Devoir maison n˚3

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir maison n˚3

Pour le lundi 7 f´evrier.

Exercice 1

1. Soit f la fonction d´efinie par :

f : [0,1] → R

x 7→

r1 +x 2 . (a) On fixe un rep`ere R= (O;−→

i ,−→

j ) du plan. ´Etudier la position relative de la courbe r´epr´esentative de f et de la droite d’´equation y=x.

(b) ´Etudier le sens de variation def sur [0,1].

(c) Montrer que :

∀x∈[0,1] f(x)∈[0,1].

(d) D´emontrer que :

∀x∈[0,1] ∀y∈[0,1] |f(x)−f(y)| ≤ 1 2√

2 |x−y|.

2. On d´efinit la suite (u_n)∈N par :

u₀ ∈[0,1]

∀n ∈N un+1 =f(un). (a) D´eduire que la question 1.(d) que :

∀n∈N |u_n+1−1| ≤ 1 2√

2 |u_n−1|.

(b) En d´eduire que :

∀n∈N |u_n−1| ≤ 1

2√ 2

n

|u₀−1|.

(c) Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (u_n)_n∈N.

1

Exercice 2 : Soit 0< a₀ < b₀ deux r´eels donn´es. Pour tout n∈N, on pose : a_n+1 =p

a_nb_n et b_n+1 = an+bn

2 . 1. Montrer que :

∀n ∈N 0< a_n < b_n.

2. Montrer que la suite (a_n)n∈N est strictement croissante et que la suite (b_n)n∈N est stricte- ment d´ecroissante.

3. Montrer que :

∀n∈N 0< bn+1−an+1< b_n−a_n 2 . 4. En d´eduire que :

∀n ∈N 0< b_n−a_n≤ b₀−a₀ 2ⁿ .

5. Conclure quant au comportement asymptotique des suites (a_n)n∈N et (b_n)n∈N.

Exercice 3 : Soit (u_n)n∈N^∗ la suite d´efinie par : u₁ = 0,5

∀n ∈N^∗ u_n+1 = 0,1u_n+ 0,4.

1. Soitn∈N^∗. Donner une expression de u_n en fonction den.

2. ´Etudier le sens de variation et le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N^∗.

2