Série d’exercices Hichem Khazri Rotation 3

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Série d’exercices Hichem Khazri Rotation 3

^e

M

ROTATION

Exercice n°1

On considère un parallélogramme ABCD de centre O tel que AB ≠AD ;^{(AB ADuuur,uuur)≡π π}₃

[ ]

^{2 et}

π π

[ ]

uuur uuur ≡

( , ) 2

DA DB 2 . Soit E le point tel que CED soit un triangle équilatéral direct

1) Montrer qu’il existe une rotation R telle que R(A)=E et R(B)=D Préciser son angle θ et construire son centre I

2) La droite (EC) coupe (AB) en F

a) Montrer que^D∈

[ ]

^AE , que le triangle AFE est équilatéral direct et que R(F)=A b) En déduire que I est le centre du cercle circonscrit au triangle AEF

3) Soit R’ la rotation de centre C et d’angle₋π

3. Trouver R’(D) et R’(F) et en déduire que les droites (FD) et (BE) se coupent en un point J et que ^{( , )}

[ ]

JD JBuuur uuur ≡ −π π3 4) Soit Γle cercle circonscrit au triangle ABD. Montrer que Γpasse par I et J Exercice n°2

Soit ABCD un carré de centre O tel que

(

^{uuur uuurAB AD,}

)

^{≡π π}₂

^{[ ]}

² et les points E et F tels que 3

AE = 2AB uuur uuur

; 3

BF = 2BC uuur uuur

1) Soit _{1 ( , )}

O2

R ⁼

r

^π

a) Déterminer R A₁( ) ;R B₁( ) ; R C₁( ) ;R D₁( ) et R₁([AB)) b) Montrer que R E₁( )= F

c) Montrer que EC =DF et que (CE)⊥(DF) d) Montrer que DE = AF et que (DE)⊥(AF)

e) En déduire que {H}= (AF)∩(CE)est l’orthocentre du triangle DEF 2) Soit ₂

( , )I 4

R ⁼

r

^{π tel que R D2( )=C}

a) Déterminer et construire I b) Construire B'=R B₂( )

c) Montrer que ACB’ est un triangle isocèle en C Exercice n°3

Dans la plan orienté on considère un triangle équilatéral ABC de centre O de sens direct On désigne par M, N et P des points appartenant respectivement aux cotés [AB], [BC]et [CA]

Tel que AM=BN=CP (M ≠ AetM ≠B)

Soit R la rotation telle que R(A)=B et R(M)=N 1) Déterminer une mesure de l’angle de R 2) Montrer que O est le centre de R

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www.everyoneweb.fr/mathichem 3) a) Déterminer R(N) et R(P)

b) En Déduire que le triangle MNP est équilatéral

4) On note C₁ et C₂ les cercles circonscrits des triangles APM et BMN a) Montrer que R(C1)=C2

b) Montrer que O appartient à C1

c) E étant un point de C₁ On pose E’= R(E) Montrer que les points M, E et E’

sont alignés Exercice n°4

On considère dans le plan orienté un triangle ABC de sens direct et les triangles BAB’ et ACC’ rectangles isocèles en A et de sens direct

1) Montrer que BC’= B’C et que (BC’) ⊥(B’C)

2) a) Montrer qu’il existe une rotation R qui transforme B eb B’ et C en C’

Préciser l’angleθ et le centre J b) Construire le centre J de R 3) Soit E=B*C’ et F=C*B’

a) Déterminer l’image par ( , ) r A π2

de F b) Montrer que AFJE est un carré Exercice n°5

Soit ABC un triangle isocèle en A, B’ un point du segment [AB] distinct de A et B.

La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en C’

1) a) Montrer que AB’=CC’

c) Déduire alors qu’il existe une rotation r qui transforme A en C et B’ en C’

d) Déterminer l’angle de r e) Déterminer le centre I de r

f) Montrer que les points A, B’, C’ et I sont cocycliques Exercice n°6

Soit IBC un triangle équilatéral tel que (IBIC r r

, )≡^π₃

[ ]

^2π

On désigne par C le cercle de centre I et de rayon IB et par H=B*C la demie droite [HI) coupe C en A

Soit A’ le symétrique de A par rapport à (CI) et D symétrique de C par rapport à I

1- On considère la rotation R = ^r

( )

^I,π₃ Déterminer R(B) et R(A) en déduire que A’C=AB 2- Soit R₁ =^r

( )

^C,2₃^{π et R2 =r}

( )

^D,π₃

a- Montrer que R1= ^S

( )

^CB ο ^S

( )

^{CD et que R2= S}

( )

^CD ο ^S

( )

^BD

b- En déduire la nature et les éléments caractéristiques d l’application f = R1ο ^R2

3- a- Montrer que (AH)||(BD)

b- Soit g= ^S

( )

^{AH ο S}

( )

^BD Déterminer g(B) a- Donner la nature de g et caractériser g