Baccalauréat L spécialité L spécialité L’année 2004
EXERCICE2 6 points
Dans tout l’exercice, le format d’un rectangle est le quotient de sa longueur par sa largeur.
Le but de cet exercice est d’étudier deux formats différents.
Les partiesAetBsont indépendantes.
Partie A - Étude d’un premier format
Les dimensions d’une feuille rectangulaire (appeléeR1) sontletL(voir figure 1). Ainsi le format deR1est égal à L
l.
On coupeR1en deux rectangles égaux, appelésR2(voir figure 2).
On suppose quel<L<2l.
L
R1
l
Figure 1
L
l R2 R2
Figure 1 – Donner le format d’une feuilleR2en fonction deLetl.
– On suppose que les feuillesR1etR2ont le même format.
Montrer alors que le formatL
l est égal àp 2.
Partie B - Étude d’un second format
Soit un rectangle ABCD de longueur AB=Let de lar- geur AD=l.
On suppose quel<L<2l.
– On considère le carré AEFD construit dans le rec- tangle ABCD (voir figure 3).
Donner le format du rectangle EBCF en fonction deL
etl. A E B
F C D
Figure 3 Vérifier que ce format peut s’écrire 1
L l−1
.
– On poseL
l =x. On admet quexappartient à l’intervalle ]1 ;+∞[.
On se propose de trouver une valeur dextelle que les deux rectangles ABCD et EBCF aient le même format.
a.Montrer que les rectangles ABCD et EBCF ont le même format six= 1 x−1. b.On admet que, dans l’intervalle ]1 ;+∞[, résoudre l’équationx=
1
x−1, revient à résoudre l’équationx2−x−1=0 E1).
On rappelle que le nombre d’or estΦ= 1+p
5
2 . Montrer queΦest solution de l’équa- tion (E1).
c.Conclure.
Centres étrangers groupe 1 21 juin 2004
