Terminales S1&2 – spécialité mathématiques mercredi 7 octobre 2015
Devoir surveillé n ◦ 1
Durée : 1 heure
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée
Exercice 1. (7 points)
1. Soit a etb deux entiers. Rappeler la définition de « b divisea ».
2. Déterminer l’ensemble des diviseurs dans Z de 36 (on ne demande pas de justification.) 3. a. Montrer la proposition P suivante :
P : « pour tous entiers a, b et c, sia etb divisent calors ab divisec2».
b. Écrire la réciproque P0 et la contraposée P00 de P. c. La proposition P0 est-elle vraie ?
Exercice 2. (3 points) — Soit n un entier naturel.
1. En factorisant n2−1, montrer que si n−1 est divisible par 19 alors n2+ 18 est aussi divisible par 19.
2. Montrer de même que sin+ 1 est divisible par 19 alors n2+ 18 est divisible par 19.
Exercice 3. (5 points) — Résoudre dansN2 l’équation (E) : (x+ 3)2 =y2+ 9 d’inconnue (x;y).
Exercice 4. (5 points) — Soit a etb des entiers tels que 0< b≤a. On note r le reste dans la division euclidienne de a par b.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a etb pour que r= 0.
2. On suppose dans cette question uniquement qu’il existe un entier n ∈ N∗ tel que a = n2+ 3n+ 1 et b=n+ 2. Déterminer r en fonction de n.
3. On suppose à nouveau que a etb sont deux entiers quelconques tels que 0< b≤a.
Démontrer quea >2r.
Exercice 5. (facultatif) — Soit a, b et ctrois entiers. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a,b et cpour que le polynômeP(x) =ax3+bx2+cx+ 1 admette une racine dans Z.
