TD 6 : Exemples.

2017-2018 MAT303–UGA

TD 6 : Exemples.

Exercice 1 : Une norme sur Mn(R). Soit Mn(R) l’ensemble des matrices carr´ees de taille n. On munit l’espace vectoriel Rⁿ d’une norme quelconque not´ee k · k, on note S la sph`ere unit´e dek · k.

1. Soit A ∈ M_n(R). On pose N_k·k(A) = max

x∈SkAxk. Montrer que l’on d´efinit ainsi une norme sur M_n(R). On appelle cette norme la normesubordonn´ee `ak · k.

2. Montrer que l’on a de plusN(AB)6N(A)N(B).

3. Montrer que k · k_∞ sur Mn(R) ' Rⁿ

2 n’est pas une norme subordonn´ee. On pourra consid´erer la matrice dont tous les coefficients valent 1, et son carr´e.

4. ExprimerN_k·k(A) en fonction des coefficients deA dans le cas o`uk · k=k · k<sub>∞</sub> surR<sup>n</sup>. Exercice 2 : Un espace de fonctions.On consid`ere E =C([0,1],R) l’ensemble des fonc- tions continues sur [0,1], `a valeurs r´eelles.

1. Montrer queE est un espace vectoriel r´eel.

2. En consid´erant la famille de fonctions (x7−→x^k)k∈N, montrer queE est de dimension infinie.

3. Pour toute fonctionf ∈E, on pose kfk_∞= max

x∈[0,1](|f(x)|).

(a) Montrer que l’on d´efinit ainsi une norme sur E.

(b) Quelle est la boule unit´e, la sph`ere unit´e de k · k_∞?

(c) Pour f dans E, ´ecrire avec des quantificateurs que g ∈ B_k·k∞(f, ε). Repr´esenter sch´ematiquement les graphes def etg.

(d) Soit (fn)n une suite d’´el´ements de E telle que fn −→

k·k∞

f. Justifier l’expression : fn

converge uniform´ement versf.

4. Pour toute fonctionf ∈E, on pose maintenantkfk₁ =R1

0(|f(t)|dt. Montrer que l’on d´efinit ainsi une norme surE.

5. En consid´erant la suite de fonctions (x7−→x^k)k∈N, montrer que les deux normes k · k₁ etk · k_∞ ne sont pas ´equivalentes.

6. Montrer que l’application f ∈E7→f(0) est lin´eaire, continue pourE muni dek · k_∞, mais pas pourE muni dek · k₁.

Exercice 3 : Continuit´e du d´eterminant.

1. Montrer que l’application det : Mn(R)−→R est continue.

2. Soit GLn(R) l’ensemble des matrices inversibles de taille n. Montrer que GLn(R) est un ouvert.

3. Soit (M_k) une suite convergente de matrices telles que pour toutk, il existe un vecteur x_k tel queM_kx_k= 0. Montrer que la limite de la suite (M_k) n’est pas inversible.

4. Montrer que SL_n(R) est un ferm´e.

Exercice 4 : Compacit´e de On(R). On d´efinit le groupe orthogonal O_n(R) ={M ∈M_n(R);^tM M =I_n}.

1. Montrer que l’applicationM ∈M_n(R)7→^tM M ∈M_n(R) est continue (on pr´ecisera la norme consid´er´ee sur M_n(R)).

2. Montrer que O_n(R) est un ferm´e de M_n(R).

3. Montrer que si C_i, i = 1, . . . , n, d´esignent les colonnes d’une matrice M de O_n(R), hC_i, Cji=δi,j (symbole de Kronecker, valant 0 sii6=j et 1 sii=j).

4. Montrer que On(R) est born´e, pour une norme de votre choix.

5. Conclure quant au titre de l’exercice.

Exercice 5 : Diff´erentiabilit´e du d´eterminant

On se place dans M_n(R), et pour tout couple (k, l) d’entiers inf´erieurs `a n, on note E_k,l la matrice qui a tous ses coefficients nuls, sauf son coefficient (k, l), qui vaut 1. Autrement dit, E_k,l= (δ_k,iδ_l,j)_16i,j6n (symbole de Kronecker).

1. Montrer que (E_1,1, . . . , E_1,n, E_2,1, . . . , E_2,n, . . . , E_n,n) forme une base de M_n(R). On note (x_1,1, . . . , x_1,n, x_2,1, . . . , x_2,n, . . . , x_n,n) les coordonn´ees dans cette base.

2. Pour tout (k, l), d´eterminer limt→0

(det(In+tEk,l)−det(In)

t .

En d´eduire les d´eriv´ees partielles de l’application det : M_n(R) → R au point I_n de Mn(R).

3. ´Etant donne H ∈ Mn(R), que vaut la diff´erentielle de det en In appliqu´ee `a H, DdetIn(H) ?

Exercice 6 : Premi`ere utilisation de la d´efinition abstraite de diff´erentiabilit´e.Soit f une application de Rⁿ dans R telle que, pour tout x ∈Rⁿ,|f(x)| ≤ kxk². Montrer que f est diff´erentiable en 0 et donner sa diff´erentielle.

Exercice 7 : Diff´erentiabilit´e de la norme.Soit (E,k.k) un espace vectoriel norm´e.

1. Montrer quek.k:E →Rn’est pas diff´erentiable en 0 (indication: penser aux d´eriv´ees directionnelles).

2. Si k.k est une norme euclidienne, montrer que k.k² : E → R est diff´erentiable en tout point, quek.k : E → R est diff´erentiable en tout point sauf 0, et exprimer leur diff´erentielle en termes du produit scalaire surE.

3. Dans cette question,E=R². D´eterminer les points deR² o`uk.kest diff´erentiable pour k.k=k.k₁,k.k₂ etk.k_∞.