Chapitre 3 : géométrie dans le plan
I. Révision de géométrie plane
1. Soit 𝐴 1; 3 , 𝐵 2; −1 , 𝐶 −2; −1 𝑒𝑡 𝐷(−1; −5) ; Que dire des vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 ? Que déduire des vecteurs 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷 ?
2. Soit 𝐴(5 ; 2) , 𝐵(3,3) et 𝐶(−1 ; 2) ; déterminer 𝐷 de sorte que 𝐴𝐵𝐶𝐷 soit un parallélogramme
3. Soit 𝐴(1 ; 1) , 𝐵(3 ; 4) et 𝐶(4 ; −1) . Quelle est la nature du triangle ABC ? Déterminer les coordonnées de son centre de gravité
4. Soit 𝑢 ( −4 ; 1) et 𝑣 (28 ; 𝑎) ; déterminer tel que 𝑢 et 𝑣 soient colinéaires ; sont-ils de même sens ?
5. Soit (5 ; 4) , 𝐵(7 ; −1) et 𝐶(1 ; 3) ; Sont-ils alignés ?
Déterminer le point 𝐼 de la droite (𝐴𝐶) tel que (𝐵𝐼) soit une médiane du triangle 𝐴𝐵𝐶 6. Soit 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 et 𝐷 quatre points du plan ; on appelle 𝐼 et 𝐽 les milieux
respectifs des segments [𝐴𝐶] et [𝐵𝐷]
Calculer la somme 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 en fonction de 𝐼𝐽 Prouver que 𝐽𝐴 + 𝐽𝐶 + 𝐼𝐵 + 𝐼𝐷 = 0
7. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle non aplati et 𝐼 , 𝐽 et 𝐾 sont les milieux respectifs des segments [𝐵𝐶] , [𝐴𝐶] et [𝐴𝐵]
Exprimer les coordonnées de 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐼 , 𝐽 et 𝐾 dans le repère (𝐴, 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 ) Vérifier que 𝐼𝐽 = −1
2 𝐴𝐵 . Quel théorème du collège a-t-on retrouvé ? Soit G tel que 𝐴𝐺 =2
3𝐴𝐼 . Quelles sont les coordonnées de 𝐺 ? Vérifier que 𝐵𝐺 = 2
3 𝐵𝐽 et que 𝐶𝐺 = 2
3 𝐶𝐾 . . Quel théorème du collège a-t-on retrouvé ?
8. Dans un repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , on donne 𝐴(1 ; 2) , 𝐵(3 ; −1) et Ω (−1; 1) Exprimer 𝑂𝐴 puis 𝑂𝐵 puis 𝐴𝐵 en fonction de 𝑖 et de 𝑗
Déterminer d’abord graphiquement, puis par le calcul, les coordonnées des point 𝐴 et 𝐵 dans le repère (Ω, i , j )
Généraliser avec 𝑀(𝑥, 𝑦) dans le repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) et M(X,Y) dans le repère ( Ω, i , j )
II. Repérage dans le plan
1. Dans un repère 𝑅 = (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , on pose : Ω(1; 3) ; 𝐼 = 2𝑖 − 𝑗 𝑒𝑡 𝐽 = 𝑖 + 2𝑗
Justifiez que 𝐼 et 𝐽 ne sont pas colinéaires ; 𝑅′ = (Ω, 𝐼 , 𝐽 ) est donc un repère du plan Déterminer les formules de changement de repère
Soit 𝐷 la droite d’équation : 𝑦 = −2𝑥 + 3 dans le repère 𝑅 ; déterminer l’équation de 𝐷 dans le repère 𝑅’
2. Dans un repère orthonormal direct = (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , on pose : Ω(−2; 1) 𝐼 et 𝐽 sont obtenus par rotation de 𝑖 et 𝑗 d’angle −𝜋
3
Justifiez que 𝐼 et 𝐽 ne sont pas colinéaires ; 𝑅′ = (Ω, 𝐼 , 𝐽 ) est donc un repère du plan Déterminer les formules de changement de repère
3. Dans un repère orthonormal direct = (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , 𝐼 et 𝐽 sont obtenus par rotation de 𝑖 et 𝑗 d’angle 𝜋
4
On note 𝑅’ le repère 𝑅 = (𝑂, 𝐼 , 𝐽 ) orthonormal direct Déterminer les formules de changement de repère Soit la parabole d’équation 𝑦 =1
𝑥 dans le repère 𝑅 ; déterminer son équation dans le repère 𝑅’
4. Déterminer des systèmes de coordonnées polaires, dans (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) orthonormal direct, des points :
𝐵 1; −1 , 𝐶 2; 0 , 𝐷 0; 3 ; 𝐸 −1; −1 ; 𝐹 1; 3 ; 𝐺(2 3 ; −2) 5. On rappelle la formule de dérivation d’une fonction composée : 𝑓𝑜𝑔 ′ = 𝑓′𝑜𝑔. 𝑔′
Ecrire cette formule en notation différentielle
On rappelle que en coordonnées polaires, 𝑂𝑀 = 𝜌𝑢 𝜃 = 𝜌 𝜃 𝑢(𝜃) ; exprimer 𝑑 𝑂𝑀
𝑑𝜃
Déduire l’expression de 𝑣 𝑀 = 𝑑 𝑂𝑀
𝑑𝑡 (deux rédactions sont possibles) III. Produit scalaire
1. 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 est un hexagone inscrit dans le cercle trigonométrique Calculer les produits scalaires :
𝑂𝐴 .𝑂𝐵 ; 𝑂𝐴 .𝑂𝐶 ; 𝐴𝐵 .𝐷𝐸 ; 𝑂𝐶 .𝐷𝐵 ; 𝐷𝐶 . 𝐷𝐹 ; 𝐶𝐴 .𝐶𝐸 2. Prouver la proposition (théorème de la médiane):
𝐴 et 𝐵 sont deux points du plan et 𝐼 est le milieu du segment [𝐴𝐵]:
Pour tout point 𝑀 du plan, on : 𝑀𝐴² + 𝑀𝐵² = 2𝑀𝐼² + 𝐴𝐵²
2
3. Preuve du théorème d’Al-Kashi
𝐴𝐵𝐶 est un triangle avec 𝑎 = 𝐵𝐶 , 𝑏 = 𝐴𝐶 et 𝑐 = 𝐴𝐵 Prouver que : 𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐 cos(𝐴 )
4. 𝐴 et 𝐵 sont deux points distincts du plan et 𝐼 est le milieu du segment [𝐴𝐵]
Prouver la relation : 𝑀𝐴 . 𝑀𝐵 = 𝑀𝐼² −𝐴𝐵²
4
Déduire, selon les valeurs du réel 𝑘, l’ensemble des points 𝑀 du plan tels que : 𝑀𝐴 . 𝑀𝐵 = 𝑘
Traiter le cas particulier 𝑘 = 0 (on retrouve un résultat bien connu vu en collège) 5. Soit 𝑧𝑢 et 𝑧𝑣 les affixes des vecteurs 𝑢 et 𝑣 ,prouver que 𝑢 . 𝑣 = 𝑅𝑒(𝑧 𝑧𝑢 𝑣 )
Déduire une démonstration des propriétés de bilinéarité du produit scalaire
6. Dans un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , on donne 𝐴(2; 1) , 𝐵(3; −2) 𝑒𝑡 𝐶(5; 2) Justifier que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴
Déterminer une mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐵
7. Soit 𝑂 un point du plan , 𝑖 et 𝑗 tels que 𝑖 = 2 , 𝑗 = 1 𝑒𝑡 𝑖, 𝑗 = 𝜋
3
Déterminer l’expression du produit scalaire dans le repère (non orthonormal) (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) Calculer alors le produit scalaire 𝑢 . 𝑣 avec 𝑢 (1 ; 2) et 𝑣 (−1 ; 3)
8. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral ; en construisant un repère orthonormal bien choisi, déterminer l’ensemble des points 𝑀 du plan tels que 𝑀𝐴² + 𝑀𝐵² = 𝑀𝐶²
9. Dans un repère orthonormal (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ), on donne 𝑢 (𝑥; 𝑦) ; prouver que l’on a : 𝑥 = 𝑢 . 𝑖 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑢 . 𝑗
IV. Barycentres
1. 𝐴 , 𝐵 et 𝐶 sont 3 points distincts du plan ; déterminer l’ensemble des points 𝑀 du plan tels que : (on introduira des barycentres bien choisis)
a) 𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵 = 2 b) 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 = 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 − 2𝑀𝐶 c) 𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵 = 2𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 d) 𝑀𝐴
𝑀𝐵 = 2 V. Déterminant
1. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral direct de coté 4 et 𝐼, 𝐽 et 𝐾 sont des points tels que les triangles 𝐵𝐼𝐶 , 𝐶𝐽𝐴 et 𝐴𝐾𝐵 soient rectangles et isocèles en 𝐼 , 𝐽 et 𝐾
Calculer : 𝐷𝑒𝑡 𝐴𝐵 , 𝐴𝐽 ; 𝐷𝑒𝑡 𝐴𝐶 , 𝐵𝐽 𝑒𝑡 𝐷𝑒𝑡( 𝐴𝐾 , 𝐴𝐼 )
2. Dans un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , on donne 𝐴 1; 2 , 𝐵 2; 3 et 𝐶(3; 0) Calculer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 ; déduire la distance de chaque sommet au coté opposé
3. Dans une base orthonormale directe(𝑖 , 𝑗 ), déterminer pour quelle(s) valeur(s) de 𝑡 les vecteurs 𝑢 (𝑡 ; 𝑡 + 1) et 𝑣 ( 𝑡 − 4 ; 2𝑡 + 1) sont colinéaires
4. 𝑢 et 𝑣 sont deux vecteurs de norme 2 et 3 et 𝑢 , 𝑣 = −𝜋
6 (𝑚𝑜𝑑 2𝜋) : calculer
𝐷𝑒𝑡 𝑢 , 𝑢 − 𝑣 ; Det 𝑢 + 𝑣 ,2𝑢 + 2𝑣 ; 𝐷𝑒𝑡 4𝑢 , 3𝑣 ; 𝐷𝑒𝑡 (𝑢 − 2𝑣 , 2𝑢 + 𝑣 ) 5. Dans une base orthonormale directe (𝑖 , 𝑗 ) , on donne 𝑢 4 ; −2 , 𝑣 3 ; −1 𝑒𝑡 𝑤 (1; −1)
Justifier que (𝑢 , 𝑣 ) et (𝑢 , 𝑤 ) sont des bases du plan Sont-elles directes ou bien indirectes ?
Construire une base orthonormale directe (𝐼 , 𝐽 ) telle que 𝑢 et 𝐼 soient colinéaires
6. Dans une base orthonormale directe (𝑖 , 𝑗 ) , on donne 𝑢 2 , 1 𝑒𝑡 𝑣 (2 − 3 ; 1 + 2 3) Déterminer une mesure de l’angle 𝑢 , 𝑣
7. Soit 𝑧𝑢 et 𝑧𝑣 les affixes des vecteurs 𝑢 et 𝑣 ,prouver que 𝐷𝑒𝑡(𝑢 , 𝑣 ) = 𝐼𝑚(𝑧 𝑧𝑢 𝑣 ) Utiliser cette formule pour prouver les propriétés de linéarité du déterminant
Utiliser cette formule pour retrouver la formule d’addition : 𝑠𝑖𝑛 𝑎 − 𝑏 = 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏
VI. Droites dans le plan
(Dans toute cette partie, le plan est rapporté à un repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) orthonormal direct) 1. On donne 𝐴 −2; −2 , 𝐵 4; 1 , 𝐶 2; 3 𝑒𝑡 𝑢 (−4; −2)
Justifier que 𝐴 , 𝐵 et 𝐶 ne sont pas alignés Déterminer une équation cartésienne de :
a) La droite parallèle à la droite (𝐴𝐵) et passant par 𝐶
b) La droite perpendiculaire à la droite (𝐴𝐵) et passant par 𝐶 c) La médiatrice du segment [𝐴𝐵]
d) La hauteur du triangle 𝐴𝐵𝐶 issue de 𝐶 e) La médiane du triangle 𝐴𝐵𝐶 issue de 𝐶
2. On donne les droites 𝐷1 et 𝐷2 d’équation respective : 𝛼𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 et 𝑥 + 𝛼𝑦 + 2 = 0 Déterminer 𝛼 de sorte que a) 𝐷1 et 𝐷2 soient parallèles
b) 𝐷1 et 𝐷2 soit perpendiculaires
3. Déterminer la distance du point 𝐴(3; 2) et de la droite d’équation : 2𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0 4. On donne les points 𝐴(1; 2) , 𝐵(3; 1) et 𝐶(−2; 3) ; déterminer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶
(on utilisera la distance d’un point à une droite)
5. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral et 𝑀 un point intérieur au triangle. Prouver que la somme des distances du point 𝑀 à chacun des 3 cotés du triangle est constante, c’est à dire ne dépend pas du choix de 𝑀
6. Déterminer un paramétrage de la droite :
a) Passant par 𝐴(2; −1) et dirigée par 𝑢 (1; −2)
b) Passant par 𝐴(2; −1) et de vecteur normal 𝑛 (1; −2) c) Passant par 𝐴(2; −1) et 𝐵(3; −5)
d) D’équation : 4𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0
e) Passant par 𝐴(2; −1) et parallèle à la droite 𝐷 ∶ 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0
f) Passant par 𝐴(2; −1) et perpendiculaire à la droite 𝐷 ∶ 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 7. Donner une équation cartésienne des droites de paramétrage :
a) 𝑥 = 5𝑡 + 2
𝑦 = −𝑡 + 3 (𝑡 ∈ ℝ) b) 𝑥 = 𝑡 + 2
𝑦 = −𝑡 + 1 (𝑡 ∈ ℝ)
8. Déterminer l’intersection des droites 𝐷 et 𝐷’ définies par : a) 𝐷 ∶ 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 et 𝐷’ ∶ 𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 b) 𝐷 ∶ 3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 et 𝐷’ : 𝑥 = −3𝑡 + 2
𝑦 = 4𝑡 − 1 (𝑡 ∈ ℝ) c) 𝐷 ∶ 𝑥 = −2𝑡 + 5
𝑦 = 3𝑡 + 4 (𝑡 ∈ ℝ) et 𝐷’ : 𝑥 = −𝑡 + 2
𝑦 = 3𝑡 + 5 (𝑡 ∈ ℝ)
d) 𝐷 passe par 𝐴(1; 2) et est dirigée par 𝑢 (1; 3) et 𝐷’ passe par 𝐵(−2; 3) et est dirigée par 𝑣 (−1; 5)
9. On donne la droite de paramétrage: x = 3 − t
y = −1 + 2t (𝑡 ∈ ℝ) Déterminer une équation cartésienne de la droite 𝐷
Déterminer une équation de 𝐷’ parallèle à 𝐷 passant par 𝐴(1; 1)
Soit 𝑚 ∈ ℝ . On considère la famille de droite ∆𝑚 d’équation cartésienne : 𝑚𝑥 + 𝑚 − 1 𝑦 + 2 = 0
Pour quelle valeur de 𝑚, ∆𝑚 est-elle parallèle à 𝐷 ?
Pour quelle valeur de 𝑚, ∆𝑚 est-elle perpendiculaire à 𝐷 ?
10. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral direct dont les cotés ont pour longueur 2 ; en construisant un repère orthonormal direct “naturel” lié à la figure, déterminer et tracer les ensembles suivants :
𝐷1 = 𝑀 ∈ 𝑃, 𝐴𝐵 . 𝐴𝑀 = 2 𝑒𝑡 𝐷2 = {𝑀 ∈ 𝑃 , 𝐷𝑒𝑡 𝐴𝐵 , 𝐴𝑀 = 2 } VII. Cercle dans le plan
1. Déterminer l’équation du cercle de diamètre [𝐴𝐵] avec 𝐴(0; 1) et 𝐵(6; 3) 2. On donne: Le cercle (𝐶) d’équation : 𝑥² + 𝑦² − 6𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
Les droites 𝐷1 et 𝐷2 d’équation respective : 𝑥 = 0 et 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 a) Déterminer le centre Ω et le rayon 𝑅 du cercle (𝐶)
b) Déterminer la distance de Ω et de la droite 𝐷1 ; que peut-on en déduire ? Retrouver ce résultat par le calcul
c) Déterminer la distance de Ω et de la droite 𝐷2 ; que peut-on en déduire ? Retrouver ce résultat par le calcul
3. Déterminer des équations paramétriques des cercles d’équation cartésienne : x² + y² − 6x − 2y = 0 ; x² + y² − 4 = 0
VIII. Divers
1. Dans un repère (O, i , j ) orthonormal direct , on donne : 𝐴(2; 1) , 𝐵(2; 4) 𝑒𝑡 𝑢 (−1; 3) Déterminer l’ensemble des points 𝑀(𝑥; 𝑦) tels que :
u
. AM = 0 ; u . AM = 3 ; u . AM + 2u . BM = 0 AM . BM = 1 ; Det u . AM = 3 ; Det u . AM = Det u . BM 2. Dans un repère (O, i , j ) orthonormal direct , on donne : A(1; 3) , B(5; 1) et C (−1; −1)
Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐶 3. La droite d’Euler
Dans un repère (O, i , j ) orthonormal direct , on donne : 𝐴(1; 1) , 𝐵(3; 7) 𝑒𝑡 𝐶 (−1; 3) a) Déterminer une équation cartésienne de chacune des 3 médianes du triangle 𝐴𝐵𝐶
Déterminer leur intersection noté 𝐺
b) Déterminer des systèmes d’équations paramétriques de chacune des 3 hauteurs du triangle 𝐴𝐵𝐶
Déterminer leur intersection noté 𝐻
c) Déterminer des systèmes d’équations paramétriques puis les équations cartésiennes de chacune des 3 médiatrices du triangle 𝐴𝐵𝐶
Déterminer leur intersection noté 𝐾
d) Prouver que les points 𝐺 , 𝐻 𝑒𝑡 𝐾 sont alignés et déterminer l’équation de cette droite
Exercices de fin de chapitre :
1. Dans un repère (O, i , j ) orthonormal direct , on donne : 𝐴(1; 1) , 𝑢 (2; 3)
a) Justifier que l’ensemble des points M du plan tels que 𝑢 . 𝐴𝑀 = 2 est une droite (𝐷) dont on donnera l’équation dans le repère (O, i , j )
b) On construit le repère orthonormal direct (𝐴 , 𝐼 , 𝐽 ) , avec 𝐼 = 1
𝑢 𝑢 Exprimer les vecteurs 𝐼 et 𝐽 dans la base (i , j )
Déduire les formules de changement de repère
Déduire l’équation de la droite (𝐷) dans le repère (𝐴 , 𝐼 , 𝐽 )
c) Justifier que l’ensemble des points M du plan tels que det(𝑢 , 𝐴𝑀 ) = 2 est une droite (𝐷′) dont on donnera l’équation dans le repère (O, i , j )
Déduire l’équation de la droite (𝐷′) dans le repère (𝐴 , 𝐼 , 𝐽 ) 2. 𝐴 et 𝐵 sont deux points du plan tels que 𝐴𝐵 = 3
Justifier l’équivalence : MA² − 4MB² = 3 ⟺ MG . MG1 = −1 avec G2 1 et G2 deux points bien choisis
Justifier l’équivalence : MG . MG1 = −1 ⟺ MH²=3 avec 𝐻 le milieu du segment [G2 1G2] Déduire l’ensemble des points 𝑀 du plan tels que MA² − 4MB² = 3
3. Soit un repère 𝑅 = (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) orthonormal direct
𝑅’ = (𝑂, 𝐼 , 𝐽 ) est obtenu par rotation d’angle 𝛼 du repère 𝑅
𝑅” = (𝑂, 𝐾 , 𝐿 ) est obtenu par rotation d’angle 𝛽 du repère 𝑅’
Exprimer 𝐼 et 𝐽 en fonction de 𝑖 et de 𝑗 Exprimer 𝐾 et 𝐿 en fonction de 𝐼 et de 𝐽
Exprimer 𝐾 et 𝐿 en fonction de 𝑖 et de 𝑗 par deux méthodes
De quelles formules de cours cette dernière question apporte-telle la preuve ? 4. Prouver les égalités suivantes, pour tous vecteurs 𝑢 et 𝑣 du plan :
𝑢 + 𝑣 ² = 𝑢 ² + 2 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 ² ; 𝑢 − 𝑣 ² = 𝑢 ² − 2 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 ² 𝑢 + 𝑣 𝑢 − 𝑣 = 𝑢 ² − 𝑣 ²
Déduire les égalités (que l’on prend parfois comme définition du produit scalaire) 𝑢 . 𝑣 =1
2 𝑢 + 𝑣 ² − 𝑢 2− 𝑣 2 = 1
4 ( 𝑢 + 𝑣 2− 𝑢 − 𝑣 2 )