Lycée Paul Rey Denis Augier
DM géométrie plane du 15 octobre 2018.
Ex 36 page 171
b) Comme I est le milieu derABson a l’égalité vectorielle ÝÑ
AI “ 12ÝÝÑ
AB. Donc : ÝÑ
IJ“ÝÑ IA`ÝÝÑ
AB`ÝÑ BJ “ ´1
2 ÝÝÑ AB`ÝÝÑ
AB`3 5
ÝÝÑ BC “ 1
2 ÝÝÑ AB`3
5
´ÝÝÑ BA`ÝÑ
AC
¯
“ 1 2
ÝÝÑ AB´3
5 ÝÝÑ AB`3
5
ÝÑAC “ ´1 10
ÝÝÑ AB`3
5 ÝÑAC
Pour le calcul deÝÑ J L: ÝÑ
J L“ÝÑJ B`ÝBAÝÑ`ÝÑAL“ ´3 5
ÝÝÑ
BC`ÝBAÝÑ`3ÝÑAC “ ´3 5
´ÝBAÝÑ`ÝÑAC
¯
´ÝABÝÑ`3ÝÑAC “ ´2 5
ÝÝÑ AB`12
5 ÝÑAC
c) On remarque que :
4ÝÑ IJ“4ˆ
ˆ
´1 10
ÝÝÑ AB`3
5 ÝÑAC
˙
“ ´2 5
ÝÝÑ AB` 12
5
ÝÑAC“ÝÑ J L Donc les vecteursÝIJÑetÝJ LÑ sont colinéaires. Donc les pointsI,J etLsont alignés.
Ex 47 page 174
a)ABCD est un parallélogramme doncÝÑ AC“ÝÝÑ
AB`ÝÝÑ BC “ÝÝÑ
AB`ÝÝÑ
AD. Donc : ÝÝÑAM “ ´2
5
ÝÑAC “ ´2 5
´ÝABÝÑ`ÝADÝÑ
¯
“ ´2 5
ÝÝÑ AB´ 2
5 ÝÝÑ AD Donc les coordonnées du point sontM`
´25;´25˘
b) Puisque E symétrique de B par rapport àM, on aÝÝÑ
BE “2ˆÝÝÑ
BM. Donc : ˆxE´xB
yE´yB
˙
“2
ˆxM ´xB yM ´yB
˙ ô
ˆxE´1 yE´0
˙
“2
˜
´25 ´1
´25 ´0
¸
“
˜
´145
´45
¸ ô
#
xE´1“ ´145 yE “ ´45 ô
#
xE “ ´95 yE “ ´45 Donc les coordonnées du point sontE`
´95;´45˘ . c) Des données de l’énoncé on obtient :
1ière Méthode :
• CommeGP pADq, on a xG“0.
• On a F P pDCq etpDCq{{pABq, doncyF “yD “1.
• Par constructionpEFq{{pADq etpADq “ pDGq, doncpEFq{{pDGq. De même, on montre quepF Dq{{pEGq.
Donc le quadrilatèreEGDF est un parallélogramme. DoncÝÝÑ EF “ÝÝÑ
GD.
ÝÝÑ EF “ÝÝÑ
GDô
ˆxF ´xE
yF ´yE
˙
“
ˆxD´xG
yD´yG
˙ ô
˜ xF `95
1`45
¸
“
ˆ0´0 1´yG
˙ ô
#
xF “ ´95 yG“ ´45
Premiére S 2018-2019 1
Lycée Paul Rey Denis Augier
2ième Méthode : bien plus efficace ! ! !
• CommeGP pADq, on a xG“0. Par construction pEGq{{pCDq{{pABq. DoncyG“yE “ ´49.
• On aF P pDCqetpDCq{{pABq, doncyF “yD “1. Par constructionpEFq{{pADq. DoncxF “xE “ ´95. DoncG`
0;´45 ˘
,F`´9
5 ; 1˘
etM`´2
5 ;´25 ˘ . On a ÝÝÑ
GM :
ˆxM ´xG yM ´yG
˙
“
˜´2 5 2 5
¸ et ÝÝÑ
GF :
˜´9 5 9 5
¸
. DoncÝÝÑ GF “ 2
9 ÝÝÑGM. Donc les vecteursÝÝÑ
GF etÝÝÑ
GM sont donc colinéaires. Donc les pointsG,M etF sont alignés.
Ex 72 page 180
Ap0; 1q ; Bp5;´2q ; Cp3; 4q 1. d médiatrice derABs.
(a) On obtient :
M A2 “ pxA´xMq2` pyA´yMq2 “ p0´xq2` p1´yq2 “x2`y2´2y`1 De même :
M B2 “ pxB´xMq2` pyB´yMq2 “ p5´xq2` p´2´yq2 “x2´10x`y2`4y`29 (b) Pour déterminer l’équation de la droite d :
M PdôM A“M Bloomoôon
car ą0
M A2“M B2ôx2`y2´2y`1“x2´10x`y2`4y`29
Donc d : 10x´6y ´28 “ 0 (Á partir de l’égalité précédente.) Cette équation est équivalente à d: 5x´3y´14“0
2. De même (puisqueM C2“ p3´xq2` p4´yq2 “x2´6x`y2´8y`25) :
M PD1 ôM A“M C ôx2`y2´2y`1“x2´6x`y2´8y`25ô6x`6y´24“0ôx`y´4“0 looooooomooooooon
d1
3. Comme le centre du cercle circonscrit est l’intersection des médiatrices, pour déterminer ses coordonnées, on doit résoudre :
"
5x´3y´14“0
x`y´4“0 ñ L1`3L2 5L2´L1
"
8x´26“0 8y´6“0 ñ
#
x“ 134 y“ 34
Pour déterminer le rayon, il suffit de calculer une des trois longueurs O’A ou O’B ou O’C (en notant O’
le centre du centre).
O1A“ b
`13
4 ´0˘2
``3
4 ´1˘2
“ b169
16 `161 “
?170 4
Premiére S 2018-2019 2
