241 – Suites et séries de fonctions. E & CE.
Le plan :
I) Modes de convergence et comparaison.
1) Pour les suites.
Définition de CVS et CVU pour les suites. Implication. Propriétés conservées par CVS et CVU.
Exemples et contre-exemples. Convergence Lp. Interversion de limites.
2) Pour les séries.
Définition de CVS, CVU et CVN pour les séries. Implications. Exemples et contre-exemples.
Interversion de limites.
3) Pour les variables aléatoires.
Exemples. Définition de CVPS, CVP, CV Lp, CVL. Schéma des implications diverses (quelquefois sous conditions).
II) Etude de limites.
1) Régularité.
Théorèmes de continuité, dérivabilité, différentiabilité d’une limite de suite/série de fonctions.
Théorèmes d’Ascoli et de Montel.
2) Intégrabilité.
Théorème de convergence monotone, lemme de Fatou. Théorème de convergence dominée.
Application : intégrales à paramètre, fonction Γ d’Euler.
III) Séries et suites particulières.
1) Séries entières.
Rayon de convergence et rayon de convergence. Notion de développement en série entière.
Théorèmes d’Abel et taubériens. Application : prolongement holomorphe de certaines fonctions avec analycité.
2) Séries de Fourier.
Base hilbertienne de L²(T). Weierstrass trigonométrique. Coefficient de Fourier, somme partielle de Fourier. Convergence L², égalité de Bessel-Parseval. Théorème de Fejér.
Existence de séries de Fourier de fonctions continues qui divergent.
3) Polynômes orthogonaux.
Dans L² : base hilbertienne (densité). Exemple : polynômes de Hermite. Vecteurs propres de la transformée de Fourier dans L².
Les développements :
B6 : Théorème de Fejér
B7 : Théorème taubérien fort de Hardy-Littlewood B18 : Prolongement méromorphe de Γ à C
B27 : Différentiabilité d’une limite, exemple de l’exponentielle matricielle La bibliographie :
[Go2]-[ZuQ]-[Pom]-[Rou]-[Hau]
