Ecole Sup Galil´´ ee 2011-2012 Fili`ere MACS2
Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale
Feuille de TD 2 : Distributions - Exemples, ordre et support.
Exercice 1
Soit ϕ∈ C0∞(R). Montrer que les expressions suivantes d´efinissent des distributions dont on d´eterminera l’ordre et le support :
Z
R
ϕ(x2) dx, Z
R
ϕ0(x)ex2 dx.
Exercice 2
1. Soit ϕ ∈ C0∞(R). Montrer que l’expression suivante d´efinit une distributionT d’ordre au plus 1 :
Z +∞
0
ϕ0(x) log(x) dx.
2.Soitϕnune fonction plateau valant 1 sur [n1,1] et dont le support est inclus dans [2n1,2].
a. Minorer< T, ϕn>.
b. En d´eduire queT est une distribution d’ordre exacte- ment 1.
3. D´eterminer le support de T.
Exercice 3 Soitϕ∈C0∞(R).
1. Montrer qu’il existe ψ∈C0∞(R) telle que, pour tout x∈R,ϕ(x) =ϕ(0) +xψ(x).
2. Montrer que les limites lim
ε→0+Re Z
R
ϕ(x) x−iε dx
et lim
ε→0+Im Z
R
ϕ(x) x−iεdx
existent.
3. En d´eduire que l’expression
< T, ϕ >= lim
ε→0+
Z
R
ϕ(x) x−iε dx
d´efinit une distribution T dont on identifiera la partie r´eelle et la partie imaginaire. Donner l’ordre deT. Exercice 4
Soitϕ∈C0∞(R2).
1.Montrer que l’expression suivante d´efinit une distribu- tionT d’ordre au plus 1 :
< T, ϕ >=
Z ∞
0
ϕ(1/t2,sint)−ϕ(0,sint) dt.
2. Calculer le support deT.
Exercice 5
Soit I ⊂ R un intervalle ouvert et soit x0 ∈ I. Mon- trer qu’il n’existe pas de fonction f ∈ L1loc(I) telle que Tf =δx0.
Indication : on pourra utiliser le r´esultat de l’exercice 6 de la Feuille 1.
Exercice 6 - Distribution d’ordre infini Soitϕ∈C0∞(R). Montrer que l’expression
< T, ϕ >=
∞
X
p=0
ϕ(p)(p)
d´efinit une distribution surR, d’ordre infini.
Exercice 7 - Distributions `a support nul SoitT une distribution surRtelle que suppT ={0}.
1.Justifier queT est d’ordre fini. On noteramson ordre dans la suite.
2. Soitϕ∈C0∞(R) telle queϕ(x) =o(xm) au voisinage de 0. Soit ρ une fonction plateau valant 1 au voisinage de 0 et 0 hors de ]−1,1[. On note, pourr >0 etx∈R, ρr(x) =ρ(x/r).
a.Montrer que, sil≤m, alors
r→0lim sup
|x|≤r
|(ρrϕ)(l)(x)|= 0.
b.En d´eduire que< T, ϕ >= 0.
3.Soitϕ∈C0∞(R). Montrer queϕs’´ecrit,
∀x∈R, ϕ(x) =
m
X
k=0
ϕ(k)(0)
k! xk+ψ(x),
o`u ψ est une fonction de classe C∞ v´erifiant ψ(x) = o(xm) au voisinage de 0.
4. En d´eduire l’existence de nombres complexes a0, . . . , amtels que, pour touteϕ∈C0∞(R),
< T, ϕ >=
m
X
k=0
akϕ(k)(0), soit encore,T=
m
X
k=0
akδ0(k).
1
