Géométrie plane
Pour reprendre contact no1 - 2 - 3 p 239
I. Droites et points remarquables du triangle (A) Hauteurs
Définition 1
Unehauteurest une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Le point d’intersection d’une hauteur et d’un côté s’appellele pied de la hauteur.
Propriété 1
Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelél’orthocentre du triangle.
(B) Médianes
Définition 2
Unemédianeest une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Propriété 2
Les 3 médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du trianglequi est situé au tiers de chaque médiane.
G A=2G A0 G A0=1 3A A0
Exercice no121 p 264
(C) Médiatrices des côtés
Définition 3
Unemédiatrice d’un segmentest la droite passant par le milieu et perpendicuaire au segment.
Propriété 3
La médiatrice estl’axe de symétriedu segment.
Théorème 1
Si un pointM appartient à la médiatrice de [AB] alorsM A=M B. SiM A=M B alorsM appartient à la médiatrice de [AB].
Propriété 4
Les 3 médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle.
(D) Bissectrices des angles
Définition 4
Labissectrice d’un anglexO yest l’axe de symétrie de l’anglexO y.
Propriété 5
La bissectrice de l’anglexO ypartage cet angle en deux angles de même mesure.
Tout point de la bissectrice dexO yest équidistant des côtés [Ox) et [O y).
Propriété 6
Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle inscrit dans le triangle.
II. Triangle rectangle
(A) Théorème de Pythagore
(B) Cercle circonscrit Propriété 7
Si le triangle ABC est rectangle en A alors le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu du segment [BC]. On a égalementC K=1
2AB.
Propriété 8 (réciproque)
Si le triangleABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC] alorsABC est rectangle en A.
(C) Trigonométrie Propriété 9
Si le triangleABC est rectangle enAalors cosBb=côté adjacent
hypothénuse =BC
AB sinBb= côté opposé hypothénuse= AC
AB tanBb= côté opposé côté adjacent= AC
BC
III. Théorème de Thalès (A) Enoncé
Théorème de Thalès
SoitABC un triangle,M un point de (AB) etNun point de (AC) distints deA.
Si (BC) et (M N) sont parallèles alorsAM N etABC ont leurs côtés proportionnels.
AM AB = AN
AC =M N BC (B) Réciproque
Théorème de Thalès (réciproque)
SoitABC un triangle,M un point de (AB) etNun point de (AC) distints deA.
Si AM
AB =AN
AC et si les points A,B,M et les pointsA,C,Nsont alignés dans le même ordre alors(BC) et(M N)sont parallèles.
(C) Théorème des milieux
Théorème 6
Dans un triangleABC, siIetJsont les milieux de [AB] et [AC] alors (I J)∥(BC) etI J=1 2BC. Théorème 7
Dans un triangleABC, siI est le milieu de [AB], alors la parallèle à (BC) passant par I coupe [AC] en son milieu.
Exercices no20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 26 - 27 - 28 - 30 p 253 à 255 Exercice no122 p 264
IV. Angles
(A) Angles de même mesure Propriété 10
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Propriété 11
Soient deux droitesdetd0sécantes en A. Deux angles au sommet ont la même mesure.
Propriété 12
Soit deux droites d et d0 parallèles et (AB) une droite sécante aux droites d et d0. Les angles alternes-internesainsi déterminés ont la même mesure.
(B) Angles et cercles Propriété 13
SoitOle centre du cercle passant par AetB etMun point de ce cercle. Dans le cercle,l’angle au centremesure le double de chaque angle inscrit qui intercepte le même arc.
Propriété 14
SoientM etN deux points d’un cercle passant par A etB. Dans le cercle,les angles inscrits qui interceptent le même arcont la même mesure.
V. Repérage
(A) Repère - Coordonnées d’un point
Activité no1 p 240
Définition 5
Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis :O,I,J. On note ce repère (O,I,J) et
lle pointOestl’originedu repère
lla droite (OI) estl’axe des abscisseset le pointIdonne l’unité sur cet axe
lla droite (O J) estl’axe des ordonnéeset le pointJdonne l’unité sur cet axe.
Remarques
lL’axe des abscisses est souvent horizontal mais ce n’est pas une obligation.
lSi le triangle OI J est rectangle en O, le repère (O,I,J) est ditorthogonal. Les axes du repère sont perpendiculaires.
lSi le triangleOI J est rectangle et isocèle enO, le repère (O,I,J) est ditorthonormé. Les axes du repère sont perpendiculaires et l’unité est la même sur les deux axes.
Définition 6
On considère un repère (O,I,J) du plan et un point quelconqueM.
lEn traçant la parallèle à (O J) passant parM, on obtient sur l’axe (OI)l’abscissexM du point M.
lEn traçant la parallèle à (OI) passant parM, on obtient sur l’axe (O J)l’ordonnéeyM du point M.
lLe couple de réels (xM;yM) estle couple de coordonnéesdu pointMdans le repère (O,I,J).
Exercices no37 - 39 - 40 p 256
(B) Coordonnées d’un milieu
Activité no3 p 241
Propriété 15 (admise)
SoitA(xA;yA) etB(xB;yB) deux points dans un repère du plan.
Le milieuK de [AB] a pour coordonnéesxK =xA+xB
2 et yK =yA+yB 2 .
Remarque
Le milieu de [AB] est le « point moyen »deAetB. Son abscisse est lamoyenneoula demi-somme des abscisses deAet deB, et son ordonnée estla demi-sommedes ordonnées deAet deB.
Exercices no42 - 43 - 44 - 45 - 46 - 47 - 48 - 50 p 256 - 257
(C) Distance en repère orthonormé Propriété 16
SoitA(xA;yA) etB(xB;yB) deux points dans un repère du plan orthonormé.
La distanceAB est égale àAB= q
(xB−xA)2+(yB−yA)2
Démonstration
