L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚3
Pour le vendredi 10 f´evrier
Consid´erons la suite r´eelle (un)n∈N d´efinie par :
u0∈ √ 2,+∞
∀n∈N un+1=un+ 1− 1 u2n.
1. Etude de la fonction sous-jacente´ (a) Montrer que la fonctionf d´efinie par :
f: ]0,+∞[→R; x7→x+ 1− 1 x2 est strictement croissante sur ]0,+∞[.
(b) ´Etudier le signe de la fonctiong d´efinie par :
g: ]0,+∞[→R; x7→f(x)−x et interpr´eter graphiquement le r´esultat obtenu.
2. Etude de la suite´ (un)n∈N
(a) Montrer que la suite (un)n∈N est parfaitement d´efinie et `a valeurs dans ]1,+∞[.
(b) Montrer que la suite (un)n∈N est strictement croissante.
(c) Montrer que la suite (un)n∈N diverge vers +∞.
3. Recherche d’un ´equivalent
(a) Montrer que pour tout entier natureln: un≥√ n+ 2.
(b) Montrer que pour toutn∈N∗ :
1− 1
n+ 1 ≤un−un−1≤1.
(c) En d´eduire que pour toutn∈N∗ : n−
n+1
X
k=2
1
k ≤un−u0≤n.
(d) Soitn∈N≥2. On pose :
An =
b√ nc
X
k=1
1
k et Bn =
n
X
k=b√ nc+1
1 k.
Montrer que :
0≤An≤√
n et 0≤Bn≤ n−√ n+ 1
√n .
(e) En d´eduire que :
n
X
k=1
1 k
n →
n→+∞0 puis que :
un
n →
n→+∞1.
