IE6 Calcul intégral*******+******Correction

Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2009-2010

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Exercice 1

Pour s’échauffer : « 3mn »

( )

2 2

1 ln 2

2

1 ln 4 0 1

Calculer les intégrales suivantes:

; ^x ; 2 sin 2 ; 0.75 ^e lnx

A du B e dx C xdx I dx

x

− − π

− −

=

∫

=

∫

=

∫

=

∫

Exercice 2

Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2009-2010

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Correction Exercice 1

[ ]

[ ]

( ) ( )

²

2

1 1

1 1

ln 2 ln 2 ln 4 ln 2

ln 4 ln 4

2 2

0 0

2 3

1

1

2

2

2 sin 2 sin 2 2

ln ln 8

0.75 0.75 0.75 2

3 3

x x

e e

A du u

B e dx e e e

C xdx x

x x

I dx

x

π π

− −

− − − −

− −

= = =

 

= = −  = − =

= = − =

 

= =   = × =

 

 

∫

∫

∫

∫

Exercice 2

( ) [ ]

( )

( ) ( ) [ ]

[ ]

2

1) ) La fonction est dérivable sur l'intervalle 0,1 et on a:

2

'( ) 1 . '( ) est du signe de 1 sur 0,1 , 2

donc '( ) 0 pour tout de l'intervalle 0,1 , est donc décroissante sur 0

x

x

a f x e

x

e x

f x f x x

x

f x x f

−

−

= −

= − −

−

≤

[ ]

1 1 2

0 0

1 1 1 1 1

0 0 0

0 0

,1 .

1 1

b) On a 0 1 étant décroissante, (0) ( ) (1) ( ) . 2

2) (2 ) ( )

a) On pose 2 ' 1

(2 ) (2 ) (2 ) 3 4

x

x x

x x x x x

x f f f x f f x

e

J x e dx K x f x dx

u x v e u et v e

J x e dx x e e dx x e e

−

− −

− − − − −

≤ ≤ ≥ ≥ ⇔ ≤ ≤

= + =

= + = ⇒ = = −

     

= + = − +  − − = − +  −  = −

∫ ∫

∫ ∫

2

2 2

2

1 1

1 2 1 1 2 3 3

2

0 0 0 0 0

.

1 1

b) D'après la question 1)a) on a : ( ) , en multipliant par , 2

( ) , en utilisant la positivité de l'intégral, on obtient:

2 ( ) 1

2 3 6 3

e

f x x

e

x x

x f x e

x x x x

dx x f x dx dx K

e e

≤ ≤

≤ ≤

   

≤ ≤ ⇔  ≤ ≤  ⇔

   

∫ ∫ ∫

( )

( )

1 1 1

2 2

0 0 0

1 2

0

2 2

1 0

1. 6

c) (2 ) ( ) (2 ) ( ) d'après la linéarité de l'intégral.

donc (2 )

2

(2 ) 2 4

(2 )

2 2 2

d'où: 4

2

x x

x x

x x

x x

x

x

e K

J K x e dx x f x dx x e x f x dx

J K x e x e dx

x

x x e x e

e e

x e x

x x x

J K e

x

− −

− −

− −

− −

−

−

≤ ≤

+ = + + = + +

 

+ =  + + 

 − 

+ − +

+ + = =

− − −

+ = −

∫ ∫ ∫

∫

∫

⁴ ₀^{1 4 .}

2

1 1 1 1 4 1 4 1 3 11 19 1

d) D'après 2b), 3 4 3 .

3 6 3 6 3 6 4 4 24

: 0, 42.

e x

dx dx I

x

K J J K J I I

e e e e e e e

Application numérique I

= − =

−

≤ ≤ ⇔ + ≤ + ≤ + ⇔ − + ≤ ≤ − + ⇔ − ≤ ≤ −

∫

≃