Devoir maison n°3
Cercle – Médiatrice
À rendre pour le jeudi 12 novembre.
Partie A : Définitions et propriétés 1. Le cercle
(a) Rappeler la définition du cercleC de centreΩet de rayonR, notéC(Ω;R).
(b) Montrer que, dans un repère orthonormé, oùΩa pour coordonnées (α;β) : M(x;y)∈C(Ω;R)⇔(x−α)2+(y−β)2=R2
2. La médiatrice
(a) Rappeler la propriété caractéristique (celle concernant les distances) de la médiatrice d’un segment [AB], notéD[AB].
(b) Montrer que, dans un repère orthonormé, oùAetBont pour coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) :
M(x;y)∈D[AB]⇔(x−xA)2+(y−yA)2=(x−xB)2+(y−yB)2 (c) En déduire queD[AB]admet une équation cartésienne de la forme
(xB−xA)x+(yB−yA)y+c=0 oùcest un réel qu’on explicitera.
Partie B : Applications
Le plan est muni d’un repère orthonormé¡ O;~ı,~¢
. SoitA(−1 ;−1),B(4 ;−2) etC(8 ; 2).
1. (a) Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB].
(b) Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [BC].
(c) En déduire les coordonnées du centreΩ du cercleC circonscrit au triangle ABC ainsi que son rayonR.
(d) En déduire que le cercle C circonscrit au triangle ABC admet comme équation cartésienne :
C :x2+y2−5x−7y=14
2. Déterminer les intersections éventuelles du cercleCavec chacun des axes de coordonnées.
3. SoitDla droite d’équationy=mx−3 oùmest un réel quelconque.
Déterminer selon les valeurs demle nombre de points d’intersection entre la droiteD et le cercleC.
