Institut Galil´ee 2010-2011 Fili`ere MACS2
Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale I
Feuille de TD 2 : Distributions - Exemples, ordre et support.
Exercice 1
Soit ϕ∈ C0∞(R). Montrer que les expressions suivantes d´efinissent des distributions dont on d´eterminera l’ordre et le support :
Z
R
ϕ(x2) dx, Z
R
ϕ0(x)ex2 dx.
Exercice 2
1. Soit ϕ ∈ C0∞(R). Montrer que l’expression suivante d´efinit une distributionT d’ordre au plus 1 :
Z +∞
0
ϕ0(x) log(x) dx.
2.Soitϕnune fonction plateau valant 1 sur [n1,1] et dont le support est inclus dans [2n1,2].
a. Minorer< T, ϕn>.
b. En d´eduire queT est une distribution d’ordre exacte- ment 1.
3. D´eterminer le support de T.
Exercice 3
Soit I ⊂ R un intervalle ouvert et soit x0 ∈ I. Mon- trer qu’il n’existe pas de fonction f ∈ L1loc(I) telle que Tf =δx0.
Indication : on pourra utiliser le r´esultat de l’exercice 4 de la Feuille 1.
Exercice 4 - Valeur principale de 1x Soitϕ∈C0∞(R).
1. Montrer qu’il existe ψ∈C0∞(R) telle que, pour tout x∈R,ϕ(x) =ϕ(0) +xψ(x).
2. Montrer que la limite lim
ε→0+
Z
|x|>ε
ϕ(x) x dx existe.
3. Montrer que cette expression d´efinit une distribution d’ordre au plus 1, appel´eevaleur principale de 1x et not´ee vp(x1).
4. En consid´erantϕn comme `a l’exercice 2, montrer que vp(x1) est d’ordre exactement 1.
Exercice 5 Soitϕ∈C0∞(R2).
1.Montrer que l’expression suivante d´efinit une distribu- tionT d’ordre au plus 1 :
< T, ϕ >=
Z ∞
0
ϕ(1/t2,sint)−ϕ(0,sint) dt.
2.Calculer le support deT.
Exercice 6 - Distribution d’ordre infini Soitϕ∈C0∞(R). Montrer que l’expression
< T, ϕ >=
∞
X
p=0
ϕ(p)(p)
d´efinit une distribution surR, d’ordre infini.
Exercice 7 - Partie finie de xα Soientϕ∈C0∞(R) et ε >0.
1.Pour α∈]−2,−1[, montrer que : Z ∞
ε
xαϕ(x) dx=Aϕεα+1+Rε
o`u Aϕ ∈ Rne d´epend pas deε et o`u Rε tend vers une limite lorsqueεtend vers 0+.
2. On pose : < pf(xα), ϕ >= limε→0+Rε. Montrer que pf(xα) est une distribution d’ordre au plus 1.
Exercice 8
SoitT une distribution surRnetf une fonction de classe C∞sur Rn, `a valeurs dansR.
1. Montrer que, si f T = 0, alors le support de T est inclus dans l’ensembleZ(f) ={x∈Rn, f(x) = 0}.
2. On suppose de plus que T est d’ordre 0. Montrer qu’alors la r´eciproque est vraie : si le support de T est inclus dans l’ensembleZ(f) ={x∈Rn, f(x) = 0} alors f T = 0.
3. En prenant T = δ0, montrer que la r´eciproque est fausse en g´en´eral siT n’est pas d’ordre 0.
4. Caract´eriser les fonctionsf de classeC∞ surRtelles quef δ0= 0.
1
Exercice 9
SoitT une distribution surRtelle que suppT ={0}.
1.Justifier queT est d’ordre fini. On noteramson ordre dans la suite.
2. Soitϕ∈C0∞(R) telle queϕ(x) =o(xm) au voisinage de 0. Soit ρ une fonction plateau valant 1 au voisinage de 0 et 0 hors de ]−1,1[. On note, pour r >0 etx∈R, ρr(x) =ρ(x/r).
a. Montrer que, sil≤m, alors
r→0lim sup
|x|≤r
|(ρrϕ)(l)(x)|= 0.
b. En d´eduire que< T, ϕ >= 0.
3.Soitϕ∈C0∞(R). Montrer queϕs’´ecrit,
∀x∈R, ϕ(x) =
m
X
k=0
ϕ(k)(0)
k! xk+ψ(x),
o`u ψ est une fonction de classe C∞ v´erifiant ψ(x) = o(xm) au voisinage de 0.
4. En d´eduire l’existence de nombres complexes a0, . . . , amtels que, pour touteϕ∈C0∞(R),
< T, ϕ >=
m
X
k=0
akϕ(k)(0), soit encore,
T =
m
X
k=0
akδ(k)0 .
2
