Planche 6 : séries de fonctions

(1)

Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC maths M Rharif

PC Planche 6

Séries de fonctions

approfondissement

Exercice 1

Soit la série de fonctions

1 n n



f définie par :

 

*

2

:

1 fn

x x

n nx





1. Montrer que

1 n n



f converge simplement. On note S sa somme.

2. Montrer que S est de classe C¹. 3. Déterminer ^lim

 

x S x



4. Montrer que

 

0 x

S x

x ^^ 5. Calculer 𝑆(1)

Exercice 2 :

Pour 𝑛 ∈ ℕ, on pose

|

𝑓_𝑛: ℝ₊^∗ ⟶ ℝ 𝑥 ↦⁽⁻¹⁾

𝑛

√^𝑥+𝑛

1. Etudier les convergences de la série de fonctions

∑

_𝑛≥0𝑓_𝑛. On notera 𝑆 sa somme.

2. Etudier la continuité et la dérivabilité de 𝑆.

3. Déterminer la limites de 𝑆 en +  4. un équivalent simple de 𝑆(𝑥) en 0⁺

Exercice 3 :

𝑎 > 0

Soit 𝑓 ∈ 𝐶([0, 𝑎], ℝ)

On définit par récurrence la suite de fonctions (𝑓_𝑛)_𝑛∈ℕ par :

{

𝑓₀= 𝑓

∀𝑛 ∈ ℕ , ∀𝑥 ∈ [0, 𝑎], 𝑓𝑛+1(𝑥) = ∫ 𝑓_𝑛(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 0

Etudier la convergence simple de ∑𝑛≥0𝑓𝑛 et calculer sa somme.