^uⁿ est majorée par 3.

4. En déduire que la suite

( )

^uⁿ converge. (on ne demande pas de calculer sa limite).

C. Etude de suites adjacentes

On considère la suite

( )

^uⁿ définie dans la partie B. et la suite

( )

^vⁿ définie pour tout n par vn=un+ 1 n!. 1. Calculer les 4 premiers termes de la suite

( )

^vⁿ et démontrer que

( )

^vn nÃ2 est strictement décroissante.

En déduire que les suites

( )

^un nÃ2 et

( )

^vn nÃ2 sont adjacentes. On notera l leur limite commune.

2. Donner, en utilisant la question A.e. une valeur approchée, par défaut, de l à 10^-7 près.

3. Dans cette question, on va montrer que l est un irrationnel (c’est-à-dire un réel non rationnel). On va le prouver par l’absurde et supposant que l est un rationnel et montrer que ce n’est pas possible.

Pour cela, on suppose que l☻Q, c'est-à-dire quI ’il existe des entiers p et q (qý0) tels que l=p q . Il est clair que qý1 car d’après 2., l n’est pas un entier.

On admettra que pour tout entier nÃ2, on a : un<l<vn.(1) a. En déduire que, en particulier, uq<p

q<vq. b. Démontrer alors qu’il existe un entier a tel que a

q!<p q < a

q!+ 1 q!. c. Démontrer alors que a<p(q−1)!<a+1

d. En déduire une contradiction et conclure quant à la nature de l.

Info :On verra plus tard dans l’année que l est en fait le nombre irrationnel noté e