Devoirsurveillén 1 ◦

Terminales S3&4 – spécialité mathématiques mercredi 5 octobre 2016

Devoir surveillé n ^◦ 1

Durée : 1 heure

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée

Exercice 1. (10 points) — Nota Bene : les questions 2 et 3 sont indépendantes.

1. Questions de cours

a. Soit a et cdeux entiers. Rappeler la définition de « cdivise a ».

b. Soit a, b, c, u etv des entiers. Démontrer que si cdivise a etb alors cdivise ua+vb. 2. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que n+ 5 divise 2n+ 3.

3. Pour tout m ∈ Z, on poseA_m = 4m+ 1 et B_m = 3m+ 2 et on suppose que d_m est un entier naturel qui divise à la fois A_m etB_m.

a. Calculer A₂ et B₂.

Déterminer, sans justification, l’ensemble des diviseurs positifs de A₂ et l’ensemble des diviseurs positifs deB₂ puis en déduire la valeur de d₂.

b. Soit m ∈Z. Démontrer que d_m = 1 ou d_m = 5.

c. On considère la proposition (P) : « pour tout m∈Z, si 5 divise m alors d_m= 1 ».

Montrer que (P) est vraie. (Indication : on pourra considérer un entierm ∈Zdivisible par 5 et montrer que si d_m = 5 alors on aboutit à une absurdité.)

d. Énoncer la réciproque (P’) de (P).

La proposition (P’) est-elle vraie ?

Exercice 2. (6 points) — Dans chaque cas, déterminer le reste r dans la division euclidienne de Apar B.

1. A= 1 789 et B = 14 ; 2. A=−2 017 et B = 11 ;

3. A=n²+ 2n+ 3 et B =n+ 1 où n∈N; 4. A= 5n+ 1 et B = 2n+ 1 oùn ∈N.

Exercice 3. (6 points) — Pour tout n ∈N, on pose

a_n= 4²ⁿ⁺²−1 et b_n= 4²ⁿ⁺²−15n−16.

1. a. Montrer que, pour toutn ∈N, a_n+1 = 16a_n+ 15.

b. Démontrer, par récurrence, que, pour tout n∈N, 15 divise a_n. 2. a. Démontrer que, pour tout n ∈N,b_n+1−b_n= 15a_n.

b. En déduire que, pour tout n ∈N, 225 divise b_n.