Géométrie plane Plane geometry

(1)

Seconde européenne

Exercices de mathématiques

Chapitre 1

Géométrie plane Plane geometry

The Dragon fractal

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A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :

• placer un point dans un repère d’après ses coordonnées ;

• lire les coordonnées d’un point ;

• calculer les coordonnées du milieu d’un segment ;

• calculer une distance dans un repère orthonormé ;

• utiliser un repère pour résoudre un problème ;

• lire et appliquer un algorithme.

Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine

Année scolaire 2010/2011

(2)

(3)

Repérage de points

1.1

^Dans^le ^plan,ônônsidère ûn ^repère ôrthonormé

( O ; I, J )

^et^quatre ^points

A

^,

B

^,

C

et

D

^dans ^e ^repère.

1 2

− 1

1 2 3

− 1

− 2

b O

b I

b J

b A

b B

b C

b D

1

^.

a

^. ^Donner^les^oordonnées^des^points

O

^,

I

^,

J

^,

A

^,

B

^,

C

^et

D

^dans^le^repère

(O; I, J)

^.

b

^. ^Plaer ^le^point ^de

E

^oordonnées

( − 1; 1)

^.

2

^. ^On ^se ^plae ^maintenant ^dans ^le^repère

( D ; O, B )

^.

a

^. ^Ce ^repère ^est-il ^orthonormé^?

b

^. ^Donner ^les^oordonnées^des ^points

O

^,

A

^,

B

^,

C

^et

D

^dans ^e ^repère.

c

^. ^Plaer ^le^point

F

^de ^oordonnées

( − 1; 1)

^.

1.2

Ôn ônsidère ûn ^repère

(O; I, J)

^.

1

^. ^Dérire^par ^une^phrase,^puisreprésenter graphiquementlapositiondespointsdont:

a

^. ^l'absisse ^est ^nulle^;

b

^. ^l'ordonnée ^est ^nulle^;

c

^. ^l'absisse ^est ^égale ^àl'ordonnée.

2

^. ^T^raer âve ^des ôuleurs ^diérentes, ^les ênsembles ^de ^points ^dont

a

^. ^l'absisse ^est ^égale ^à

2

^;

b

^. ^l'ordonnée ^est ^égale ^à

− 3

^;

c

^. ^l'absisse ^ou ^l'ordonnée^est ^égale ^à

1

^;

d

^. ^l'absisse ^et ^l'ordonnée ^sont ^égales ^à

3

^.

3

^. ^Dans êtte ^question, ôn ^traera ^plusieurs ^repères. ^Hahurer, âve ^des ôuleurs ^dif-

férentes, leszones du plan où lespoints sonttels que:

a

^. ^leur ^absisse ^est ^supérieure^à

2

^;

b

^. ^leur ôrdonnée êst înférieure^à

2

^;

c

^. ^leur ^absisse ^est ^supérieure^à

− 3

êt^leur ôrdonnée êst înférieure^à

1

^;

d

^. ^leur âbsisse êst ^négativeêt ^leur ôrdonnée êst ^positive^;

e

^. ^leur âbsisse êst ^négativeêt ^leur ôrdonnée êst ^négative.

(4)

1.3

Ôn ônsidère ûn ^repère orthonormal

( O ; I, J )

^.

1

^. ^Plaer ^dans ^e ^repère ^les^points

A (1; 4)

^,

B (2; 6)

^,

C (3; 1)

^et

D (5; 7)

^.

2

^.

a

^. ^Plaer ^les ^points

A ^′

^,

B ^′

^,

C ^′

^et

D ^′

^images ^respetives ^de

A

^,

B

^,

C

^et

D

^par ^la

symétrie d'axe

(OI)

^.

b

^. ^Donner ^les^oordonnées^de ^haun ^des ^points^obtenus.

c

^. ^Si ^le ^point

M

^a ^pour ^oordonnées

( x ; y )

^, ^quelles ^sont ^les ^oordonnées ^de ^son

image par lasymétrie d'axe

( OI )

^?

3

^.

a

^. ^Plaer ^les^points

A ^′′

^,

B ^′′

^,

C ^′′

^et

D ^′′

^images^respetives ^de

A

^,

B

^,

C

^et

D

^par ^la

symétrie d'axe

(OJ)

^.

b

c

^. ^Si ^le ^point

M

( x ; y )

image par lasymétrie d'axe

(OJ )

^?

4

^.

a

A ^′′′

^,

B ^′′′

^,

C ^′′′

^et

D ^′′′

^images ^respetives ^de

A

^,

B

^,

C

^et

D

^par

lasymétrie de entre

O

^.

b

c

^. ^Si ^le ^point

M

( x ; y )

image par lasymétrie de entre

O

^?

1.4

^La ^gure î-dessous êst ônstituée

d'un arré, d'un retangle, d'un triangle

équilatéral et de deux triangles retangles

isoèles. On sait de plus que

A

^est ^le ^milieu

de

[ GB ]

^et ^que

JK = AB

^.

Donner les oordonnées des points

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J

^et

K

^dans ^le

repère

( A ; B, D )

^.

Indiations : Pour trouver les oordonnées

des points

H, I, J

^et

K

^, ôn âlulera êr-

taines longueurs grâe a des théorèmes las-

siques de géométrie.

A B

C D

E F

G

H

I

J K

1.5

Ôn ônsidère ^la^gureî-dessous ôù^tous ^les^triangles^sont équilatérauxde té

1

^et

I

^est ^le^milieu ^de

[ HJ ]

^.

1

^. ^Donner ^les ^oordonnées ^des ^points ^de

la gure dans lerepère

( G ; H, D )

^.

2 ( A ; B, C )

^.

3 (D; H, E)

^.

^b

A

B C

E

K H

F G

J L

D

I

(5)

1.6

^On ^onsidère l'algorithmesuivant : begin

Input:

( x, y )

ôordinates ôf â ^point^;

Plae the point

(x, y )

^;

x + 2 → a

^;

y + 1 → b

^;

Plae the point

(a, b)

ⁱⁿ^red ^;

end

1

^. ^Appliquer l'algorithme àhaundes pointssuivants :

(1 ; 1) ; (3 ; 1) ; (4 ; 2) ; (5 ; 1) ; (5 ; 3) (4 ; 4) ; (5 ; 5) ; (3 ; 5) ; (3 ; 3) ; (1 ; 1) 2

^. ^Quel ^semble^être ^le ^rle ^de ^et ^algorithme^?

3

^.

a

^. ^Reprendre^les^questions ^préédentes ^en ^onsidérantl'algorithmesimilairedans lequel

2 x → a

^et

2 y → b

^.^On ^traera^une ^nouvelle^gure.

b

^. ^Reprendre^les^questions ^préédentes ^en ^onsidérantl'algorithmesimilairedans lequel

y → a

^et

x → b

^. ^On ^traera^une ^nouvelle^gure.

1.7

^La ^fr^atale ^du ^dragon

L'algorithme i-dessous est un exemple simplié de la onstrution d'une gure fratale

grâe à lagéométrie repérée et un algorithme.

begin

Input :

Liste

^, ^List^of ^point^oordinates ^;

for any two onseutive points

A

^,

B

ⁱⁿ ^the ^list ^do

x _A + x _B − x _A

2 − y _B − y _A

2 → X

^;

y _A + x _B − x _A

2 + y _B − y _A

2 → Y

^;

Add inthe listthe point

( Y, Z )

^between

A

^and

B

^;

endfor

end

1

^. ^Appliquerl'algorithmeavelaliste:{

(2; 2); (10; 10)

^}^pour ^obtenir^une ^liste^de^trois

points.

2

^. ^Reommenerâve^la^liste^de^trois^pointsôbtenue^à^la^question^1.^Vous^devezôbtenir

une listede inq points.

3

^. ^Reommenerâve^la^liste^deînq^pointsôbtenue^à^la^question^2.^Vous^devezôbtenir

une listede neufs points.

4

^. ^Plaer ^les^neufs ^points ^dans ûn ^repère ôrthonormé êt^les ^relier ^dans ^l'ordre.

(6)

Milieux et longueurs

1.8

^Dansl'algorithmei-dessous,

x _A

^et

y _A

représentent lesoordonnées d'unpoint

A

^et

x _B

^,

y _B

^elles ^d'un ^point

B

^.

begin

Input :

(x A , y _A )

^and

(x B , y _B )

^oordinates ^of ^two ^points ^;

Draw a artesian graph

(O; I, J )

^;

Plae point

A ( x _A , y _A )

^;

Plae point

B(x B , y _B )

^;

x _A +x _B

2 , ^y ^A ^+y ₂ ^B

→ (x I , y _I )

^;

Plae

( x _I , y _I )

^;

end

1

^. ^Fâire ^fontionner êt âlgorithme^dans ^les^deux âs ^suivants^:

a

^.

A

^a^pour ^oordonnées

(2 ; − 1)

^et

B

( − 3 ; 1) b

^.

A

^a^pour ^oordonnées

(2 ; 2)

^et

B

( − 4 ; 6) 2

^. ^Quel ^semble^être ^le ^rle ^de ^et ^algorithme^?

1.9

^Dans ^tout ^l'exerie,ôn ^se^plae ^dans ûn ^repère ôrthonormé

(O; I, J )

^.

1 A(2 ; 0)

^et

B(0 ; 3)

^puis ^utiliser ^un ^théorème ^élèbre^pour ^déter-

miner lalongueur

AB

^.

2

^. ^Reprendre ^la ^question ^préédente ^ave ^les ^points

C (3 ; 4)

^et

D (1 ; 1)

^.

3

^. ^Soit

A(x A ; y _A )

^et

B(x B ; y _B )

^deux^points^du^plan^muni^d'un^repère^tel^que

x _B > x _A

et

y _B > y _A

^.

a

^. ^Plaer ^le^point

C ( x _A ; y _B )

^. ^Que ^peut-on ^dire ^du ^triangle

ABC

^?

b

^. ^Exprimer ^les^longueurs

AC

^et

BC

^en ^fontion ^des ^oordonnées ^de

A

^et

B

^.

c

^. Ên^déduire ûne ^formule^pour âluler^la ^longueur

AB

^.

1.10

^Préiser^si^lesquadrilatèressuivants,dénispar lesoordonnéesde leurssommets, sont des parallélogrammes en étudiant lesmilieuxde leurs diagonales.

1

^.

A(1; − 3)

^;

B(4; − 1)

^;

C(2; 1)

^et

D( − 1; − 1)

^.

2

^.

A ( − 4; 1)

^;

B ( − 1; 2)

^;

C ( − 1; − 1 . 5)

^et

D ( − 4; − 2)

^.

3

^.

A (1; 2)

^;

B (1; − 1)

^;

C ( − 1; 1)

^et

D ( − 1; − 2)

^.

1.11

^Préiser ^si ^les ^triangles ^suivants, ^dénis ^par ^les ^oordonnées ^de ^leurs ^sommets,

sont retangles, isoèles et/ou équilatéraux. Chaque propriété devra être démontrée en

utilisantles longueurs. Lerepère onsidéré est orthonormal.

1

^.

A (2; 3)

^;

B ( − 4; − 2)

^et

C (3; − 1)

^.

2

^.

A ( − 3; 1)

^;

B ( − 3; − 2)

^et

C ( − 1; − 2)

^.

3

^.

A(2; 2)

^;

B(0; − 2)

^et

C( − 1; 1)

^.

4

^.

A(1; 2)

^;

B(3; 4)

^et

C(0; 4)

^.

(7)

1.12

^Dans ^un ^repère ^orthonormé

( O ; I, J )

^,^on ^onsidère ^les ^points

A (1; − 1)

^,

B (3; 1)

^et

C( − 1; 3)

^. ^La ^gure ^sera ômplétée âu ^fur êt ^à ^mesure ^des ^questions. Ôn ^prendra ^pour

unité graphique

OI = OJ = 1

^m.

1

^. ^Plaer ^les^points

A

^,

B

^et

C

^.

2

^. ^Déterminer ^la^nature ^du ^triangle

ABC

^.

3

^. ^Caluler^les ^oordonnées ^du ^point

M

^milieu^du ^segment

[ AC ]

^.

4

^. ^Caluler^les ^oordonnées ^du ^point

D

^symétrique ^de

B

^par ^rapport ^à

M

^.

5

^. ^Déterminer ^la^nature ^du quadrilatère

ABCD

^.

1.13

^Dans ^un ^repère ^orthonormé

(O; I, J)

^, ^on ^onsidère ^les ^points

A(2; 1)

^,

B(4; 2)

^et

C ( − 1; − 1)

^. ^Soit

D

^le ^symétrique ^de

B

^par ^rapport ^à

A

^et

E

^le ^symétrique ^de

C

^par

rapportà

A

^,

M

^et

N

^sont ^les ^milieux^respetifs ^des ^segments

[ CD ]

^et

[ EB ]

^.

1

^. ^Plaer ^les^points^dans ^le ^repère.

2

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^des ^points

D

^,

E

^,

M

^et

N

^.

3

^. ^Démontrer ^que

A

^est ^le ^milieu^du ^segment

[M N]

^.

1.14

Ôn ônsidère ûn ^repère ôrthonormé

(O; I, J)

^et ^les^points

A( − 1; 2)

^et

B(2; 3)

^.

1

^. ^Quel ^est ^le^rayon^du ^erle

C

de entre

A

^passant ^par

B

^?

2

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^du ^points

C

^, diamétralementopposé à

B

^sur

C

.

3

^. ^Montrer ^que^le ^point

D

^de ^oordonnées

( − 2; 5)

^appartient^à

C

.

4

^. ^Quelle ^est ^la ^nature^du ^triangle

BCD

^?

1.15

^Soit

x

^un ^réel ^quelonque. ^On ^prend^les ^points

A( − 3; 1)

^et

B(2x − 1; 2x)

^.

1

^. ^Plaer ^le ^point

B

^pour

x = 0

^, ^pour

x = 2

^et^enn ^pour

x = 8

^.

2

^. ^Quelles^relations^doit ^vérier

x

^pour ^que

B

^soit^le^milieu^de

[OA]

^? ^Est-e^possible^?

si oui, donnerles oordonnées de

B

orrespondantes.

3

^.

a

^. ^Caluler^les^longueurs

OA

^,

OB

^et

AB

^en ^fontion^de

x

^.

b

^. ^En^déduire^une^équation^d'inonnue

x

^vériées^lorsque^les^droites

(OA)

^et

(OB)

soient perpendiulaires.

c

^. ^En^déduire ^les^valeurs^de

x

^pour ^lesquelles ^ette ^propriété ^est ^vériée. ^Quelles

sontles oordonnées du point

B

orrespondant?

1.16

^Ens'inspirantde l'algorithmepermettantde alulerlesoordonnéesdu milieude deux points,érire un algorithmepermettant de aluler ladistane entre deux points.

(8)

1.17

^Dans l'algorithme i-dessous, on saisit les oordonnées de trois points

A

^,

B

^et

C

dans un repère orthonormé.

begin

Input :

(x A , y _A )

^;

(x B , y _B )

^and

(x C , y _C )

^oordinates ^of ^three ^points^;

(x B − x _A ) ² + (y B − y _A ) ² → D

^;

( x _C − x _B ) ² + ( y _C − y _B ) ² → E

^;

if

E = D

^then

Output :the triangle is... ;

else

Output :the triangle isnot ... ;

endif

end

1

^. ^Que ^faut-il^érire ^sur ^les^pointillés^?^Quel êst ^le^rle ^de êt âlgorithme^?

2

^. ^Proposer ^une ^modiation^de l'algorithme anqu'ilindique siun triangle

ABC

^est

retangle en

B

^ou^non.

Démontrer avec la géométrie analytique

1.18

^Soit

ABCD

^un parallélogramme. On note

I

^,

J

^,

K

^et

L

^lessymétriques respetifs de

A

^,

B

^,

C

^et

D

^par ^rapport^à

B

^,

C

^,

D

^et

A

^. ^On ^se^plae ^dans ^le^repère

(A; B, D)

^.

1

^. ^Déterminer ^les^oordonnées ^des ⁸ ^points ^dans ^e ^repère.

2

^. ^Démontrer ^alors ^que

IJKL

^est ^un parallélogramme.

1.19

^Soit

ABCD

^un parallélogrammede entre

I

^.

Plaerun point

M

^sur ^le^segment

[ AB ]

^,^distint^de

A

^et

B

^,^puis^le^point

N

^sur^le^segment

[CD]

^tel ^que

AM = CN

^.^Le ^but ^de êt êxerieêst ^de ^démontrer ^par ^plusieurs^méthodes

que

I

^est ^le ^milieu ^de

[M N]

^.

1

^. Ên ûtilisant ûne ônguration^lassique.

a

^. ^Démontrer ^que

AM CN

^est ^un parallélogramme.

b

^. ^Démontrer ^que

I

^est ^le^milieu ^de

[M N ]

^.

2

^. ^A ^l'aide ^d'une transformation: Soit

s

^la ^symétrie ^de ^entre

I

^.

a

^. ^Cherher ^l'image^par

s

^du ^point

A

^,^du ^point

B

^, ^du ^segment

[AB]

^.

b

^. ^En^déduire ^l'image^par

s

^de

M

^.

c

^. ^Conlure.

3

^. ^En^se^plaçant^dans^un^repère ^:^Soit

x

^l'absisse^du ^point

M

^dans^le^repère

( A ; B, D )

^.

a

A

^,

B

^,

C

^,

D

^,

I

^et

M

^dans ^e ^repère.

b

^. ^Donner ^les^oordonnées^du ^point

N

^.

c

^. ^Conlure.

(9)

1.20

^Theorème^de ^V^arignon.

Soit

ABCD

^un quadrilatèrequelonque,

R

^,

S

^,

T

^et

U

^les^milieux^respetifs^des ^segments

[AB ]

^,

[BC]

^,

[CD]

^et

[DA]

^.

1

^. ^Conjeture.

a

^. ^F^aire ^une ^gure.

b

^. ^Quelle^onjeture faites-vous sur lanature du quadrilatère

RST U

^?

2

^. Démonstration sans repère.

a

^. ^Prouver^que

(RS)

^est ^parallèle ^à

(AC)

^et^que

RS = ^AC ₂

^.

b

^. ^Prouver^que

(T U)

^est ^parallèle ^à

(AC)

^et^que

T U = ^AC ₂

^.

c

^. ^En^déduire ^la^nature ^du quadrilatère

RST U

^.

3

^. Démonstration ave un repère.

On se plae dans le repère

(A; B, D)

^.

a

A

^,

B

^,

C

^, ^et

D

^.

b

R

^,

S

^,

T

^, ^et

U

^.

c

^. ^Déterminer^les ^oordonnés ^du ^milieu ^des ^segments

[ RT ]

^et

[ SU ]

^.

d

^. ^En^déduire ^la^nature ^du quadrilatère

RST U

^.

1.21

^Soit

ABCD

^un ^arré ^de ^té

6 cm

^. ^Soient

P

^le ^point ^du ^segment

[ AB ]

^tel ^que

AP = ¹ ₃ AB

^et

Q

^le ^point ^de ^la demi-droite

[DA)

^tel^que

DQ = ³ ₂ DA

^.

Le but de et exerie est de montrer l'alignement des points

Q

^,

P

^et

C

^par ^diérentes

méthodes.

1

^. Utilisation d'uneonguration géométrique.

Soit

P ^′

^le^pointd'intersetion desdroites

(AB)

^et

(QC)

^.^Nous^allons^démontrer ^que

les points

P

^et

P ^′

^sont ^onfondus.

a

^. ^Montrer ^que

^P _P ^′ ′ B ^A = ^QA _BC

^.

b

^. ^En^déduire ^que

P ^′ A = ¹ ₂ P ^′ B

^.

c

^. ^Conlure.

2

^. Utilisation d'un repère.

a

^. ^Déterminer^les ^oordonnées ^des ^points

P

^et

Q

^dans ^le^repère

(D, C, A)

^.

b

^. ^Caluler^les^longueurs

CP

^,

P Q

^et

CQ

^.

c

^. ^Conlure.

1.22

^Soit

ABCD

^un ^arré. ^Soient

I

^et

J

^les ^milieux ^respetifs ^des ^segments

[AB ]

^et

[ AD ]

^. ^Soit

K

^le^point d'intersetion des droites

( ID )

^et

( BJ )

^. ^Le ^but ^de êt êxerie êst

de montrer queles points

A

^,

K

^et

C

^sont ^alignés.

1

^. Utilisation d'une onguration.

a

^. ^Que ^représente

K

^pour ^le ^triangle

ABD

^?

b

^. ^Démontrer ^que ^si

O

^désigne^le ^milieu ^de

[BD]

^, ^alors

A

^,

K

^et

O

^sont ^alignés.

c

^. ^En^déduire ^que

A

^,

K

^et

C

^sont ^alignés.

2

^. ^On ^utilise ^le ^repère.

a

^. ^Justier^que ^le ^repère

(A; B, D)

^est orthonormé.

b

^. ^Quelles^sont ^les^oordonnées ^des ^points

J

^et

C

^dans ^le ^repère^?

c

^. ^En^utilisant^le ^fait ^que

BK = ² ₃ BJ

^, ^aluler^les^oordonnées ^du ^point

K

^.

d

^. ^Caluler^les^longueurs ^des ^segments

CK

^,

KA

^et

AC

^.

e

^. ^Conlure.

(10)

Homework #1

The CPL composition of an aliment

When analysing the quality of our food, a rst approh is the omposition in arbohy-

drates, proteins, lipids. These are the three main families of nutrients in an aliment :

the arbohydrates(sugars)are asoureof energy, theproteins(ontainingnitrogen)help

build ells and musles,the lipids (fat)store energy.

Eah aliment is made of these three kinds of nutrients, with dierent perentages. For

example, spinah is madeof

55 %

arbohydrates,

40 %

^proteins^and

5 %

^lipids.

Part A – The aliments map

In thispart, wewillestablishanalimentsmap, agraphwere alimentswillberepresented

by points. As an example the point

S

representing spinahhas been plaed.We willsay that the oordinates of this point

S

^are

(55 , 40 , 5)

^.

To read the CPL oordinates of a point (or an aliment),lines parallel to the three axes

must be drawn through this point. This onstrution has been done for the point

S

^on

the map. On this map alsoappear the points

M

^,

C

^,

F

^and

P

representing milk,arrot, our and sh.

55 100

0 40

0

100

5

100 0

b

b b

S

C

M F

P

80 60 40 20

20

60

80 20

40

60

80

Carbohydrates

%

Proteins

%

Lipids

%

CPL oordinates of analiment

1

(11)

2

^. ^Build^anequaliteraltrianglewithside 10mand reproduethe alimentsmap.Plae onitthepoints

E

^,

H

^,

B

^and

A

representing egg, sugar,butterandmeat, aording to the table below.

A few CPL ompositions

C P L C P L

Rie 90 10 0 Green beans 75 25 0

Bisuits 80 10 10 Meat 0 50 50

Apple pie 75 5 20 Flour

Choolate 70 5 25 Jam 98 2 0

Pasta 90 10 0 Butter and oil 0 0 100

Egg 0 40 60 Spinah 55 40 5

Sugar 100 0 0 Fish

Potatoes 90 10 0 Apple 95 5 0

Bread 90 10 0 Milk

Carrot Honey 100 0 0

Cheese 0 50 50 Cauliower 70 25 5

Lentils 75 25 0 Cabbage 60 35 5

3

^. ^Plae ^the^points

U

^(auliower) ^and

K

^(hoolate)^on^the^map. ^Where,^on^the^map

an yound the aliments with

70%

arbohydrates?

4

^. ^Where ân ^you ^nd ^the âliments^with ^the ^followingêlements^?

a

^.

50 %

arbohydrates;

b

^.

10 %

^proteins^;

c

^.

25 %

^lipids.

Part B – The ideal region

We note

C

^,

P

^and

L

^the proportions in pourentages of an aliment. For the following questions, youwillrosshath onthe map the rejetedzone.

1

^. ^Where ^are ^the ^aliments ^suh ^that

a

^.

C > 50

^?

b

^.

P > 10

^?

c

^.

L > 25

^?

2

^. ^Dietitians^haveestablished thatthe proportions best stuitedforhumanbeingsare :







50 < C < 60 10 < P < 20 25 < L < 35

Find the adequate regionon the map.

3

^. ^Whih ôf ^the âlimentsⁱⁿ^the âbove^map âre ⁱⁿ^this ^region^?

Part C – A few meals

Any mealshould be oneived suh that, by mixingup aliments,the proportionsC, P, L

are inthe ideal region.

1

^. ^F^ast-food restaurants

The standard meal ina fast-foodrestaurantis made ofa hamburger(35g of bread,

35g of meat), a portion of fries (90g of potatoes and 10g of oil) and a arbonated

soft drink(20g of sugar).

a

^. ^Give ⁱⁿ^grams ^the ^CPL ômposition ôf ^35g ôf ^bread.

(12)

b

^. ^Give, ^rst ⁱⁿ ^grams ^then ⁱⁿ perentages, the CPL omposition of a standard fast-foodmeal.

c

^. ^Plae^on^the ^map ^the ^point

F

representing this meal.Is itinthe ideal region?

2

^. ^The ^pound ^ake

The reipe of the pound ake is very simple : one fourth sugar, one fourth our,

one fourth butter, one fourth eggs (the fourth are ounted over the mass of eah

ingredient).

a

^. ^What âre ^the ^CPL ôordinates ôf ^the ^point

Q

representing the pound ake?

b

^. ^The ^point

Q

îs^not ⁱⁿ ^the îdeal ^region ^:^hange ^the ^reipe ^so^that ît îs ⁱⁿît.

Homework #2

In this exerise,we study Koh's snowake, agure with surprising properties.

Part A – Construction of the figure

This onstrution an bedone by hand orusing a software suh asGeogebra. Draweah

new gure as anew one, and not onthe previous one.

ToreateaKohsnowake,startwithanequilateraltriangleofside

9

^m,^then^reursively

alter eah linesegment asfollows :

1

^. ^Divide ^the ^line^segmentînto^three ^segmentsôf êqual^length.

2

^. ^Draw ^an equilateral triangle that has the middle segment from step 1 as its base and pointsoutward.

3

^. ^Remove^the ^line ^segment ^that ^is^the ^base ^of^the ^triangle^from ^step ^2.

This proessantheoretially goonadinnitum,butyouwillstopaftertworeplaement

steps.Inthisway,youshouldendupwith

3

^dierent^gures,^inluding^the ^initial^triangle.

Part B – Study of the perimeter

Weall

P (n)

^the^perimeter^of^the^gure^after

n

^steps.^F^or^example,

P (0)

^is^the^perimeter

of the initialtriangle, and

P (2)

îs ^the ^perimeter ôf ^the ^gure âfter

2

^steps, ^the ^last^one

youdrew.

1

^. ^Compute

P (0)

^, ^the ^perimeterôf ^the înitial^triangle.Êxplain ^your omputation.

2

^. ^Compute

P (1)

^justifying ^every ^part ^of ^your omputation.

3

^. ^Compute

P (2)

^justifying ^every ^part ^of ^your omputation.

4

^. ^Compute ^the ^ratios

^P _P ⁽¹⁾ ₍₀₎

^and

^P _P ⁽²⁾ ₍₁₎

^. ^What ^do ^you ^notie^?

5

^. ^Prove ^that ^eah^replaement^step ^multiplies^the ^perimeter^of ^the ^gure ^by

⁴ ₃

^.

6

^. ^Dedue ^the ^perimeters ^of

P (3)

^,

P (4)

^,

P (5)

^and

P (6)

^. ^Give ^the ânswers âsêxat

values and rounded values to 3DP.

7

^. Ûse ^your âlulator ^to^nd â ^value ôf

n

^suh ^that

P (n) > 250

^.

8

^. ^What^an^you^say ^about

P (n)

^when

n

^gets^greater^and^greater^?^Do^you^think^there

P ( n )

(13)

Part C – Study of the area

We all

A (n)

^the ârea ôf ^the ^gure âfter

n

^steps. ^F^or ^example,

A (0)

îs ^the ârea ôf ^the

initialtriangle,and

A (2)

îs ^the ârea ôf ^the ^gure âfter

2

^steps, ^the ^last ^one ^you ^drew.

1

^. ^Find ^the ^formula ^for ^the ârea ôf ân equilateral triangle of side

s

^m. ^Explain ^your

method.

2

^. ^Use ^the ^formula ^to ^ompute

A (0)

^, ^the ârea ôf ^the înitial ^triangle. ^Give ^the êxat

value and arounded value to3 DP.

3

^. Ûse ^the ^formula ^to ômpute ^the ârea ôf ân equilateral triangle of side

3

^m ^and

dedue the value of

A (1)

^. ^Give^the êxat ^value ând â ^rounded ^value ^to ³^DP.

4

^. Ûse ^the ^formula ^to ômpute ^the ârea ôf ân equilateral triangle of side

1

^m ^and

dedue the value of

A (2)

^. ^Give^the ^exat ^values ^and ^rounded ^values ^to³ ^DP^.

5

^. ^Compute ^the ^dierenes

A (1) − A (0)

^and

A (2) − A (1)

^.^Give^the ^exat ^value^and

a rounded value to 3DP. What do you notie?

6

^. ^Do ^you^think ^the ârea ôf ^the ^gure ^will^grow ^like îts^perimeter^?

7

^. ^Find ôn^the înternetâ ^proof ôf ^the ^fat ^that ^the ârea ôf ^the ^gure ^stays ^nite.

8

^. ^What îs ^the ^most ^surprising ^feature ôf âbout ^Koh's ^snowake^?

(14)

Devoir de l’année précédente

La gure i-ontre est un hexagone régulier

ABCDEF

^de ^entre

O

^. ^Les ^distanes

AB

^,

BC

^,

CD

^,

DE

^,

EF

^,

F A

^,

OA

^,

OB

^,

OC

^,

OD

^,

OE

^et

OF

^sont^toutes^égales^à^une^unité.^De

plus,lesdroites

(AD)

^,

(BE)

^et

(CF )

^passent

par

O

^.

Danset exerie,nous allonsétudierlesdi-

agonales de ette gure,'est àdire lesseg-

ments reliant deux sommetsnon ontigus.

b O b A

b B

b C

b D

b E ^b F

Partie A – Étude des petites diagonales

Dans ette partie, nous allons démontrer de trois façons diérentes que les diagonales

[BF ]

^et

[CE]

^sont parallèles. Les questions 1, 2 et 3 portent sur trois méthodes diérentes et sont don totalement indépendantes.

1

^. Ên ûtilisant ûne ônguration^lassique ^:

a

^. ^Déterminer^et ^justier ^la^nature ^du quadrilatère

ABOF

^.

b

^. Ên^déduire ûne ^relation^simple êntre ^les ^droites

( BF )

^et

( OA )

^.

c

^. ^Étudier ^de ^manière^analogue^la ^relation^entre ^les^droites

(CE)

^et

(OA)

^.

d

^. ^Conlure.

2

^. ^En ^se^plaçant^dans ^le ^repère ^non ^orthogonal

(O; A, B)

^:

a

^. ^Déterminer^les ôordonnées ^des ^sept ^points ^de ^la ^gure ^dans ê ^repère. Ôn ^ne

demande pas de justiation.

b

^. ^Déterminer ^la ^nature ^du quadrilatère

BF EC

^en ^étudiant ^les ^milieux ^de ^ses

diagonales.

c

^. ^Conlure.

3

^. Ên ^se^plaçant^dans ûn ^repère ôrthonormé^:

a

^. Â^ve ûn ômpas, ônstruire ^le ^point

G

^tel^que

OG = OA

^et

AOG [ = 90 ^◦

^dans

lesens inverse des aiguilles d'unemontre.

b

^. ^Plaer ^le^point

H

^,^milieu ^de

[BF ]

^et^de

[OA]

^.^Préiser ^les^mesures

OH

^et

OB

puis, grâe àun théorème lassique, alulerladistane

HB

^.

c

^. ^On ^se ^plae ^à ^présent ^dans ^le ^repère

(O; A, G)

^. ^Justier ^qu'il ^est ^bien ^or-

thonormé.

d

^. ^Déterminer^les^oordonnées^des^neuf^points^de^la^gure^dans^e ^nouveau^repère.

On ne demande pas de justiation.

e

^. ^Déterminer ^la ^nature ^du quadrilatère

BF EC

^en ^alulant ^des ^distanes ^bien

hoisies. Conlure.

Partie B – Étude des grandes diagonales

Démontrer par une méthode de votre hoix quelesdroites

(CF )

^et

(AB)

^sontparallèles.

Toute trae de reherhe, même inomplète, sera valorisée dans la orretion de ette

(15)

(16)

Repérage de points . . . 1

Milieux et longueurs . . . 4

Démontrer avec la géométrie analytique . . . 6

Homework #1 . . . 8

Homework #2 . . . 10

Devoir de l’année précédente . . . 12

Related Episodes

Basic geometry vocabulary . . . Episode 1 Classic configurations . . . Episode 2 Special lines in a triangle . . . Episode 3

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