Chapitre 12 : Géométrie du plan et de l’espace.
Notation : On travaillera dans ce chapitre tantôt dans un planP, tantôt dans l’espace E. Pour ne pas surcharger on utiliseraAlorsque le résultat désigne indifféremment le plan ou l’espace.
• On supposera le plan P muni d’un repère pO,ÝÑ i ,ÝÑ
jq. Dans ces conditions un point M PP est caractérisé de manière unique par ses coordonnées px, yq appelées abscisse et ordonnée dans le repèrepO,ÝÑ
i ,ÝÑ
jq, on le notera alors Mpx, yq. On assimilera alors souventP àR2.
• De même on supposera l’espaceE muni d’un repèrepO,ÝÑ i ,ÝÑ
j ,ÝÑ
kq. Dans ces conditions un point M PE est caractérisé de manière unique par ses coordonnéespx, y, zqappelées abscisse, ordonnée et côte dans le repèrepO,ÝÑi ,ÝÑj ,ÝÑ
kq, on le notera alors Mpx, y, zq. On assimilera alors souvent E àR3.
I Points, vecteurs, produit scalaire et détermi- nant
A Colinéarité
SoitÝÑu ˆx
y
˙ etÝÑv
ˆx1 y1
˙
deux vecteurs du planP. On définit le déterminant deÝÑu etÝÑv par
detpÝÑu ,ÝÑvq “
x x1 y y1
“xy1´x1y
SoitÝÑu ,ÝÑv etÝÑw trois vecteurs du planP. On a
• detpÝÑu ,ÝÑvq “ ´detpÝÑv ,ÝÑuq
• detpλÝÑu `µÝÑv ,ÝÑwq “λdetpÝÑu ,ÝÑwq `µdetpÝÑv ,ÝÑwq
• detpÝÑu , λÝÑv `µÝÑwq “λdetpÝÑu ,ÝÑvq `µdetpÝÑu ,ÝÑwq
SoitÝÑu etÝÑv deux vecteurs du plan.ÝÑu etÝÑv sont colinéaires si et seulement si detpÝÑu ,ÝÑvq “0.
Définition-Proposition 1
Démonstration. Il suffit de faire le calcul.
B Produit scalaire
Le produit scalaire est
• @pÝÑu ,ÝÑv ,ÝÑwq P ÝÑ
A3, @pλ, µq P R2,
#pλÝÑu `µÝÑvq ¨ ÝÑw “λpÝÑu ¨ ÝÑwq `µpÝÑv ¨ ÝÑwq Ý
Ñu ¨ pλÝÑv `µÝÑwq “λpÝÑu ¨ ÝÑvq `µpÝÑu ¨ ÝÑwq En particulier on a :@ÝÑu PÝÑ
A, ÝÑu ¨ÝÑ 0 “ÝÑ
0 ¨ ÝÑu “0
• @pÝÑu ,ÝÑvq PÝÑ
A2, ÝÑu ¨ ÝÑv “ ÝÑv ¨ ÝÑu
• @ÝÑu PÝÑ
A, ÝÑu ¨ ÝÑu “0 si et seulement si ÝÑu “ÝÑ0
• @ÝÑu PÝÑ
A, ÝÑu ¨ ÝÑu ě0 Proposition 2(Propriétés)
SoitÝÑu PÝÑ
A. On définit la norme (euclidienne) deÝÑu, notée}ÝÑu}, par }ÝÑu} “
?ÝÑu ¨ ÝÑu
Un vecteurÝÑu sera dit normé si}ÝÑu} “1.
Alors
• }λÝÑu} “ |λ|}ÝÑu},
• }ÝÑu} ě0
• }ÝÑu} “0 si et seulement siÝÑu “ÝÑ0 ,
• }ÝÑu ` ÝÑv}2“ }ÝÑu}2` }ÝÑv}2`2ÝÑu ¨ ÝÑv.
• On a les identités suivantes, dites de polarisation Ý
Ñu ¨ ÝÑv “1 2
`}ÝÑu ` ÝÑv}2´ }ÝÑu}2´ }ÝÑv}2˘
“1 4
`}ÝÑu ` ÝÑv}2´ }ÝÑu ´ ÝÑv}2˘ Définition-Proposition 3(Norme euclidienne)
1 Inégalité de Cauchy-Schwarz.
SoitpÝÑu ,ÝÑvq PÝÑ
A2. On a alors Ý
Ñu ¨ ÝÑv ď }ÝÑu} ˆ }ÝÑv} Théorème 4(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Démonstration 1. pÝÑu ,ÝÑvq PÝÑ
A2. On définit l’application
P : R Ñ R
t ÞÑ }ÝÑu `tÝÑv}2 On a alors
@tPR, Pptq “ }ÝÑu}2`2t ÝÑu ¨ ÝÑv `t2}ÝÑv}2 P est donc une application polynomiale de degré 2.
De plus, d’après les propriétés de la norme on a
@tPR, Pptq ě0 On peut procéder de deux manières :
— Comme P est de signe constant il ne peut pas admettre deux racines réelles distinctes, son discriminant est négatif ou nul, c’est-à-dire
∆“4pÝÑu ¨ ÝÑvq2´4}ÝÑu}2ˆ }ÝÑv}2ď0 D’où
pÝÑu ¨ ÝÑvq2ď }ÝÑu}2}ÝÑv}2 Par croissance de la fonction racine carrée on a alors
|ÝÑu ¨ ÝÑv| ď }ÝÑu}}ÝÑv} D’où
Ý
Ñu ¨ ÝÑv ď |ÝÑu ¨ ÝÑv| ď }ÝÑu}}ÝÑv}
— PourÝÑu “ÝÑ0 le résultat à prouver est 0ď0 et est donc évident. Supposons désormaisÝÑu ‰ÝÑ0 d’où}ÝÑu} ‰0.
CommeP ne prend que des valeurs positives on a en particulier P
ˆ
´ Ý Ñu ¨ ÝÑv
}ÝÑu}2
˙ ě0 C’est-à-dire
pÝÑu ¨ ÝÑvq2
}ÝÑu}2 ´2pÝÑu ¨ ÝÑvq2
}ÝÑu}2 ` }ÝÑv}2ě0
D’où
pÝÑu ¨ ÝÑvq2
}ÝÑu}2 ď }ÝÑv}2 Puis
pÝÑu ¨ ÝÑvq2ď }ÝÑu}2}ÝÑv}2 Par croissance de la fonction racine carrée on a alors
|ÝÑu ¨ ÝÑv| ď }ÝÑu}}ÝÑv} Finalement on a bien
Ý
Ñu ¨ ÝÑv ď |ÝÑu ¨ ÝÑv| ď }ÝÑu}}ÝÑv}
2 Inégalité triangulaire.
Inégalité triangulaire
Rem1. La somme de deux côtés d’un triangle est plus petite que le troisième côté.
SoitpÝÑu ,ÝÑvq PÝÑ
A2. On a alors }ÝÑu ` ÝÑv} ď }ÝÑu} ` }ÝÑv} Théorème 5
Démonstration 2. On a
}ÝÑu ` ÝÑv}2“ }ÝÑu}2` }ÝÑv}2`2ÝÑu ¨ ÝÑv ď }ÝÑu}2` }ÝÑv}2`2}ÝÑu}}ÝÑv} ď p}ÝÑu} ` }ÝÑv}q2
Ainsi
}ÝÑu ` ÝÑv}2ď p}ÝÑu} ` }ÝÑv}q2 Par croissance de la fonction racine carrée on a alors
|}ÝÑu ` ÝÑv}|ď|}ÝÑu} ` }ÝÑv}|
C’est-à-dire
}ÝÑu ` ÝÑv} ď }ÝÑu} ` }ÝÑv}
SoitpÝÑu ,ÝÑvq PÝÑ
A2.ÝÑu et ÝÑv sont dits orthogonaux siÝÑu ¨ ÝÑv “0 Définition 1
de Pythagore SoitpÝÑu ,ÝÑvq PÝÑ A2. Ý
Ñu et ÝÑv sont orthogonaux si et seulement si
}ÝÑu ` ÝÑv}2“ }ÝÑu}2` }ÝÑv}2 Théorème 6
Démonstration 3. Cela découle aisément de la formule
}ÝÑu ` ÝÑv}2“ }ÝÑu}2` }ÝÑv}2`2ÝÑu ¨ ÝÑv
Dans le cas oùA“R2 muni de son repère usuel, ces notions et résultats peuvent s’interpréter en terme d’angle.
Rem2. ÝÑu etÝÑv sont alors orthogonaux si et seulement si
cos
´ Ý{ Ñu ,ÝÑv
¯
“0, c’est-à-dire si et seulement si Ý{ Ñu ,ÝÑv P
!π
`kπ , kPZ )
On se place dans le cas particulier où A“R2muni de son repère usuel.
SoitpÝÑu ,ÝÑvq PÝÑ
A2. On a alors Ý
Ñu ¨ ÝÑv “ }ÝÑu}}ÝÑv}cos
´ Ý{ Ñu ,ÝÑv
¯ Proposition 7
II Droites et cercles dans le plan
A Vecteur directeur, représentation paramétrique
Rem3. Une droite admet toujours une infinité de vecteurs directeurs : deux vecteurs sont directeurs de la même droite si et seulement si ils sont colinéaires.
Une partie Dnon-vide deP est appelée une droite s’il existeÝÑu PÝÑ PztÝÑ
0utel que D“ tM PP, DtPR, ÝÝÑ
AM “tÝÑuu
oùAest un point quelconque fixé deD.
On dit alors queÝÑu est un vecteur directeur de la droiteD.
Définition 2
SoitDune droite du plan. SoitAetB deux points distincts deD. AlorsÝÝÑ
ABest un vecteur directeur de D.
Proposition 8
• Deux droitesDet D1 sont dites sécantes siDXD1 ‰ H
• Deux droitesDet D1sont dites parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Deux droites D et D1 sont dites perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Définition 3
Rem4. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet celle-ci dépend du point choisi et du vecteur directeur choisi et on a une infinité de choix pour ces deux éléments.
SoitDune droite de vecteur directeurÝÑu etAPD. SoitMpx, yq PP.
Alors Mpx, yq PD si, et seulement si, il existe tP Rtel que ÝÝÑ
AM “tÝÑu, c’est-à-dire si, et seulement si, il existetPRtel que
#
x“xA`txÝÑu y“yA`tyÝÑu
Ainsi
D“ pxA`txÝÑu , yA`tyÝÑuq, tPR( On appelle une telle écriture une représentation paramétrique de D Normalement, une droite est caractérisée de manière unique par la donnée
• d’un point de la droite
• d’un vecteur directeur Proposition 9
B Vecteur normal, équation de droite.
1 Définition.
Rem5. Comme pour les vecteurs directeurs, une droite admet une infinité de vecteurs normaux
SoitDune droite du planP et soitÝÑu un vecteur directeur deD. SoitÝÑv PÝÑ PztÝÑ0u.
On dit que ÝÑv est un vecteur normal à D si ÝÑu et ÝÑv sont orthogonaux, c’est-à-dire, si Ý
Ñu ¨ ÝÑv “0.
De manière équivalente ÝÑv est normal àDsi
@pA, Bq PD, ÝÝÑ
AB¨ ÝÑv “0 Définition 4
2 Équation cartésienne.
Rem6. Une droite admet une infinité d’équations cartésiennes.
SoitDune droite du plan, APDetÝÑv un vecteur normal àDde coordonnéespa, bq.
SoitMpx, yq PP. Alors
Mpx, yq PDsi, et seulement si, ax`by“axA`byA. Notons c“axA`byA. On a alors
Mpx, yq PD ô ax`by“c
L’équationax`by“cest appelée une équation cartésienne de la droite D.
Une droite Dest ainsi caractérisée de manière unique par la donnée de
• Un point deD,
• Un vecteur normal àD.
Proposition 10
Démonstration 4. Soit D une droite du plan, A P D et ÝÑv un vecteur normal à D de coordonnées pa, bq.
SoitMpx, yq PP.
— Supposons queM PD, alorsÝÝÑ
AM¨ ÝÑv “0, c’est-à-dire apx´xAq `bpy´yAq “0 Ce qui est équivalent à
ax`by“axA`byA
Réciproquement supposons queapx´xAq `bpy´yAq “0. CommeÝÑv n’est pas le vecteur nul alorspa, bq ‰ p0,0q, pour fixer les idées supposonsa‰0.
SoitÝÑu un vecteur directeur deD de coordonnéespxÝÑu , yÝÑuq, on a ainsiaxÝÑu `byÝÑu “0, d’où xÝÑu “ ´abyÝÑu. Ceci implique en particulier queyÝÑu ‰0.
On a ainsipx´xAq “ ´abpy´yAq “ xÝÑu
yÝÑupy´yAq. Notonst“y´yy A Ý
Ñu , On a alors x“xA`txÝÑu , y“yA`tyÝÑu
C’est-à-direM PD.
3 Équation réduite.
Rem7. SiÝÑupα, βq dirigeDetα‰0 alors
β
α est le coefficient directeur deD.
SoitDune droite d’équation cartésienneax`by“c. Sia‰0 on peut mettre cette équation sous la forme
y“ρx`d
On appelle alors ρle coefficient directeur ou la pente deDet dl’ordonnée à l’origine de D.
Définition-Proposition 11
4 Vecteur directeur et vecteur normal.
Soitpa, b, cq PR3 avecpa, bq ‰ p0,0q.
L’ensemble ∆“ tMpx, yq PP, ax`by“cuest une droite de vecteur normalaÝÑ i `bÝÑ
j. Pour caractériser entièrement ∆ il faut également donner un point AP∆.
De manière équivalente ∆ est une droite de vecteur directeurÝÑu : ´bÝÑ i `aÝÑ
j : ˆ´b
a
˙ . Proposition 12
5 Parallélisme.
SoitDetD1deux droites d’équations cartésiennes respectivesax`by“ceta1x`b1y“c1. AlorsDetD1sont parallèles si, et seulement si, detp´bÝÑ
i`aÝÑ j ,´b1ÝÑ
i`aÝÑ
jq “0, c’est-à-dire, si, et seulement si
ab1´a1b“0 Proposition 13
Exemple 1. SoitAp2,4qetBp´1,5q
1. Donner une équation cartésienne de la droitepABq.
La droite pABqest dirigée par le vecteur ÝÝÑ
AB“ ´3ÝÑ i `ÝÑ
j. Ainsi le vecteur ÝÑn “ÝÑ i `3ÝÑ
j est normal à la droitepABq.
La droite pABq admet donc une équation cartésienne de la formex`3y “c. Il nous reste à déterminerc.
On sait queAP pABq, ainsixA`3yA“c, c’est-à-direc“14.
FinalementpABqadmet pour équation cartésienne l’équationx`3y“14.
2. Donner une équation cartésienne et une représentation paramétrique de la médiatrice du segment rABs
La médiatriceM du segmentrABsest perpendiculaire àpABq. AinsiÝÝÑ
ABest un vecteur normal àM.
M admet alors une équation cartésienne de la forme´3x`y“c1. Pour déterminerc1il nous faut un point deM. Le milieuI`1
2,92˘
derABsappartient àM. Ainsi c“ ´32`92 “3
M admet donc pour équation cartésienne l’équation´3x`y“3.
Un vecteur directeur de M est le vecteur ÝÑn “ ÝÑi `3ÝÑj. On en déduit une représentation paramétrique deM
M “
"ˆ
´1 2`t,9
2 `3t
˙ , tPR
*
C Cercles
1 Définition.
Soit ΩPP et rą0. On appelle cercle de centre Ω et de rayonr, l’ensemble des pointsM du planP à une distance égale àRdu point Ω. C’est-à-dire
C“ tM PP , }ÝÝÑ ΩM} “Ru Définition 5
2 Équation de cercle.
Rem8. C’est simplement exprimer que ΩM2“R2
Soit ΩpxΩ, yΩq PP et Rą0.
Le cercleC de centre Ω et de rayonr est l’ensemble des pointsMpx, yqtels que px´xΩq2` py´yΩq2“R2
On appelle l’équation px´xΩq2` py´yΩq2“R2 l’équation cartésienne du cercleC.
Théorème 14
Démonstration 5. SoitMpx, yq PP. On a }ÝÝÑ
ΩM}2“ÝÝÑ ΩM ,ÝÝÑ
ΩM “ px´xΩq2` py´yΩq2 Ainsi, on a
}ÝÝÑ
ΩM} “R ô
CarRě0 et}ÝÝÑ ΩM}ě0
}ÝÝÑ
ΩM}2“R2ô px´xΩq2` py´yΩq2“R2
Rem 9. Une équation de cercle est donc de la forme px´xΩq2` py´yΩq2“R2.
En développant on aboutit à une équation de la forme x2`2xΩx`y2`2yΩy “R2´x2Ω´yΩ2, c’est-à-dire de la formex2`ax`y2`by“ρavecpa, b, ρq PR3.
Face à une équation de la formex2`ax`y2`bx“ρon va utiliser la mise sous forme canonique pour revenir à une équation de cercle plus lisible.
Exemple 2. — E1:x2´4x`y2`6y`4“0.
Soitpx, yq PR2, on a
x2´4x`y2`6y`4“x2´4x`4`y2`6y`9´9
“ px´2q2` py`3q2´9 AinsiE1est équivalente à
E11: px´2q2` py`3q2“9 On reconnait l’équation du cercle de centre Ω1p2,´3qet de rayon 3.
— E2:x2´2x`y2`2y`2“0 Soitpx, yq PR2, on a
x2´2x`y2`2y`2“x2´2x`1`y2`2y`1
“ px´1q2` py`1q2 AinsiE2est équivalente à
E12: px´1q2` py`1q2“0
On reconnait l’équation du cercle de centre Ω2p1,´1q et de rayon 0, c’est-à-dire du point Ω2p1,´1q.
— E3:x2´6x`y2´2y`12“0 Soitpx, yq PR2, on a
x2´6x`y2´2y`12“x2´6x`9`y2´2y`1`2
“ px´3q2` py´1q2`2 AinsiE3est équivalente à
E31 : px´3q2` py´1q2“ ´2 E3 est ainsi une équation incompatible.
3 Surface.
Rappel (CM2-6ème) SoitC un cercle de rayonRě0 etDle disque associé.
L’aire deDvautπR2 et le périmètre deCvaut 2πR.
Proposition 15
III Droites et plans de l’espace
A Droites de l’espace
Comme dans le plan une droite de l’espace est définie par
• Un point de la droite
• Un vecteur directeur
Rem10. De manière similaire au cas du plan on dira que deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Une partie Dnon-vide deE est appelée une droite s’il existeÝÑu PÝÑ
EztÝÑ0utel que D“ tM PE, DtPR, ÝÝÑ
AM“tÝÑuu
oùAest un point quelconque fixé deD.
On dit alors queÝÑu est unvecteur directeurde la droiteD.
Définition 6
Soit D une droite de E et soit ÝÑu “ αÝÑ i `βÝÑ
j `γÝÑ
k un vecteur directeur de D. Soit ApxA, yA, zAqun point deD.
Alors on a
D“ tpxA`αt, yA`βt, zA`γtq, tPRu On appelle une telle écriture une représentation paramétrique de D.
Un autre écriture :
Mpx, y, zq PDô
$
&
%
x“xA`αt y“yA`βt z“zA`γt Proposition 16(Représentation paramétrique d’une droite)
B Plans de l’espace
1 Définition
Une partie QdeE est un plan s’il existe deux vecteurs non-colinéairesÝÑu etÝÑv et un point APQtels que
Q“ tM PE, Dps, tq PR2, ÝÝÑ
AM“sÝÑu `tÝÑvu On dit alors queÝÑu et ÝÑv forment une base du planQ
Définition 7
Rem 11. — Un plan admet une infinité de bases.
— Soit A, B et C trois points non-alignés de E, il existe un unique plan contenant A,B et C, on le notepABCq. On peut l’écrire, par exemple
pABCq “ tM PE, Dps, tq PR2, ÝÝÑ AM“sÝÝÑ
AB`tÝÑ ACu
— En particulier, siQest un plan etA, BetCsont trois points non-alignés deQalorsQ“ pABCq et doncpÝÝÑ
AB,ÝÑ
ACqest une base deQ.
2 Représentation paramétrique
Soit Qun plan et soitÝÑu “aÝÑ i `bÝÑ
j `cÝÑ
k et ÝÑv “αÝÑ i `βÝÑ
j `γÝÑ
k une base de Q, soit APQ. Alors
Q“ pxA`sa`tα, yA`sb`tβ, zA`sc`tγq, ps, tq PR2(
On appelle une telle écriture une représentation paramétrique de Q.
Rem12. Pour chaque pointM le couple ps, tqest unique.
Une autre écriture :
Mpx, y, zq PQô Dps, tq PR2,
$
&
%
x“xA`sa`tα y“yA`sb`tβ z“zA`sc`tγ Proposition 17(Représentation paramétrique d’un plan)
Rem 13. Un plan est caractérisé de manière unique par la donnée de
— Un point du plan
— Une base (deux vecteurs non-colinéaires) du plan ou encore par la donnée de
— Trois points du plan
3 Équations cartésiennes
Rem14. SipÝÑu ,ÝÑvq est une base deQ alorsÝÑn est normal à Qsi et seulement si Ý
Ñu ,ÝÑn “ ÝÑv ¨ ÝÑn “0
SoitQun plan de l’espace, un vecteurÝÑn est dit normal àQsi
@pA, Bq PQ2 ÝÝÑ
AB¨ ÝÑn “0 Définition 8
SoitQun plan deE, soit ÝÑn un vecteur normal àQetAPQ. SoitM PE, alors M PQ ôÝÝÑ
AM¨ ÝÑn “0 Proposition 18
Démonstration 6. Admis (la preuve nécessite des arguments du chapitre « Espaces Vectoriels »)
Rem15. Un plan est ainsi caractérisé de manière unique par la donnée de
— Un point du plan,
— Un vecteur normal au plan
SoitÝÑw PÝÑ
EztÝÑ0uet soitAPE, l’ensembletM PE , ÝÝÑ
AM¨ ÝÑw “0uest un plan.
Proposition 19
Démonstration 7. Admis (la preuve nécessite des arguments du chapitre « Espaces Vectoriels »)
SoitQun plan,APQetÝÑn “aÝÑ i `bÝÑ
j `cÝÑ
k un vecteur normal àQ.
On appelle équation cartésienne de Q une équation de la forme ax`by`cz “ d où d“axA`byA`czA. On a alors
Q“ tMpx, y, zq PE , ax`by`cz“du
Réciproquement une équation de la forme αx`βy`γz“ δ définit un unique plan dont αÝÑi `βÝÑj `γÝÑ
k est un vecteur normal.
Proposition 20(Équation cartésienne d’un plan)
Démonstration 8. Il nous faut prouver que
Q“ tMpx, y, zq PE , ax`by`cz“du
SoitMpx, y, zq PE, on a
M PQô xÝÝÑ
AM ,ÝÑny “0
ôapx´xAq `bpy´yAq `cpz´zAq “0 ôax`by`cz“axA`byA`czA
4 Position relative de deux plans
Deux plans sont dits parallèles s’il existe un vecteurÝÑw normal aux deux plans.
Définition 9
5 Intersection de deux plans
SoitQ1 et Q2deux plans non-parallèlesdeE d’équations cartésiennes respectives ax`by`cz“d et αx`βy`γz“δ
L’intersection deQ1 etQ2est une droiteDdeE.
On appelle équation cartésienne de Dle système d’équation
#
ax`by`cz“d αx`βy`γz“δ
On peut obtenir un vecteur directeur deDen cherchant un vecteur orthogonal àaÝÑ i `bÝÑ
j ` cÝÑ
k et àαÝÑ i `βÝÑ
j `γÝÑ k. Proposition 21
Rem 16. On rappelle les propriétés suivantes du cours de géométrie de Seconde : Deux droites deE peuvent être
— sécantes
— parallèles, dans ces deux cas elles sont dites coplanaires
— non-coplanaires
— confondues
Une droiteDet un planQ deE peuvent
— être parallèles
— vérifier DĂQ
— être sécants
Deux plans peuvent être
— sécants
— parallèles
— confondus
IV Projection orthogonale, distance à une droite ou un plan
SoitM PAet F une droite ou un plan.
Il existe un unique pointH PF tel que
@BPF, ÝÝÑ HM¨ÝÝÑ
HB“0 On appelle ce point le projeté orthogonal de M surF.
Théorème 22
Soit M PA et F une droite ou un plan. On définit la distance deM à F, notéedpM,Fq par
dpM,Fq “ inf
NPF}ÝÝÑ M N}
Il s’agit donc de la borne inférieure des distances entreM et un point deF.
Définition 10
SoitM PAet F une droite ou un plan. SoitH le projeté orthogonal deM surF.
Le projeté orthogonal H deM surF est l’unique point qui réalise la distance de M à F, c’est-à-dire
Rem17. Le projeté orthogonal deM sur F est ainsi le point de Fle plus proche deM.
dpM,Fq “ }ÝÝÑ M H}
Théorème 23
Démonstration 9. Commençons par remarquer que, commeH PF alors dpM,Fq “ inf
NPF}ÝÝÑ
M N} ď }ÝÝÑ M H}
SoitNPF. On a
}ÝÝÑ
M N}2“ }ÝÝÑ M H`ÝÝÑ
HN}2
“ }M H}2`2ÝÝÑ M H¨ÝÝÑ
HN` }ÝÝÑ HN}2
“ }M H}2` }ÝÝÑ HN}2 Ainsi
@N PF, }ÝÝÑ
M N} ě }ÝÝÑ M H}
D’où
dpM,Fq “ inf
NPF}ÝÝÑ
M N} ě }ÝÝÑ M H}
Finalement on a bien
dpM,Fq “ }ÝÝÑ M H}
On peut aussi remarquer que, siN ‰H alors}ÝÝÑ
M N} ą }ÝÝÑ M H}, ainsi,
@N PFztHu, }M N} ądpM,Fq H est donc bien l’unique point réalisant la distance deM àF.
Comment déterminer le projeté orthogonal d’un point sur une droite ou un plan ? C’est en fait assez simple :
SoitM PAet F une droite ou un plan. SoitH le projeté orthogonal deM surF.
H est l’intersection deF et de la droite perpendiculaire àF passant par M. Proposition 24
Démonstration 10.
@BPF, ÝÝÑ HM¨ÝÝÑ
HB“0 AinsiÝÝÑ
HM est un vecteur normal àF.
La droitepHMqest ainsi la perpendiculaire àF passant par M et on a bientHu “ pHMq XF. Exemple 3. Déterminer le projeté orthogonal deMp1,1,1qsur le planP d’équationx´y`2z“0 et la distance deM àP
Le vecteurÝÑn “ÝÑi ´ÝÑj `2ÝÑ
k est un vecteur normal àP.
La droiteDperpendiculaire àP passant parAadmet doncÝÑn comme vecteur directeur et a ainsi pour représentation paramétrique
D“ tMp1`t,1´t,1`2tq, tPRu Déterminons l’intersection deDet P
Mp1`t,1´t,1`2tq PP ô p1`tq ´ p1´tq `2p1`2tq “0 ô 2`6t“0
. ô t“ ´1 3 Ainsi le projeté orthogonal deAsurP est le pointH`
1´13,1`13,1´23˘
“H`2
3,43,13˘ La distance entreAetP vaut
}AH} “ d
ˆ
1 2˙2 ˆ
1 4˙2 ˆ
1 1˙2 c
1 1 4 c
2
V Barycentres
La notion de barycentre est très importante en physique et en chimie, que ce soit pour l’étude des configurations spatiales de molécules, l’étude du mouvement d’un système de points massiques en interaction de type gravitationnelle, la recherche du point d’équilibre d’un solide soumis à plusieurs forces, etc.
A Définition
Rem18. Si α1“α2“ ¨ ¨ ¨ “αn
alors on parle d’isobarycentre des pointsA1, A2,¨ ¨ ¨, An.
Soit pA1, A2,¨ ¨ ¨ , Anq PAn et pα1, α2,¨ ¨ ¨ , αnq PRn. Si α1`aα2` ¨ ¨ ¨ `αn ‰ 0 alors il existe un unique point GPAtel que
α1ÝÝÑ
GA1`α2ÝÝÑ
GA2` ¨ ¨ ¨ `αnÝÝÑ GAn“ÝÑ
0
On appelle G le barycentre des pointsA1, A2,¨ ¨ ¨ , An affectés des poids α1, α2,¨ ¨ ¨, αn ou barycentre des points pondéréspA1, α1q,¨ ¨ ¨,pAn, αnq.
On notera dans ce chapitre G“BarppA1, α1q,¨ ¨ ¨,pAn, αnqq Définition-Proposition 25
B Construction d’un barycentre
Soit pA1, α1q,¨ ¨ ¨,pAn, αnq n points pondérés. Le barycentre G des points pondérés pA1, α1q,¨ ¨ ¨,pAn, αnqest l’unique pointGtel que
@M PA, ÝÝÑ
GM “ 1
α1`α2` ¨ ¨ ¨ `αn
´
α1ÝÝÝÑ
A1M`α2ÝÝÝÑ
A2M ` ¨ ¨ ¨ `αnÝÝÝÑ AnM
¯
En particulier, si les coordonnées des pointsAisontpxi, yi, ziqalors, en prenantM “O, on obtient les coordonnées de G. DoncGa pour coordonnées
ˆ řn i“1αixi
řn i“1αi
, řn
i“1αiyi
řn i“1αi
, řn
i“1αizi
řn i“1αi
˙ Théorème 26
Démonstration. SoitM PA, on a α1ÝÝÝÑ
A1M`α2ÝÝÝÑ
A2M ` ¨ ¨ ¨ `αnÝÝÝÑ
AnM “α1ÝÝÑ
A1G`α1ÝÝÑ
GM`α2ÝÝÑ
A2G`α25ÝÝÑ
GM¨ ¨ ¨ `αnÝÝÑ
AnG`αnÝÝÑ GM
“
˜ n ÿ
i“1
αi
¸
ÝÝÑGM`α1ÝÝÑ
A1G`α2ÝÝÑ
A2G` ¨ ¨ ¨ `αnÝÝÑ AnG
“
˜ n ÿ
i“1
αi
¸ ÝÝÑGM´
´ α1ÝÝÑ
GA1`α2ÝÝÑ
GA2` ¨ ¨ ¨ `αnÝÝÑ GAn¯
“
˜ n ÿ
i“1
αi
¸
ÝÝÑGM´ÝÑ0
“
˜ n ÿ
i“1
αi
¸ ÝÝÑGM
D’où, commeα1`aα2` ¨ ¨ ¨ `αn ‰0,
@M PA, ÝÝÑ
GM “ 1
α1`α2` ¨ ¨ ¨ `αn
´
α1ÝÝÝÑ
A1M`α2ÝÝÝÑ
A2M ` ¨ ¨ ¨ `αnÝÝÝÑ AnM
¯
Rem 19. — SiGest le barycentre des points pondéréspA1, α1q,¨ ¨ ¨,pAn, αnq, alors, pour tout réel non-nulλ,Gest le barycentre des points pondéréspA1, λα1q,¨ ¨ ¨ ,pAn, λαnq.
En pratique, quitte à prendreλ“α 1
1`α2`¨¨¨`αn on imposera queα1`α2` ¨ ¨ ¨ `αn “1.
— L’isobarycentre de deux points AetB est le milieu du segmentrABs.
— L’isobarycentre de trois points non-alignésA, B etC est le centre de gravité du triangleABC.
— L’ensemble des barycentres de deux points A et B affectés de poids quelconques est la droite pABq
— L’ensemble des barycentres de trois points non-alignés A, B et C affectés de poids quelconques est le planpABCq.
C Associativité du barycentre
SoitG1“BarppA1, α1q,¨ ¨ ¨ ,pAn, αnqqet G2“BarppB1, β1q,¨ ¨ ¨,pBm, βmqq Alors
G“BarppA1, α1q,¨ ¨ ¨,pAn, αnq,pB1, β1q,¨ ¨ ¨,pBm, βmqq “Bar
˜˜
G1,
n
ÿ
i“1
αi
¸ ,
˜ G2,
m
ÿ
j“1
βj
¸¸
Théorème 27(Associativité du barycentre)
Exemple 4. SoitABC un triangle non-plat. On va montrer que les médianes de ABC sont concou- rantes.
SoitIle milieu derABs, Iest donc le barycentre de` A,12˘
,` B,12˘
.
La médiane issue deC dansABCest la droitepCIq, c’est donc l’ensemble des points qui peuvent s’écrire comme barycentre depC,1´λq,pI, λqavecλPR, par associativité du barycentre c’est aussi l’ensemble des points qui peuvent s’écrire comme barycentre depC,1´λq,`
A,λ2˘ ,`
B,λ2˘
avecλPR. De manière similaire la médiane issue deAdansABCest l’ensemble des points qui peuvent s’écrire comme barycentre depA,1´µq, `
B,µ2˘ , `
C,µ2˘
et la médiane issue de B dans ABC est l’ensemble des points qui peuvent s’écrire comme barycentre depB,1´ψq,
´ B,ψ2
¯ ,
´ C,ψ2
¯ . En prenantλ“µ“ψ“ 23 on constate que le barycentreGde`
A,13˘ ,`
B,13˘ , `
C,13˘
appartient aux trois médianes. Les trois médianes sont ainsi concourantes enG, l’isobarycentre deA,B et C.
VI Méthodes dans le plan.
A Droites.
Déterminer l’équation cartésienne d’une droitedà partir d’un pointAp1; 3qet d’un vecteur directeur ÝÑu :
ˆ 2
´3
˙ . M PdôÝÝÑ
AM et ÝÑucolinéaires ôdet
´ÝÝÑ AM;ÝÑu
¯
“0ô
x´1 2 y´3 ´3
“0 ô ´3px´1q ´2py´3q “0ô ´3x´2y`9“0
Méthode-exemple 1
Déterminer l’équation paramétrique d’une droitedà partir d’un pointAp1; 3qet d’un vecteur directeur ÝÑu :
ˆ 2
´3
˙
. Doncd“ tp1`2t; 3´3tq, tPRu.
M PdôÝÝÑ
AM et ÝÑucolinéaires ô DtPR, ÝÝÑ
AM“tÝÑu ô DtPR,
"
x´1“2t y´3“ ´3t ô DtPR,
"
x“1`2t y“3´3t Méthode-exemple 2
Passer d’une écriture cartésienne d’une droite dà une écriture paramétrique :
´3x´2y`9“0ô
"
x“xy“ ´3 2 x´3
2 Doncd“
"ˆ x;´3
2 x´3 2
˙ , xPR
*
Et d’une écriture paramétrique à une écriture cartésienne : DtPR,
"
x“1`2t
y “3´3t ñ3x`2y“9 En faisant 3L1`2L2 Méthode-exemple 3
Rem20. Les deux droitesdet ∆ de ces deux exemples sont orthogonales en le point A.
Déterminer l’équation cartésienne d’une droite ∆ à partir d’un pointAp1; 3qet d’un vecteur normalÝÑn :
ˆ2
´3
˙ . M P∆ôÝÝÑ
AM etÝÑuorthogonaux ôÝÝÑ
AM¨ ÝÑu “ ˆx´1
y´3
˙
¨ ˆ 2
´3
˙
“2px´1q ´3py´3q “2x´3y`7“0 Méthode-exemple 4
Dans le plan.Pour déterminer si deux droites sont parallèles :
• Les vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Les vecteurs normaux sont colinéaires.
Pour déterminer si deux droites sont perpendiculaires (c’est-à-dire orthogonales et sécantes) :
• Les vecteurs directeurs sont orthogonaux.
• Les vecteurs normaux sont orthogonaux.
Méthode 5
B Cercles.
Déterminer l’équation cartésienne d’un cercle C à partir de son centre Ap1; 3q et de son rayon :
M PCôAM“3ô px´1q2` py´3q2“x2´2x`y2´6y`10“0 Méthode-exemple 6
Déterminer l’équation d’un cercleC1à partir d’un diamètrerABsavecAp1; 3qetBp´1;´2q: M PC1ôÝÝÑ
AM¨ÝÝÑ BM “0ô
ˆx´1 y´3
˙
¨ ˆx`1
y`2
˙
“ px´1qpx`1q`py´3qpy`2q “x2`y2´y´7“0 Méthode-exemple 7
Déterminer le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation cartésienne :
x2´2x`y2´3y´ “0ôx2´2x`1 looooomooooon
px´1q2
´12`y2´2ˆ3
2ˆy`9 looooooooooomooooooooooon4
px´32q2
´9 4 ´12
4 “0
ô px´1q2` ˆ
y´3 2
˙2
“ ˆ5
2
˙2
ôDM “5
2 avecD:
ˆ 1;3
2
˙
ôM PC2
Avec C2 cercle de centreD` 1;32˘
et de rayon 5 2. Méthode-exemple 8
C Projection orthogonal.
Pour déterminer le projeté orthogonal d’un point E sur une droited.
Soit une droitedd’équation paramétriqued“ tp1`2t; 3´3tq, tPRuet le pointEp0;´2q.
DoncÝÑu : ˆ2
´3
˙
est un vecteur directeur ded.
SoitHp1`2t; 3´3tqle point dedprojeté orthogonal deE surd. Alors ÝÝÑ
EH K ÝÑu ñ
ˆ 1`2t 3´3t`2
˙
¨ ˆ 2
´3
˙
“2p2t`1q ´3p5´3tq “13t´13“0ñt“1 DoncHp3; 0qest le projeté deE sur la droited.
Donc la distance dedàE est :
dpd;Eq “EH“a
32`22“
? 13 Méthode-exemple 9
VII Méthodes dans l’espace.
A Droites.
Déterminer l’équation paramétrique d’une droite d à partir d’un pointAp1; 3;´3q et d’un vecteur directeurÝÑu :
¨
˝ 2
´3 1
˛
‚. Doncd“ tp1`2t; 3´3t;´3`tq, tPRu.
Méthode-exemple 10
Déterminer l’équation paramétrique d’un plan P à partir d’un pointAp1; 3;´3qet de deux vecteurs directeurs ÝÑu :
¨
˝ 2
´3 1
˛
‚et ÝÑv :
¨
˝
´2 2
´3
˛
‚.
DoncP “ p1`2t´2s; 3´3t`2s;´3`t´3sq, pt, sq PR2( . Méthode-exemple 11
Déterminer l’équation cartésienne d’un planQà partir d’un pointAp1; 3;´3qde ce plan et d’un vecteur normal ÝÑn :
¨
˝ 7 4
´2
˛
‚à ce plan.
Mpx, y, zq PQôÝÑ
AQ¨ÝÑn “0ô
¨
˝ x´1 y´3 z`3
˛
‚¨
¨
˝ 7 4
´2
˛
‚“7px´1q`4py´3q´2pz`3q “7x`4y´2z´25“0 Méthode-exemple 12
Passer d’une équation paramétrique de plan à une équation cartésienne. Soit P “ p1`2t´2s; 3´3t`2s;´3`t´3sq, pt, sq PR2(
. Soitpt, sq PR2 :
$
&
%
x“1`2t´2s y“3´3t`2s z“ ´3`t´3s
ô
L1´2L3 L2`3L3
.
$
&
%
x´2z“7`4s y`3z“ ´6´7s
z“ ´3`t´3s ô
7L1`4L2 . .
$
&
%
7x`4y´2z“25 y`3z“12´7s
z“ ´3`t´3s On pourra choisir la représentation matricielle pour résoudre ce genre de problème.
Une équation cartésienne du plan P est donc 7x`4y´2z´25“0 Méthode-exemple 13
Pour déterminer une équation paramétrique à partir d’une équation cartésienne d’un plan P :
7x`4y´2z´25“0ôx“25´4 7 y`2
7z P “ `
25´47 y`27z;y;z˘
, py, zq PR2(
. Soitpt, sq PR2 Méthode-exemple 14
Pour passer d’une représentation cartésienne d’une droite D (vue comme intersection de deux plans) à une représentation paramétrique :
"
P: 7x`4y´2z´25“0
R: 2x´z´5“0 ô2L1´7L2 .
"
2y`3z`15“0 x“12z`52 ô
# x“ 12z`52 y“ ´32 z´152
DoncD“ `
t`52;´3t´152; 2t˘
, tPR( Méthode-exemple 15
B Projeté orthogonal.
Projeté orthogonal sur un planP : 7x`4y´2z´25“0 d’un pointE:p8; 7;´5q. On note H le projeté orthogonal deE.
A partir de l’équation cartésienne du plan, on en déduit un vecteur normal ÝÑn :
¨
˝ 7 4
´2
˛
‚. DoncÝÝÑ
EH etÝÑn sont colinéaires. Donc : DtPR, ÝÝÑ
EH :
¨
˝ 7t 4t
´2t
˛
‚ô DtPR, H:
¨
˝ 7t`8 4t`7
´2t´5
˛
‚
Or :
H PPñ7p7t`8q `4p4t`7q ´2p´2t´5q ´25“0ñ69t`69“0ñt“ ´1 Donc le projeté orthogonal deE surP est le point de coordonnéesp1; 3;´3q.
Méthode-exemple 16
Projeté orthogonal sur une droite d “ tp1`2t; 3´3t;´3`tq, tPRu, d’un point Fp4; 0;´4q. On noteH le projeté orthogonal deF surd. Alors
DtPR, Hp1`2t; 3´3t;´3`tq Ensuite, le vecteurÝÑu :
¨
˝ 2
´3 1
˛
‚est un vecteur directeur ded(trouvé en prenant les coefficients des "t" dans l’expression de l’équation paramétrique). Donc :
ÝÝÑ
F H K ÝÑu ôÝÝÑ F H¨ÝÑu “
¨
˝
1`2t´4 3´3t
´3`t`4
˛
‚¨
¨
˝ 2
´3 1
˛
‚“2p2t´3q´3p3´3tq`pt`1q “0ô14t´14“0ôt“1 Donc le projeté orthogonal deF surdestHp3; 0;´2q.
Méthode-exemple 17
C Perpendiculaire commune à deux droites.
Pour déterminer la perpendiculaire commune à deux droites non parallèlesD“DpA;ÝÑuqet D1 “DpB;ÝÑvq.
1. On détermine un vecteur normalÝÑw aux deux droites.
2. On détermine les deux plansP “PpA,ÝÑu ,ÝÑwq etP1 “Ppb,ÝÑv ,ÝÑwqcontenant respec- tivementDetD1.
3. L’intersectionD2“PYP1 est la droite cherchée.
Méthode 18
Autre méthode : SiD“DpA;ÝÑuqetD1 “DpB;ÝÑvqavecAp1; 1; 1q; Bp1; 2; 3q;ÝÑu :
¨
˝ 1 1 0
˛
‚et
enfinÝÑv :
¨
˝ 0 1 1
˛
‚. SoitH PDetH1PD1. Alors il existetet stels que : Hpt`1;t`1; 1q et H1p1;s`2;s`3q La distanceHH12“t2` ps´t`1q2` ps`2q2“fpt;sq
Cette fonction doit être minimale ent ets. On dérive en fonction det. On obtient : Bf
Btpt;sq “2t´2ps´t`1q “4t´2s´2 Cette dérivée s’annule pourt“ s`2
2 . On obtient : gpsq “f
ˆs`2 2 ;s
˙
“ ˆs`2
2
˙2
` ˆ
s´s`2 2 `1
˙2
` ˆs`2
2 `2
˙2
“ 3s2`24s`56 4
Cette fonction est minimale pour s“4 et donct“3 et l’on obtient les pointsHp4; 5; 1qet H1p1; 6; 7qet la distance HH1“?
44 Méthode-exemple 19
