Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC maths M Rharif
PC Planche 6
Séries de fonctions
approfondissement
Exercice 1
Soit la série de fonctions
1 n n
f définie par :
*
2
:
1 fn
x x
n nx
1. Montrer que
1 n n
f converge simplement. On note S sa somme.2. Montrer que S est de classe C1. 3. Déterminer lim
x S x
4. Montrer que
0 x
S x
x 5. Calculer 𝑆(1)
Exercice 2 :
Pour 𝑛 ∈ ℕ, on pose
|
𝑓𝑛: ℝ+∗ ⟶ ℝ 𝑥 ↦(−1)
𝑛
√𝑥+𝑛
1. Etudier les convergences de la série de fonctions
∑
𝑛≥0𝑓𝑛. On notera 𝑆 sa somme.2. Etudier la continuité et la dérivabilité de 𝑆.
3. Déterminer la limites de 𝑆 en + 4. un équivalent simple de 𝑆(𝑥) en 0+
Exercice 3 :
𝑎 > 0Soit 𝑓 ∈ 𝐶([0, 𝑎], ℝ)
On définit par récurrence la suite de fonctions (𝑓𝑛)𝑛∈ℕ par :
{
𝑓0= 𝑓
∀𝑛 ∈ ℕ , ∀𝑥 ∈ [0, 𝑎], 𝑓𝑛+1(𝑥) = ∫ 𝑓𝑛(𝑡)𝑑𝑡
𝑥 0
Etudier la convergence simple de ∑𝑛≥0𝑓𝑛 et calculer sa somme.
