PaRrtBl o'ANAtvsp

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Univ. Paris

VIII,

^2013-2014

PaRrtBl o'ANAtvsp

¹

DunÉp : 2 upuRps

Les calculatrices sont'interd'ites, et les téléphones portables doi,uent être étei,nts.

Exercice

1

-

Dans cet exercice, ^les questions sont indépendantes.

1.

Posons

E : {r

^{e IR.}

tq l"-31 <

2}. Déterminer, si ils existent, le maximum, ^le minimum, Ia borne supérieure et la borne inférieure de ^.E dans lR..

2.

Soit

f @): ffi

Calculer les limites de

f (r)

quand

r

tend vers

-oo, -4, -2

^et

l-oo.

/

./n,!i

{

_i,.

fi ^3.

^{Calculer la}

^{limite d. t/F} - ^* +Z- ÿ'F+n

^quand

^r

^{tend vers}

^foo.

Notons g la fonction définie sur IR par S@)

: re*

si

r )

0, et

g(r) :

0 si

r I

0. Etudier Ia continuité et la dérivabilité sur IR. de

la

fonction g.

Posons

hlr): ry

Déterminer l'ensemble de définition de h. et calculer sa dérivée.

Exercice 2 -

^Le

^but

de cet exercice est l'étude de la fonction

/

définie par

ï(*) :1 _{+ ln} (.' !u':

\ & -f I

l'\

1.

Dans cette question, on étudie la fonction auxiliaire g définie par

g(r):12+.2r+7.

12+l

(a)

Déterminer l'ensemble de définition de g, et calculer les limites de

g(r)

aux bornes de cet ensemble.

1I ^(b)

^{Calculer la} dérivée de ^g.

1Z ^(c)

Dresser Ie tableau de variation de ^g.

/ | ^(d)

Déterminer le signe de

g(r), etpour

quelle(s) valeur(s) de

r

on a

g(r) :

^g.

2.

On revient maintenant à Ia fonction

/

définie au début de l'exercice.

/ I ^(a)

Quel est l'ensemble de définition de

/

^?

/ § ^(b)

Déterminer les limites de

/(r)

^quand

r

^{tend vers}

_{*oo, -oo} ^et _-1.

/ { ^(c)

^En

^utilisant

^{la question 1. (b)} , calculer la dériv ée de

f

^.

/ § ^(d)

Dresser Ie tableau de variation de

/

en précisant les éventuelles asymptotes.

/â ^(e)

Quel est le nombre de solutions de I'équation

f @):0

^avec

r

e IR?

4.

5.

a4

/r