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ACTIVITE :
Méthode géométrique pour résoudre des équations du second degré (Al-Khwarizmi)
Activité 1 : exemple de l’équation 𝒙
𝟐+ 𝟏𝟎𝒙 = 𝟑𝟗La justification de la méthode de résolution de l’équation donnée par Al Khwarizmi s’appuie sur une figure géométrique. Il cherche à déterminer le côté 𝑥 d’un carré ABCD de telle manière que, si on lui ajoute deux rectangles de dimensions 𝑥 et 5, BEFC et DCHI, on obtienne une figure AEFCHI dont l’aire soit 39.
a) Exprimer l’aire 𝐴. de la figure AEFCHI en fonction de 𝑥.
Quelle est l’aire 𝐴/ du carré FGHC (le griser) ?
En exprimant de deux manières l’aire du carré AEGI, trouver une équation qui permette de calculer 𝑥.
b) Al-Khwarizmi connaît les nombres négatifs mais ne les accepte pas comme solution de ses équations.
Quelle est la valeur de x calculée par Al Khwarizmi ? c) Et vous, quelle autre solution proposeriez-vous ?
d) Un autre exemple : utiliser cette méthode pour résoudre l’équation 𝑥/+ 4𝑥 = 12.
Activité 2 : forme canonique
a) Résolution de 𝟐𝒙𝟐+ 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎.L'idée est d'écrire cette équation sous la forme 𝑎(𝑥 − 𝐴)(𝑥 − 𝐵) = 0.
w on écrit d'abord : 2𝑥/+ 4𝑥 − 16 = 2(𝑥/+ 2𝑥 − 8)
w on constate ensuite que 𝑥/+ 2𝑥 est le début du développement de(𝑥 + 1)/ : (𝑥 + 1)/ =... donc
𝑥/ + 2𝑥 =... par conséquent:
𝑥/ + 2𝑥 − 8 =... et 2(𝑥/ + 2𝑥 − 8) = 2[(𝑥+. . . )/−. . . ] Cette dernière écriture est la forme canonique de 𝑓(𝑥) = 2𝑥/+ 4𝑥 − 16
w factoriser la forme canonique de 𝑓(𝑥).
w en déduire les solutions de l'équation donnée.
w utiliser la forme canonique de 𝑓(𝑥) pour déterminer le minimum de 𝑓 sur ℝ.
b) Application de la méthode : w Résoudre 2𝑥/− 𝑥 + 15 = 0
w Appliquer la méthode donnée ci-dessus pour déterminer si 𝑔(𝑥) = 𝑥/− 2𝑥 + 7 admet un maximum ou un minimum sur ℝ.
Pour quelle valeur de 𝑥 cet extremum est-il atteint ?
