Géométrie plane Plane geometry

(1)

Seconde européenne

Exercices de mathématiques

Chapitre 1

Géométrie plane Plane geometry

Koch’s snowflake, one of the most famous fractals

A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :

• placer un point dans un repère d’après ses coordonnées ;

• lire les coordonnées d’un point ;

• calculer les coordonnées du milieu d’un segment ;

• calculer une distance dans un repère orthonormé ;

• utiliser un repère pour résoudre un problème ;

• lire et appliquer un algorithme.

Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine

Année scolaire 2011/2012

(2)

(3)

Repérage de points

1.1

^Dans^le ^plan,ônônsidère ûn ^repère ôrthonormé

( O ; I, J )

^et^quatre ^points

A

^,

B

^,

C

et

D

^dans ^e ^repère.

1

^.

a

^. ^Donner ^les ^oordonnées ^des ^points

O

^,

I

^,

J

^,

A

^,

B

^,

C

^et

D

^dans ^le^repère

( O ; I, J )

^.

b

^. ^Plaer ^le^point ^de

E

^oordonnées

( − 1; 1)

^.

2

^. ^On ^se ^plae ^maintenant ^dans ^le^repère

(D; O, B)

^.

a

^. ^Ce ^repère ^est-il ^orthonormé^?

b

^. ^Donner ^les ^oordonnées ^des ^points

O

^,

A

^,

B

^,

C

^et

D

^dans ^e ^repère.

c

^. ^Plaer ^le^point

F

^de ^oordonnées

( − 1; 1)

^.

1 2

− 1 1 2 3

− 1

− 2

b O _b I

b J

b A

b B

b C

b D

1.2

Ôn ônsidère ûn ^repère

(O; I, J)

^.

1

^. ^Dérire^par ^une^phrase,^puisreprésenter graphiquementlapositiondespointsdont:

a

^. ^l'absisse ^est ^nulle^;

b

^. ^l'ordonnée ^est ^nulle^;

c

^. ^l'absisse ^est ^égale ^àl'ordonnée.

2

^. ^T^raer âve ^des ôuleurs ^diérentes, ^les ênsembles ^de ^points ^dont ^:

a

^. ^l'absisse ^est ^égale ^à

2

^;

b

^. ^l'ordonnée ^est ^égale ^à

− 3

^;

c

^. ^l'absisse ^ou ^l'ordonnée^est ^égale ^à

1

^;

d

^. ^l'absisse ^et ^l'ordonnée ^sont ^égales ^à

3

^.

3

^. ^Dans êtte ^question, ôn ^traera ^plusieurs ^repères. ^Hahurer, âve ^des ôuleurs ^dif-

férentes, leszones du plan où lespoints sonttels que:

a

^. ^leur ^absisse ^est ^supérieure^à

2

^;

b

^. ^leur ôrdonnée êst înférieure^à

2

^;

c

^. ^leur ^absisse ^est ^supérieure^à

− 3

êt^leur ôrdonnée êst înférieure^à

1

^;

d

^. ^leur âbsisse êst ^négativeêt ^leur ôrdonnée êst ^positive^;

e

^. ^leur âbsisse êst ^négativeêt ^leur ôrdonnée êst ^négative.

1.3

Ôn ônsidère ûn ^repère orthonormal

(O ; I, J )

^.

1

^. ^Plaer ^dans ^e ^repère ^les^points

A(1; 4)

^,

B(2; 6)

^,

C(3; 1)

^et

D(5; 7)

^.

2

^.

a

^. ^Plaer ^les ^points

A ^′

^,

B ^′

^,

C ^′

^et

D ^′

^images ^respetives ^de

A

^,

B

^,

C

^et

D

^par ^la

symétrie d'axe

( OI )

^.

b

^. ^Donner ^les^oordonnées^de ^haun ^des ^points^obtenus.

c

^. ^Si ^le ^point

M

^a ^pour ^oordonnées

(x; y)

^, ^quelles ^sont ^les ^oordonnées ^de ^son

image par lasymétrie d'axe

(OI)

^?

3

^.

a

^. ^Plaer ^les^points

A ^′′

^,

B ^′′

^,

C ^′′

^et

D ^′′

^images^respetives ^de

A

^,

B

^,

C

^et

D

^par ^la

symétrie d'axe

( OJ )

^.

b

(4)

c

^. ^Si ^le ^point

M

( x ; y )

image par lasymétrie d'axe

(OJ )

^?

4

^.

a

^. ^Plaer ^les ^points

A ^′′′

^,

B ^′′′

^,

C ^′′′

^et

D ^′′′

^images ^respetives ^de

A

^,

B

^,

C

^et

D

^par

lasymétrie de entre

O

^.

b

c

^. ^Si ^le ^point

M

( x ; y )

image par lasymétrie de entre

O

^?

1.4

^La ^gure î-dessous êst ônstituée ^d'un ârré, ^d'un

retangle, d'un triangle équilatéral et de deux triangles

retangles isoèles. On sait de plus que

A

^est ^le ^milieu ^de

[GB]

^, ^que

BE = AB

^et^que

JK = AB

^.

Donner les oordonnées des points

A

^,

B

^,

C

^,

D

^,

E

^,

F

^,

G

^,

H

^,

I

^,

J

^et

K

^dans ^le^repère

( A ; B, D )

^.

Indiations : Pour trouver les oordonnées des points

H

^,

I

^,

J

^et

K

^, ôn âlulera êrtaines ^longueurs ^grâe ^à ^des

théorèmes lassiques de géométrie.

A

B C D

E F

G H

I

J K

1.5

^Consider ^the ^gure ^on ^the ^right ^made ^of equilateral triangles with side

1

^,^where

I

^is ^the ^midpoint^of

HJ

^.

1

^. ^Give ^the ôordinates ôf âll ^the ^points ⁱⁿ ^the ôordi-

nate system

( G ; H, D )

^.

2

nate system

(A; B, C)

^.

3

nate system

( D ; H, E )

^.

b

A

B C

E

K H

F G

J L

D I

1.6

^On ^onsidère l'algorithmesuivant : begin

Input:

(x, y)

ôordinates ôf â ^point ^;

Plae the point

( x, y )

^;

x + 2 → a

^;

y + 1 → b

^;

Plae the point

( a, b )

ⁱⁿ^red ^;

end

1

^. ^Appliquer l'algorithme à haun des points suivants :

(1 ; 1)

^;

(3 ; 1)

^;

(4 ; 2)

^;

(5 ; 1)

^;

(5 ; 3)

^;

(4 ; 4)

^;

(5 ; 5)

^;

(3 ; 5)

^;

(3 ; 3)

^;

(1 ; 1)

^.

2

^. ^Quel ^semble^être ^le ^rle ^de ^et ^algorithme^?

3

^.

a

^. ^Reprendre^les^questions ^préédentes ^en ^onsidérantl'algorithmesimilairedans lequel

2 x → a

^et

2 y → b

^.^On ^traera^une ^nouvelle^gure.

b

^. ^Reprendre^les^questions ^préédentes ^en ^onsidérantl'algorithmesimilairedans lequel

y → a

^et

x → b

^. ^On ^traera^une ^nouvelle^gure.

(5)

Milieux et longueurs

1.7

^Dansl'algorithmei-dessous,

x _A

^et

y _A

représentent lesoordonnées d'unpoint

A

^et

x _B

^,

y _B

^elles ^d'un ^point

B

^.

begin

Input:

( x _A , y _A )

^and

( x _B , y _B )

^oordinates ^of ^two ^points ^;

Draw a artesian graph

(O; I, J )

^;

Plae point

A(x A , y _A )

^;

Plae point

B ( x _B , y _B )

^;

x _A +x _B

2 , ^y ^A ⁺ ₂ ^y ^B

→ ( x _I , y _I )

^;

Plae

(x I , y _I )

^;

end

1

^. ^Fâire ^fontionner êt âlgorithme^dans ^les^deux âs ^suivants^:

a

^.

A

^a^pour ^oordonnées

(2 ; − 1)

^et

B

( − 3 ; 1) b

^.

A

^a^pour ^oordonnées

(2 ; 2)

^et

B

( − 4 ; 6) 2

^. ^Quel ^semble^être ^le ^rle ^de ^et ^algorithme^?

1.8

În ^this êxerise, ^we ^work ⁱⁿân orthonormaloordinate system

(O; I, J)

^.

1

^. ^Plae ^the ^points

A(2, 0)

^and

B (0, 3)

^, ^then^ompute ^the ^length

AB

^.

2

^. ^Same ^question ^for ^the ^points

C(3, 4)

^and

D(1, 1)

^.

3

^. ^Let

A(x A , y _A )

^and

B (x B , y _B )

^be^two^points^suh ^that

x _B > x _A

^and

y _B > y _A

^.

a

^. ^Plae ^the ^point

C(x A , y _B )

^. ^What ^an ^you^say ^about ^triangle

ABC

^?

b

^. ^W^rite ^formulas ^for^the ^lengths

AC

^and

BC

^,ûsing^the ôordinates ôf

A

^and

B

^.

c

^. ^Dedue ^a ^formula^for ^the ^length

AB

^.

1.9

^Préiser ^si ^les quadrilatères suivants, dénis par les oordonnées de leurs sommets, sont des parallélogrammes en étudiant lesmilieuxde leurs diagonales.

1

^.

A(1; − 3)

^;

B(4; − 1)

^;

C(2; 1)

^et

D( − 1; − 1)

^.

2

^.

A( − 4; 1)

^;

B( − 1; 2)

^;

C( − 1; − 1.5)

^et

D( − 4; − 2)

^.

3

^.

A (1; 2)

^;

B (1; − 1)

^;

C ( − 1; 1)

^et

D ( − 1; − 2)

^.

1.10

^Préiser ^si ^les ^triangles ^suivants, ^dénis ^par ^les ^oordonnées ^de ^leurs ^sommets,

sont retangles, isoèles et/ou équilatéraux. Chaque propriété devra être démontrée en

utilisantles longueurs. Lerepère onsidéré est orthonormal.

1

^.

A(2; 3)

^;

B( − 4; − 2)

^et

C(3; − 1)

^.

2

^.

A( − 3; 1)

^;

B( − 3; − 2)

^et

C( − 1; − 2)

^.

3

^.

A(2; 2)

^;

B(0; − 2)

^et

C( − 1; 1)

^.

4

^.

A(1; 2)

^;

B(3; 4)

^et

C(0; 4)

^.

1.11

^In^anorthonormaloordinatesystem

(O; I, J )

^,^onsider^the^points

A(1, − 1)

^,

B (3, 1)

and

C ( − 1 , 3)

^. Â ^preise ^gure^will ^be^drawn, ^with ^graphialûnit ¹^môn ^both âxes.

1

^. ^Plae ^the ^points

A

^,

B

^and

C

^.

(6)

2

^. ^Find ^out ^the ^nature ^of ^triangle

ABC

^.

3

^. ^Compute ^the ^oordinates ^of ^the ^point

M

^,^midpoint^of ^the ^segment

AC

^.

4

^. ^Compute ^the ^oordinates ^of ^the ^point

D

^, ^symmetri^of

B

^around ^point

M

^.

5

^. ^Find ^out ^the ^nature ^of quadrilateral

ABCD

^.

1.12

^Dans ^un ^repère ^orthonormé

(O; I, J)

^, ^on ^onsidère ^les ^points

A(2; 1)

^,

B(4; 2)

^et

C ( − 1; − 1)

^. ^Soit

D

^le ^symétrique ^de

B

^par ^rapport ^à

A

^et

E

^le ^symétrique ^de

C

^par

rapportà

A

^,

M

^et

N

^sont ^les ^milieux^respetifs ^des ^segments

[CD]

^et

[EB]

^.

1

^. ^Plaer ^les^points^dans ^le ^repère.

2

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^des ^points

D

^,

E

^,

M

^et

N

^.

3

^. ^Démontrer ^que

A

^est ^le ^milieu^du ^segment

[M N]

^.

1.13

Ôn ônsidère ûn ^repère ôrthonormé

( O ; I, J )

^et ^les^points

A ( − 1; 2)

^et

B (2; 3)

^.

1

^. ^Quel ^est ^le^rayon^du ^erle

C

de entre

A

^passant ^par

B

^?

2

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^du ^points

C

^, diamétralementopposé à

B

^sur

C

.

3

^. ^Montrer ^que^le ^point

D

^de ^oordonnées

( − 2; 5)

^appartient^à

C

.

4

^. ^Quelle ^est ^la ^nature^du ^triangle

BCD

^?

1.14

^Soit

x

^un ^réel ^quelonque. ^On ^prend^les ^points

A ( − 3; 1)

^et

B (2 x − 1; 2 x )

^.

1

^. ^Plaer ^le ^point

B

^pour

x = 0

^, ^pour

x = 2

^et^enn ^pour

x = 8

^.

2

^. ^Quelles^relations^doit ^vérier

x

^pour ^que

B

^soit^le^milieu^de

[OA]

^? ^Est-e^possible^?

si oui, donnerles oordonnées de

B

orrespondantes.

3

^.

a

^. ^Caluler^les^longueurs

OA

^,

OB

^et

AB

^en ^fontion^de

x

^.

b

^. ^En^déduire^une^équation^d'inonnue

x

^vériées^lorsque^les^droites

(OA)

^et

(OB)

soient perpendiulaires.

c

^. ^En^déduire ^les^valeurs^de

x

^pour ^lesquelles ^ette ^propriété ^est ^vériée. ^Quelles

sontles oordonnées du point

B

orrespondant?

1.15

^Ens'inspirantde l'algorithmepermettantde alulerlesoordonnéesdu milieude deux points,érire un algorithmepermettant de aluler ladistane entre deux points.

1.16

^Dans l'algorithme i-dessous, on saisit les oordonnées de trois points

A

^,

B

^et

C

dans un repère orthonormé.

begin

Input:

( x _A , y _A )

^;

( x _B , y _B )

^and

( x _C , y _C )

^oordinates ^of^three ^points^;

(x B − x _A ) ² + (y B − y _A ) ² → D

^;

( x _C − x _B ) ² + ( y _C − y _B ) ² → E

^;

if

E = D

^then

Output: the triangleis... ;

else

Output: the triangleisnot ... ;

end if

end

(7)

1

^. ^Que ^faut-il^érire ^sur ^les^pointillés^?^Quel êst ^le^rle ^de êt âlgorithme^?

2

^. ^Proposer ^une ^modiation^de l'algorithme anqu'ilindique siun triangle

ABC

^est

retangle en

B

^ou^non.

Démontrer avec la géométrie analytique

1.17

^Soit

ABCD

^un parallélogramme. On note

I

^,

J

^,

K

^et

L

^lessymétriques respetifs de

A

^,

B

^,

C

^et

D

^par ^rapport^à

B

^,

C

^,

D

^et

A

^. ^On ^se^plae ^dans ^le^repère

(A; B, D)

^.

1

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^des ⁸ ^points ^dans ^e ^repère.

2

^. ^Démontrer ^alors ^que

IJKL

^est ^un parallélogramme.

1.18

^Let

ABCD

^be ^aparallelogram with enter

I

^.

Plae apoint

M

^on^segment

AB

^, ^dierent ^from

A

^and

B

^, ^then ^the ^point

N

^on^segment

CD

^suh^that

AM = CN

^.^Theâimôf^this êxeriseîs^to^prove,^by ^dierent^methods,^that

I

^is ^the ^midpoint^of ^segment

M N

^.

1

^. Ûsing â^lassi ônguration^:

a

^. ^Prove ^that

AM CN

^is ^aparallelogram.

b

^. ^Dedue ^that

I

^is ^the ^midpoint^of ^segment ^"

M N

^.

2

^. ^Using ^atransformation : Let

s

^be ^the ^symmetry ^around ^point

I

^.

a

^. ^Find ôur ^the îmages ôf ^point

A

^,^point

B

^and ^segment

AB

^under ^symmetry

s

^.

b

^. ^Dedue ^the ^image ^of

M

^under

s

^.

c

^. ^Conlude.

3

^. Ûsing â ôordinate ^system ^: ^Let

x

^be ^the ^absissa ^of ^point

M

ⁱⁿ ^the ^oordinate

system

( A ; B, D )

^.

a

^. ^Give ^the ^oordinates ^of ^points

A

^,

B

^,

C

^,

D

^,

I

^and

M

^.

b

^. ^Find ôut ^the ôordinates ôf ^point

N

^.

c

^. ^Conlude.

(8)

1.19

^Varignon^'s^theorem.

Let

ABCD

^be^a quadrilateral,with

R

^,

S

^,

T

^and

U

^the ^respetive ^midpoints^of ^segments

AB

^,

BC

^,

CD

^and

DA

^.

1

^. Conjeturing a property :

a

^. ^Draw ^a ^gure.

b

^. ^What ân ^youônjeture âbout quadrilateral

RST U

^?

2

^. ^Proving ^with ^lassi ^geometry^:

a

^. ^Prove ^that

RS

^is^parallel ^to

AC

^and ^that

RS = ^AC ₂

^.

b

^. ^Prove ^that

T U

^is^parallel ^to

AC

^and ^that

T U = ^AC ₂

^.

c

^. ^Dedue ^the ^nature ^of quadrilateral

RST U

^.

3

^. ^Proving^with âôordinate^system ^:^Consider^the ôordinate^system

( A ; B, D )

^.^Let's

denote

(x; y)

^the ^oordinates ^of ^point

C

^.

a

A

^,

B

^and

D

^.

b

R

^,

S

^,

T

^, ^and

U

^you ^may ^need ^to ^use ^the

unknowns

x

^and

y

^for ^some ^of ^them.

c

^. ^Compute ^the ôordinates ôf ^the ^midpoints ôf ^segments

RT

^and

SU

^.

d

^. ^Dedue ^the ^nature ^of quadrilateral

RST U

^.

4

^. ^Write ⁱⁿ Ênglish ^the ^property ^you ^proved ⁱⁿ ^this êxerise, ^known âs ^Vârignon's

theorem.

1.20

^Soit

ABCD

^un ^arré. ^Soient

I

^et

J

^les ^milieux ^respetifs ^des ^segments

[ AB ]

^et

[AD]

^. ^Soit

K

^le^point d'intersetion des droites

(ID)

^et

(BJ)

^. ^Le ^but ^de êt êxerie êst

de montrer queles points

A

^,

K

^et

C

^sont ^alignés.

1

^. Utilisation d'uneonguration :

a

^. ^Que ^représente

K

^pour ^le ^triangle

ABD

^?

b

^. ^Démontrer ^que ^si

O

^désigne^le ^milieu ^de

[BD]

^, ^alors

A

^,

K

^et

O

^sont ^alignés.

c

^. ^En^déduire ^que

A

^,

K

^et

C

^sont ^alignés.

2

^. Utilisation d'un repère :

a

^. ^Justier^que ^le ^repère

(A; B, D)

^est orthonormé.

b

^. ^Quelles^sont ^les^oordonnées ^des ^points

J

^et

C

^dans ^le ^repère^?

c

^. ^En^utilisant^le ^fait ^que

BK = ² ₃ BJ

^, ^aluler^les^oordonnées ^du ^point

K

^.

d

^. ^Caluler^les^longueurs ^des ^segments

CK

^,

KA

^et

AC

^.

e

^. ^Conlure.

(9)

Homework #1 – The Heighway dragon, part 1

Theobjetofthisexeriseisafamousdragonurve,alledtheHeighwaydragon,named

after one of the sientists who rst studied it,John Heighway, a NASA physiist.

Likeall dragonurves, it an bedened by asimple reursive proess, witha base and a

motif.

Part A – Pencil and paper construction

Startingfromabase segment,replaeeah

segment by 2 segments with a right angle.

If

A

^and

B

^are ^the extremities of the segment, the new point

C

^forms ^an ^isoseles

and right-angledtriangle,tothe left of the

initialsegment when movingfrom

A

^to

B

^.

The side

AB

îs^thenêrased.^This ônstru-

tion is alled the dragon from

A

^to

B

^.

b b

b

A

B C

dragon (step 1)

For the next step of the onstrution, we build the dragon from

C

^to

A

^and ^the ^dragon

from

C

^to

B

^, ^thus ^dening ^two ^new ^points

D

^and

E

^.

b b

b

A

B C

b b

D E

new points

b b

b

A

B C

b b

D E

dragon (step 2)

1

^. ^Draw^a ^segment

AB

^with ^length ^8m, ^then ^plae ^the ^point^C ^to ^draw ^the ^rst ^the

dragon step, as explained above. Don't forget that the dragon is drawn onthe left

and to erase the segment

[ AB ]

ât^the ênd ôf ^the ^proess.

2

^. Ôn â ^new ^gure, ^draw ^the ^seond ^dragon ^step, âs êxplained âbove, ^with ^the ^two

new points

D

^and

E

^.

3

^. ^Fôr ^step ^3,ôn â ^third^gure, ^draw ^the ^dragons^from

D

^to

A

^,^from

D

^to

C

^, ^from

E

to

C

^and ^from

E

^to

B

^.^This ^will^dene ⁴ ^new ^points, ^alled

F

^,

G

^,

H

^and

I

^.

4

^. ^Fôr ^step ^4, ôn â ^fourth ^gure, ^draw ^the ^dragons ^from êah ^new ^point ^to îts ^two

neighbors. This willdene eight points. At this point, you should have drawn four

separate gures,one for eah step.

(10)

Part B – With a little help from a computer

The Heighwaydragonan alsobeonstruted inaoordinatesystem

( O ; I, J )

^.^Given^the

two points

M

^and

N

^, ^we ân ûse ^the âlgorithm ^below ^to ^get ^the ôordinates ôf ^the ^new

point

P

ⁱⁿ^the ^dragon ^from

M

^to

N

^.

begin

Input: Two pairs of oordinates

(x M , y _M )

^and

(x N , y _N )

^;

x _M + x _N − x _M

2 − y _N − y _M

2 → x _P

^;

y _M + x N − x M

2 + y N − y M

2 → y _P

^;

The oordinates of point

P

^are

(x P , y _P )

^;

end

1

^. ^Reprodueⁱⁿ^aspreadsheetthe tablebelow. Atthe endofthehomework,sendyour spreadsheet tothe teaher, underthe name HW1-Yourname.ods.

A B C D E

1 xM 2

2 yM 2

3 xP

4 yP

5 xN 10

6 yN 10

2

^. ^What ^formula^must ^be^entered ⁱⁿ ^ell

E3

^to^get ^the ^absissa ^of ^point

P

^?

3

^. ^What ^formula^must ^be^entered ⁱⁿ ^ell

E 4

^to^get ^the ^ordinate ^of ^point

P

^?

Consider the points

A (2 , 2)

^and

B (10 , 10)

^.

4

^.

a

^. ^Use^the spreadsheettoomputethe oordinates ofthe point

C

^,^onstrutedⁱⁿ

the dragon from

A

^to

B

^.^Give ^learly ^the ^results ^on^your ^paper.

b

^. ^Use ^Geogebra ^to ^plae ^the ^points

A

^,

B

^et

C

^(you ^just ^have ^to^enter ^the ^oor-

dinatesofthe pointintheInput eld).Attheend ofthe homework,sendyour

Geogebra leto the teaher, under the name HW1-Yourname.ggb.

5

^.

a

^. ^Use ^the spreadsheet to ompute the oordinates of the point

D

^(dragon ^from

C

^to

A

⁾ ^and ^the ^point

E

^(dragon^from

C

^to

B

^).

b

^. ^Plae ^these ^new ^points ^on^your ^Geogebra ^gure.

6

^.

a

^. ^Use ^the spreadsheet to ompute the oordinates of the points

F

^,

G

^,

H

^,

I

(respetively dragonsfrom

D

^to

A

^, ^from

D

^to

C

^,^from

E

^to

C

^,^and ^from

E

^to

B

^).

b

^. ^Plae ^these ^new ^points ^on^your ^Geogebra ^gure.

7

^.

a

^. ^Use^the spreadsheet tond the 8 new points inthe next step.

b

^. ^Join^the ^points^to ^build^the ^nal ^step ^gure.

(11)

Homework #2 – The Heighway dragon, part 2

In this seondhomework about the dragon urve, wewill study the length of the urve.

For this part, at any given step, we all

ℓ

^the ^length ^of ^one ^segment,

N

^the ^number ^of

segments and

L

^the ^total ^length ôf ^the ûrve. ^The ^table ^below ^will ^be ôpied ôn ^your

paper and lled inthe next questions.Don't try toll itatthe beginningof the part.

Step 0 Step 1 Step 2 Step 3 Step 4 Step 5 Step 6

N 1

ℓ 8

L 8

Preliminary question :

^Explain ^the ^values ^given ⁱⁿ ^the ^table ^for^step ^0.

Part A – The numbers of segments, N

1

^. ^Count ^the ^number ôf ^segmentsât ^steps ^1,^2, ^3,⁴ ând ^put ^the ^values ⁱⁿ^the ^table.

2

^. ^Findôut^the^numberôf^segments^there^will^beât^steps⁵ând^6.Êxplain^your^results.

3

^. ^More ^generally^,^nd^the ^formula^that ^gives^the^number^of^segments^at^step

n

^,^where

n

îsâny ^whole ^number. ^You^don't ^need ^to^proveît.

Part B – The length of one segment, ℓ

1

^. ^Consider ânîsoseles ând right-angledtrianglewhose hypotenuse has length

a

^. ^Use

a famous theorem to prove that the length of the other two sides is

a √ 2 2

^.

2

^. Ûse ^the ^previous ^question ^to ômpute ^the ^length ôf êah ^segment ⁱⁿ ^step ^1. ^Give

the exat value, not an approximate.

3

^. ^Compute ^the ^length^of ^eah ^segment ⁱⁿ^step ^2.

4

^. În ^the^same^way,ômpute^the ^lengthôfêah^segment ⁱⁿ^step ^3,^thenⁱⁿ^step^4.^Give

exat values.

5

^. ^Copy ^all^these ^values ⁱⁿ^the ^table.

6

^. ^Chek ^that

^√ ¹ ₂ = ^√ ₂ ²

^. ^Dedue ân êasy ^way ^to ômpute ^the ^length ôf â ^segment ât

one step fromthe length inthe previousstep.

7

^. Ûse ^the ^previous^question ^toômpute ^the ^length ôf êah ^segment ⁱⁿ^step ^5,^then ⁱⁿ

step 6. Give exat valeursand put these values inthe table.

8

^. În ^what ^step îs ^the ^length ôf â^segment êqual^to

¹ ₄

^?

Part C – The total length of the curve, L 1

^. ^Find ^a^simple ^relation ^between ^the ^numbers

N

^,

ℓ

^and

L

^.

2

^. ^Use ^this ^formula ^to^ll^the

L

^-rowⁱⁿ^the ^table.Ûse ônly êxat ^values.

3

^. ^F^rom ^what ^step îs ^the ^total ^length ôf ^the ûrve ^greater^than ⁵⁰⁰^?

4

^. ^The ^Heighway ^dragonîs ⁱⁿ^fat^the ûrve^you^get âfterînnitely^many ^steps.^What

do you thinkof the length of that urve?

(12)

Devoir de l’année précédente

Dans et exerie, on onsidère un arré

ABCD

^. ^Nous ^allons ^étudier ^dans ^plusieurs ^as

partiuliers une situation d'alignement. On eetuera une gure diérente pour haque

partie. On plaera le arré de sorte que le point

A

^soit ^en ^bas ^à ^gauhe, ^le ^point

B

^en

haut à gauhe, et ainsi de suite dans lesens des aiguillesd'unemontre. On se plaedans

le repère

(A; B, D)

^.

Questions préliminaires :

1

^. ^De ^quel ^type ^le ^repère

(A; B, D)

^est-il^?

2

^. ^Donner, ^sans justiation, lesoordonnées des sommets du arré dans e repère.

Partie A – Premier cas particulier

Dans ette partie, les points

E

^et

F

^sont ^tels ^que

B

^est ^le ^milieu ^de

[ AE ]

^et

D

^est ^le

milieu de

[AF ]

^. Â^vant ^de ^les âvoir âlulé, ôn ^note

(x E ; y _E )

^et

(x F ; y _F )

^les ^oordonnées

des points

E

^et

F

^. Ên âs ^d'éhe âux ^questions ¹ êt ^2, ôn ^pourra ^lire ês ôordonnées

graphiquement.

1

^. ^F^aire ^une ^gure^préise.

2

^.

a

^. ^Exprimer^en ^fontion ^de

x _E

^et

y _E

^les^oordonnées ^du ^milieu^du ^segment

[AE]

^.

b

^. ^Déduire ^de ^l'énoné ^et ^de ^la^question ^préédente ^des ^équations ^permettant ^de

trouverles valeurs de

x _E

^et

y _E

^.

c

^. ^Résoudre ^les^équations^de ^la^question^préédente ^et^donner^les^oordonnées^du

point

E

^.

3

^. ^En ^suivant^la ^même ^méthode, ^déterminer ^les^oordonnées ^du ^point

F

^.

4

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^du ^milieu^du ^segment

[EF ]

^.

5

^. ^Que ^peut-on ^en ^déduire^pour ^les ^points

E

^,

C

^et

F

^?

6

^. ^Caluler^la ^longueur

EF

ên ûtilisant^les ôordonnées ^des ^points

E

^et

F

^.

Partie B – Deuxième cas particulier

Dans ette partie,les points

E

^et

F

^ont^pour ^oordonnées ^respetives

(0; ³ ₂ )

^et

(3; 0)

^.

1

2

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^du ^point

G

^, ^milieu ^de

[ CF ]

^.

3

^. ^Prouver ^que

C

^est ^le ^milieu ^du ^segment

[EG]

^.

4 E

^,

C

^et

F

^?

5 EF

E

^et

F

^.

Partie C – Troisième cas particulier

Dans ette partie,les points

E

^et

F

^ont^pour ^oordonnées ^respetives

(0; ⁴ ₃ )

^et

(4; 0)

^.

1

2

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^du ^point

G

^, ^milieu ^de

[EF ]

^.

(13)

3

^. ^Prouver ^que

C

^est ^le ^milieu ^du ^segment

[ EG ]

^.

4 E

^,

C

^et

F

^?

5 EF

E

^et

F

^.

Partie D – Le cas général

Dansette partie,toutetrae de reherhe etde réexion,mêmeinomplète oubaséesur

des exemples, sera valorisée. Pour tout entier naturel

n

^non ^nul, ^on ^dénit ^le ^point

F

omme lepointde oordonnées

(n; 0)

^.

1

^. ^Que ^peut-on ^dire ^de ^la^position ^du ^point

F

^?

2

^. Conjeturer, en fontionde

n

^,^les ^oordonnées^du ^point

E

^de ^l'axe

( AB )

^tel^que

E

^,

C

^et

F

^soient^alignés.

3

^. ^Quand

n

^augmente, ^que^se ^passe-t-il^pour ^la ^distane

EF

^?

(14)

(15)

(16)

Repérage de points . . . 1

Milieux et longueurs . . . 3

Démontrer avec la géométrie analytique . . . 5

Homework #1 – The Heighway dragon, part 1 . . . 7

Homework #2 – The Heighway dragon, part 2 . . . 9

Devoir de l’année précédente . . . 10

Related Episodes

Basic geometry vocabulary . . . Episode 01 Classic configurations . . . Episode 02 Special lines in a triangle . . . Episode 03 Time’s Up Geometry . . . Episode 04 Algorithms . . . Episode AP01 Using the calculator . . . Episode AP02

More ressources on

http://lyeeenligne.free.fr /

http://setioneurosens.free .fr/

Géométrie plane Plane geometry

Seconde européenne

Exercices de mathématiques

Chapitre 1

Géométrie plane Plane geometry

Koch’s snowflake, one of the most famous fractals

A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :

• placer un point dans un repère d’après ses coordonnées ;

• lire les coordonnées d’un point ;

• calculer les coordonnées du milieu d’un segment ;

• calculer une distance dans un repère orthonormé ;

• utiliser un repère pour résoudre un problème ;

• lire et appliquer un algorithme.

Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine

Année scolaire 2011/2012

Repérage de points

1.1

( O ; I, J )

A

B

C

D

1

a

O

I

J

A

B

C

D

( O ; I, J )

b

E

( − 1; 1)

2

(D; O, B)

a

b

O

A

B

C

D

c

F

( − 1; 1)

1 2

− 1 1 2 3

− 1

− 2

b O b I

b J

b A

b B

b C

b D

1.2

(O; I, J)

1

a

b

c

2

a

2

b

− 3

c

1

d

3

3

a

2

b

2

c

− 3

1

b O _b I

A ^′

B ^′

C ^′

D ^′

A ^′′

B ^′′

C ^′′

D ^′′

A ^′′′

B ^′′′

C ^′′′

D ^′′′