Devoir maison n°3

Devoir maison n°3

Centre de gravité

À rendre pour le mercredi 19 octobre ABC est un triangle quelconque.

A

, B

et C

sont les milieux respectifs des segments [BC ], [AC ] et [AB ].

G est l’intersection des médianes (BB

) et (CC

).

Partie A.

On va démontrer une propriété connue :

Les trois médianes sont concourantes en G

On suppose donc dans cette partie qu’on ne sait pas que G ∈ (A A

) et on va le démontrer.

1. Soit D le symétrique de A par rapport à G.

Montrer, en utilisant éventuellement la propriété de la droite des milieux, que BGC D est un parallélogramme.

2. En déduire que la troisième médiane (A A

) passe aussi par G . Partie B.

Déduire de ce qui précède que −→ AG =

−−→

A A

.

La démonstration serait semblable pour les deux autres médianes.

Partie C.

On va démontrer que −−→ G A + −−→ GB + −−→ GC = − → 0 .

1. Soit E le point tel que ABEC parallélogramme.

Que peut-on en déduire pour A

? Que peut-on en déduire pour −→ AB + −→ AC ?

2. Montrer, à l’aide de la relation de C

, que −−→ G A + GB −−→ + −−→ GC = 3 G A −−→ + −→ AB + −→ AC.

3. En déduire que G A −−→ + GB −−→ + GC −−→ = − → 0 . Partie D.

Démontrer que, pour tout point M du plan, −−→ M A + −−→ MB + −−→ MC = 3 −−→ MG.