HEC ECS 1 : Fonctions : dérivation

HEC ECS 1 : Fonctions : dérivation

Dans ce chapitre, on considère des fonctions définies sur un intervalleIà valeurs dansR.

1 Dérivation en un point : taux d’accroissement

Définition 1.1. Soitx₀∈I.

1. Si lim

x→x₀

f(x)−f(x0)

x−x₀ existe et est finie, on dit que f est dérivable enx₀, et on note f⁰(x₀) cette limite (c’est le nombre dérivé enx₀).

On rappelle que f(x)−f(x₀)

x−x₀ est appelé taux d’accroissement de f enx₀.

2. Dans un repère du plan, la droite passant par le pointM₀ de coordonnées (x₀,f(x₀))et de coefficient directeur f⁰(x₀)est appelée tangente à la courbe représentative de f enM₀. Son équation est y= f⁰(x₀)(x−x₀) +f(x₀).

3. Si lim

x→x₀

f(x)−f(x0)

x−x₀ =±∞, la fonction f n’est pas dérivable enx₀, mais on dit que la courbe représentative de f admet une tangente verticale enM₀.

4. Si lim

x→x⁺₀

f(x)−f(x₀)

x−x₀ existe et est finie, on dit que f estdérivable à droite enx₀,

et on note la limite f_d⁰(x₀). La courbe représentative de f admet une demi-tangente à droite enM₀de coefficient directeur f_d⁰(x₀).

Si lim

x→x⁻₀

f(x)−f(x₀)

x−x₀ existe et est finie, on dit que f estdérivable à gauche enx₀,

et on note la limite f_g⁰(x0). La courbe représentative de f admet une demi-tangente à gauche enM₀de coefficient directeur f_g⁰(x₀).

Remarque 1.2. En posantx=x₀+h, l’étude de lim

x→x₀

f(x)−f(x0)

x−x₀ équivaut à l’étude de lim

h→0

f(x0+h)−f(x0)

h avec égalité en cas d’existence. Cela permet de se ramener à une limite en 0 pour toute étude de dérivabilité.

Proposition 1.3. Soit I un intervalle ouvert, x₀∈I et f :I→Rune fonction. La fonction f est dérivable en x₀si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche avec l’égalité f_d⁰(x₀) = f_g⁰(x₀).

On a alors f⁰(x0) = f_d⁰(x0) = f_g⁰(x0).

Exemple 1.4. 1. La fonction (x∈R+ 7→√

x∈R) n’est pas dérivable en 0, mais la courbe représentative de cette fonction admet une tangente verticale enO.

Par contre, la fonction(x∈R+7→x√

x∈R)est dérivable en 0 :

Remarque 1.5. Pour ces deux fonctions non définies à gauche de 0, la notion de dérivabilité à droite se confond avec celle de dérivabilité tout court.

2. La fonction valeur absolue est dérivable à gauche et à droite enx₀=0, mais n’est pas dérivable en 0.

On a f_d⁰(0) =1 et f_g⁰(0) =−1.

Etudier la dérivabilité de la fonctiong:x∈R7→ |x²−x|enx₀=1 :

3. Soit f :x∈R+7→

(x(lnx)six>0

0 six=0 . Montrer que f est continue en 0 puis étudier la dérivabilité de f en 0. Etudier les variations de f puis tracer l’allure de son graphe en soignant le détail au voisinage de 0.

4. Donner le nombre dérivé de la fonction inverse ena6=0 en utilisant le taux d’accroissement.

Proposition 1.6. Soit f :I→Ret a∈I. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. f est dérivable en a et f⁰(a) =λ.

2. Il existeλet une fonctionεtels que :∀x6=a :

f(x) = f(a) +λ(x−a) + (x−a)ε(x)aveclim

x→aε(x) =0 Démonstration. On a donc :

Proposition 1.7. Si f est dérivable en x₀∈I, alors f est continue en x₀. Démonstration. On a :

Attention à la réciproque qui est fausse ! ! Le contre-exemple usuel est :

2 Fonction dérivée

Définition 2.1. On dit que f est dérivable surI si f est dérivable en tout point deI, et on note f⁰la fonction (dite fonction dérivée) f⁰:x∈I7→ f⁰(x)∈R.

Proposition 2.2. Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I mais la réciproque est fausse.

Définition 2.3. Un fonction dérivable surI et dont la fonction dérivée est continue est diteC¹(I,R)

Exemple 2.4. Les fonctions polynômes, exponentielles, logarithmes, sin, cos, tan, .... sontC₁sur leur ensemble de définition, ainsi que des sommes, produits, composée quotient de celles ci, la où elles sont définies.

2.1 Les dérivées usuelles

Théorème 2.5. On a le tableau suivant :

f(x) f⁰(x) Ensemble de dérivabilité

a (constante 0 R

x^a(a∈R^∗) ax^x−1 R

√x 1

2√

x R^∗+

e^x e^x R

ln|x| 1

x R^∗+

cos(x) −sin(x) R

sin(x) cos(x) R

a^x(a>0) (ln(a))a^x R

tan(x) 1+tan(x)²ou 1

cos(x)² R\ {π

2+kπ|k∈Z} 2.2 Les règles de dérivations

Théorème 2.6. Soit f :I→Ret g:I→Rdeux fonctions dérivable sur I etλun réel.

1. On a alors f+g,λf , f g sont dérivables sur I, et (f+g)⁰=f⁰+g⁰ , (λf)⁰=λf⁰ et (f g)⁰= f⁰g+f g⁰ . 2. Si g ne s’annule pas sur I, alors 1

g et f

g sont dérivables sur I, et 1

g 0

=−g⁰ g² ,

f g

0

= f⁰g−f g⁰ g² .

3. Les fonctions suivantes sont dérivables sur leur ensemble de définition, sauf(x7→x^α)avecα∈Rdont la dérivabilité en0 dépend deα:

les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles,(x7→x^α),sin,cos,tan,exp,(x7→ln(|x|)).

Démonstration. Traitons par exemple le cas 2 :

Théorème 2.7. Si g est dérivable sur I et f est dérivable sur g(I), alors f◦g est dérivable sur I et (f◦g)⁰= (f⁰◦g)×g⁰ . Théorème 2.8. Dérivation des fonctions réciproques .

Soit f:I→Rune fonction continue et strictement monotone. Supposons f dérivable en x₀. Alors f⁻¹est dérivable en y₀= f(x₀)si et seulement si f⁰(x₀)6=0, et alors

(f⁻¹)⁰(y0) = (f⁻¹)⁰ f(x0)

= 1

f⁰(x₀) = 1 f⁰(f⁻¹ y₀).

Démonstration. lorsque f dérivable en x₀ : On prend y₀ et y dans J = f(I). On peut donc poser y₀ = f(x₀) et y= f(x) avec (x,x₀)∈I².

Le taux d’accroissement eny₀pour la fonction f⁻¹(et la variabley) est égal à :

Faisons maintenant tendrey versy₀. Par continuité de f⁻¹ (théorème de la bijection monotone), on a f⁻¹(y) qui tend vers f⁻¹(y₀), c’est-à-direxqui tend versx₀.

La limite du taux d’accroissement eny₀pour la fonction f⁻¹est donc égal à :

Remarque 2.9. Si f⁰(x₀) =0, alors f⁻¹admet une tangente verticale eny₀.

Si f n’est pas dérivable en x₀, mais que f admet une tangente verticale en x₀, alors f⁻¹ est dérivable en y₀ = f(x₀) et (f⁻¹)⁰(y0) =0.

Si f :I→Rest une fonction continue, strictement monotone, dérivable surI telle que f⁰ ne s’annule pas surI, alors f⁻¹est dérivable surJ= f(I)et (f⁻¹)⁰= 1

f⁰◦f⁻¹ .

Proposition 2.10. La fonctionarctanest dérivable surRet∀x∈R, arctan⁰(x) = 1 1+x² Démonstration :

Remarque 2.11. La formule(f⁻¹)⁰= 1

f⁰◦f⁻¹ montre que le signe de(f⁻¹)⁰est celui de f⁰donc on retrouve le fait que f et f⁻¹ ont le même sens de variation.

En cas d’oubli de la formule donnant(f⁻¹)⁰, on peut encore s’en sortir ... à condition de connaitre la formule de dérivation d’une fonction composée ! On part de f◦f⁻¹=Idet on dérive :

3 Les extremums et le théorème de Rolle

Proposition 3.3. Soit f :I→Ret x₀∈I.







f admet un extremum local en x₀ f est dérivable en x₀

x₀ n’est pas une extrémité de I

⇒ f⁰(x₀) =0

Remarque 3.4. – Dans cette proposition, la troisième hypothèse n’est pas superflue. Pourquoi ?

– Et la réciproque ? Si on a f⁰(x0) =0, cela implique-t-il l’existence d’un extremum local enx₀?

Théorème 3.5. (de Rolle) Soit f une fonction continue sur un segment[a,b], dérivable sur ]a,b[telle que f(a) = f(b) alors il existe un réel c∈]a,b[tel que f⁰(c) =0.

Démonstration. On a :

4 Égalité et inégalité des accroissements finis

Dans tout ce paragraphe,aetbsont deux réels tels quea<b.

4.1 Égalité des accroissements finis

Théorème 4.1. Soit f une fonction continue sur un segment[a,b], dérivable sur]a,b[, alors il existe un réel c∈]a,b[tel que f⁰(c) = f(b)−f(a)

b−a . Illustration:

Démonstration. Pour tout réelxde[a,b], posonsg(x) = f(x)−xf(b)−f(a) b−a .

La fonctiongainsi définie est continue sur le segment[a,b], dérivable sur]a,b[puisque f l’est ;

Exemple 4.2. Exercice d’application classique :

Montrer qu’étant donné un réelx>0, il existec∈]x,x+1[tel que ln(x+1)−ln(x) =1 c, puis en déduire que∀x>0, 1

x+1 ≤ln(x+1)−ln(x)≤1 x.

4.2 L’inégalité des accroissements finis

Théorème 4.3. – Version 1 : Soit f une fonction continue sur un intervalle[a,b], dérivable sur ]a,b[, telle que ∀x∈]a,b[, m≤ f⁰(x)≤M avec m et M constantes, alors on a m(b−a)≤ f(b)−f(a)≤M(b−a).

– Version 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I telle que∀x∈I,|f⁰(x)| ≤k avec k constante positive, alors on a :∀(x,y)∈I²,|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|

Démonstration. On démontrera la version 2.

2. En déduire que∀x∈R,|sin(x)| ≤ |x|.

4.3 Un exemple d’étude d’une suite définie par récurrence Soit(un)n∈Ndéfinie paru₀=0 et∀n∈N,u_n+1=1−u²_n

4 . 1. Donner les variations de f(x) = 1−x²

4 .

2. Vérifier queI= [0,1]est stable par f et en déduire que∀n∈N,un∈I.

3. Déterminer le(s) point(s) fixe(s) de f situé(s) dansI.

4. On poseα=√

5−2. Montrer que∀n∈N,|f(un)−α| ≤1

2|un−α|.

5. En déduire :∀n∈N,|u_n−α| ≤ 1

2 n

. Conclusion pour la suite(un)?

5 Variations et dérivées

Théorème 5.1. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

f⁰=0sur I ⇔ f est constante sur I f⁰≥0sur I ⇔ f est croissante sur I f⁰≤0sur I ⇔ f est décroissante sur I

Démonstration. On montre le 3ième point par exemple :

Remarque 5.2. Rappelons que l’on ne dit pas que la fonction inverse, par exemple, est décroissante sur R^∗ mais qu’elle est décroissante surR^∗₊ET décroissante surR^∗₋. Sinon on peut être amené à écrire des bêtises du style :

−2≤3⇒ −1 2 ≥1

3!

Autre exemple : la fonction f :

x7→ |x|

x

est définie surR^∗. Elle est égale à -1 surR^∗₋ et à 1 surR^∗₊. f est dérivable surR^∗. Quelle est la dérivée de f sur]0,+∞[et sur]−∞,0[?

Quelle conclusion tentante (mais fausse !) pourrait-on en tirer ?

Exemple 5.3. 1. Calculer la dérivée de la fonction f définie par f(x) =arctan(x) +arctan(1/x) 2. Étudier la dérivée dex7→ln(x+√

x²+1) +ln(−x+√ x²+1)

Théorème 5.4. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Si f⁰>0(resp. f⁰<0) sur I sauf en un nombre fini de points où f⁰s’annule, alors f est strictement croissante (resp. strictement