Devoir maison 3

Devoir maison 3

Solution proposée.

Lemme préliminaire. (3pts)

Soitt un réel. La fonction tangente a pour image R, plus précisément la restriction de tanà ₂;₂ est d’imageR; on peut donc écriretcomme la tangente d’un angle tel que j j< ₂. On en déduit

1 +ti

t+i = 1 +itan i(1 tan ) = 1

i

cos +isin

cos isin = i eⁱ

e ⁱ =eⁱ(² 2).

Lorsque t décrit R, l’angle décrit ₂;₂ , donc l’argument 2 ₂ décrit ³₂ ;₂ , donc ^1+ti_t+i =eⁱ(² 2) décrit toutUà l’exception deeⁱ² =i,c. q. f. d..

La fonction h. (13pts)

1. (1pt) Soitz 2C. Le complexe h(z) est bien dé…ni si et seulement si le dénominateurz iest non nul, ce qui montre que la fonctionhest dé…nie sur Cnfig et y prend des valeurs complexes. Puisque h n’est pas dé…nie eni, ce n’est pas une application deCversC.

2. (3pt) La relationh(a) =bn’ayant pas de sens poura=i, on supposeraa6=ipar la suite. La relation h(a) =bs’écrit alorsb= _{a i}¹ ,i. e.(sib6= 0)a i= ¹_b,i. e.a=i+¹_b. On déduit que l’image de hvaut Cnf0g (donchn’est pas surjective sur toutC) et quehest injective de réciproquei+_Id¹.

3. (1pt) Soita2Cnfig. On a les équivalencesh(a) =a() a i¹ =a()1 =a² ia()a² ia 1 = 0. Le discriminant du trinôme X² iX 1 vaut(i)²+ 4 = 3, donc l’égalité précédente ena équivaut à a=ⁱ ₂^p3, i. e.àa2 eⁱ⁶; e⁵ⁱ⁶ .

4. (2pts) Soit un réel. On a

h i+eⁱ = 1

(i+eⁱ ) i = 1

eⁱ =e ⁱ .

Ainsi, lorsque décritR, l’argument décrit lui aussi toutR, donch i+eⁱ décrit le cercle de centre 0et de rayon 1. L’image cherchéeh(i+U)est donc le cercle unitéU.

5. (2pts) Soitt un réel non nul. On a

h(t+i) = 1

(t+i) i = 1 t.

Lorsquet parcourtR , l’imageh(t+i) = ¹_t parcourtR . L’image cherchéeh(R +i)est donc la droite épointéeR .

6. (2pts) Soitu2Unfig. Le lemme préliminaire nous dit que us’écrit ^1+ti_t+i pour un réelt, d’où h(u) = 1

1+ti

t+i i = t+i

(1 +ti) i(t+i) =t+i 2 = t

2+ i 2.

Lorsque udécrit tout Unfig, le réel t décrit toutR, donc l’image h(u) = ₂^t +₂ⁱ décrit toute la droite passant par ₂ⁱ et dirigée par le vecteur ¹₂. L’image cherchéeh(Unfig)est doncR+₂ⁱ.

7. (2pts) [une jolie …gure](observer que les deux points …xes sont à l’intersection du cercleU+iet de son imageU, ainsi qu’à l’intersection du "cercle"Cnfig et son image R+ⁱ₂)

La fonction H. (13pts)

1. (1pt) Soitz2C. Le complexeH(z)est bien dé…ni si et seulement si le dénominateurz i est non nul, ce qui montre que la fonctionH est dé…nie surCnfig et y prend des valeurs complexes. PuisqueH n’est pas dé…nie eni, ce n’est pas une application deCversC.

1

2. (3pt) La relation H(a) = b n’ayant pas de sens pour a = i, on supposera a 6= i par la suite. La relationh(a) =b s’écrit alorsb = ^5+2a_{a i} = 2 +⁵⁺²ⁱ_{a i},i. e. b 2 = ⁵⁺²ⁱ_{a i},i. e. (sib6= 2)a i= ⁵⁺²ⁱ_{b 2}, i. e.

a= ⁵⁺²ⁱ_{b 2} +i= ^5+ib_{b 2}. On déduit que l’image deH vautCnf2g (doncH n’est pas surjective sur tout C) et queH est injective de réciproque ⁵⁺ⁱ_Id ^Id₂.

3. (1pt) Soit a2 Cnfig. On a les équivalences H(a) = a () ^5+2a_{a i} = a () 5 + 2a = a² ia () a² (2 +i)a 5 = 0. Le discriminant du trinômeX² (2 +i)X 5vaut(2 +i)²+ 4 5 = 23 + 4i, donc l’égalité précédente enaéquivaut àa=^{2+i p}₂²³⁺⁴ⁱ.

4. (2pts) Soit un réel. On a H i+eⁱ = 5 + 2 i+eⁱ

(i+eⁱ ) i =5 + 2i+ 2eⁱ eⁱ

:=arg(5+2 )

= 2 +

p5²+ 2²eⁱ

eⁱ = 2 +p

29e^{i( )}. Ainsi, lorsque décritR, l’argument décrit lui aussi toutR, doncH i+eⁱ décrit le cerclep

29U+2 de centre2 et de rayonp

29.

5. (2pts) Soitt un réel non nul. On a

H(t+i) =5 + 2 (t+i)

(t+i) i = 5 + 2t+ 2i

t = 2 + 5 + 2i t .

LorsquetparcourtR , l’image2 +⁵⁺²ⁱ_t parcourt2 +R (5 + 2i), qui est la droite passant par2et dirigée par le vecteur5 + 2idont on a "coupé" le point2. L’image cherchéeH(R +i)est donc la droite épointée 2 +R (5 + 2i).

6. (2pts) Soitu2Unfig. Le lemme préliminaire nous dit que us’écrit ^1+ti_t+i pour un réelt, d’où

H(u) = 5 + 2^1+ti_t+i

1+ti

t+i i = 5 (t+i) + 2 (1 +it)

(1 +ti) i(t+i) = (2 + 5i) +t(5 + 2i)

2 = 1 +5i

2 +t 5 2+i . Lorsque u décrit tout Unfig, le réel t décrit tout R, donc l’image 1 +⁵ⁱ₂ +t ⁵₂+i décrit toute la droite passant par1 +⁵ⁱ₂ et dirigée par le vecteur ⁵₂+i. L’image cherchée H(Unfig)est donc la droite R(5 + 2i) + 1 + ⁵ⁱ₂.

7. (2pts) [une jolie …gure](observer que les deux points …xes sont à l’intersection du cercleU+iet de son imagep

29U+ 2, ainsi qu’à l’intersection du "cercle"Cnfig et son imageR(5 + 2i) + 1 + ⁵ⁱ₂) Les matrices. (15pts)

1. (1pt) SoitF = a b

c d une matrice. On a par dé…nition F Fe = a b

c d

d b

c a = ad bc a( b) +ba

cd+d( c) c( b) +da =jFj 1 0 0 1 , e

F F = d b

c a

a b

c d = da+ ( b)c db+ ( b)d

( c)a+ac ( c)b+ad =jFj 1 0 0 1 . 2. (2pts) SoientF = a b

c d et = deux matrices. Par dé…nition, on a jF j = a +b a +b

c +d c +d

= (a +b ) (c +d ) (a +b ) (c +d )

= ac +ad +bc +bd

|{z} ac ad bc bd

| {z }

= ad +bc ad bc

= (ad bc) ( )

= jFj j j.

En échangeant les rôles de F et et en utilisant la commutativité du produit dans C, on en déduit j Fj=j j jFj=jFj j j=jF j.

2

3. (2pts) SoientF = a b

c d ; = etF = A B

C D trois matrices. On a par dé…nition

F ( F) = a b

c d

A+ C B+ D A+ C B+ D

= a( A+ C) +b( A+ C) a( B+ D) +b( B+ D) c( A+ C) +d( A+ C) c( B+ D) +d( B+ D)

= a A+a C+b A+b C a B+a D+b B+b D c A+c C+d A+d C c B+c D+d B+d D et (F ) F = a +b a +b

c +d c +d

A B C D

= (a +b )A+ (a +b )C (a +b )B+ (a +b )D (c +d )A+ (c +d )C (c +d )B+ (c +d )D

= a A+b A+a C+b C a B+b B+a D+b D c A+d A+c C+d C c B+d B+c D+d D ,

d’où l’égalité F ( F) = (F ) F en réordonnant les deuxième et troisième termes (soulignés) de chaque coordonnée.

Quelques essais suggèrent que la matrice I := 1 0

0 1 est neutre pour , comme on le véri…e aisément :

F I = a b

c d

1 0

0 1 = a1 +b0 a0 +b1

c1 +d0 c0 +d1 = a b

c d =F,

I F = 1 0

0 1

a b

c d = 1a+ 0c 1b+ 0d

0a+ 1c 0b+ 1d = a b

c d =F. 4. (2pts) Il y a cinq matrices à considérer, appelons-les-:= 1 0

0 0 ,&:= 0 0

0 1 ,%:= 0 1 0 0 , .:= 0 0

1 0 et o:= 0 0

0 0 . On obtient après calculs la table de composition suivante : o - & % .

o o o o o o

- o - o % o

& o o & o .

% o o % o -

. o . o & o .

On constate que le tableau n’est pas symétrique par rapport à sa diagonale principale (par exemple

% -=o 6=%=- %), ce qui traduit la non-commutativité de , d’où (a). Le tableau contient par ailleurs d’autresoque sur les premières ligne et colonne (par exemple- &= 0), d’où (b). On voit en…n que les matrices-et&sont chacune égale à leur carré, d’où (c).

5. (3pts) Soitz un complexe. Dès lors que les quotients suivants font sens, on a [h hF] (z) = h (hF(z))

= h az+b cz+d

=

az+b cz+d+

az+b cz+d +

= (az+b) + (cz+d) (az+b) + (cz+d)

= ( a+ c)z+ ( b+ d) ( a+ c)z+ ( b+ d)

= h⁰

@ a+ c b+ d a+ c b+ d

1 A

(z)

= h _F(z), 3

d’où l’égalité voulue.

Soit 2 C : on a h I = h⁰

@ 0

0

1 A

= _{0 Id}^IdC+0

C+ = IdC. Soit F une matrice. Lorsque jFj 6= 0, la question 1 permet ainsi d’écrireh_Fe hF =h_{F Fe} =h_jFjI = Id et de mêmehF h_Fe= Id, ce qui montre quehF est inversible d’inverseh_Fe.

6. (2pts) On a par exempleh=h⁰

@ 2 5 1 i

1 A

=h⁰

@ 4 10 2 2i

1 A

. En posantF := 2 5

1 i , on obtient Fe= i 5

1 2 , d’où

h ¹=h_F¹=h _Fe=h⁰

@ i 5

1 2

1 A

= iId +5 Id 2

(sanity check : c’est bien ce qu’on avait trouvé plus haut).

7. (3pts) (On n’écrira plus les pour alléger). Le calcul donneP Q=I =QP et P Q= 1 1 1 1 , d’où l’on déduit

Id +1 1 Id

18

= 2 66 4h⁰

@ 1 1 1 1

1 A

3 77 5

18

= [hP Q] ^{18question 5}= h_{(P Q)}¹⁸.

Or les puissances deP Qsont aisées à intuiter : en regardant le carré, on trouve (P Q)²= (P Q) (P Q) =P (QP)

| {z }

=I

Q=P Q=P ²Q

et l’on montrerait, grâce à la simpli…cation QP = I, par récurrence que (P Q)ⁿ = P ⁿQ pour tout entiern 0. On en déduit

(P Q)¹⁸ = P ¹⁸Q

= P

p2e ⁱ⁴ 0

0 p

2eⁱ⁴

18

Q

= P

p2e ^{i4 18} 0

0 p

2e^{i4 18}

! Q

= P 2⁹e ⁱ⁹² 0 0 2⁹eⁱ⁹² Q

= i i

1 1

2⁹e ⁱ² 0 0 2⁹eⁱ²

1 2

i 1 i 1

= 2⁸i i i 1 1

1 0 0 1

i 1 i 1

= 2⁸i i i 1 1

i 1 i 1

= 2⁸i 0 2i 2i 0 . Finalement, on trouveh_{(P Q)}¹⁸ =h

(2⁸i)(2i) 0

@ 0 1 1 0

1 A

=h⁰

@ 0 1 1 0

1 A

=^{0 Id}_{Id +0}¹ = _Id¹, d’où

Id +1 1 Id

18

(42) = 1 42.

4