Langages formels et analyse syntaxique CM2 : Les grammaires hors-contexte et leurs transformations

Langages formels et analyse syntaxique

CM2 : Les grammaires hors-contexte et leurs transformations

Timothée Bernard 25 septembre 2020

Université de Paris

Grammaires hors-contexte

(« algébriques », « CFG »)

À lire

• Chapitre 6 du polycopié d’Yvon et Demaille (2016).

À lire

• Chapitre 6 du polycopié d’Yvon et Demaille (2016).

1

Grammaire hors-contexte (oualgébrique; type 2)

• N: symboles non-terminaux.

• Σ: symboles terminaux (alphabet/vocabulaire).

• P: règles de réécriture∈N×(N∪Σ)^⋆.

• S: symbole initial/axiome∈N.

Exemple

• N:{S}.

• Σ:{a,b}.

• P:{S→aSb, S→ϵ}.

• axiome :S L={aⁿbⁿ|n∈N}

Grammaire hors-contexte (oualgébrique; type 2)

• N: symboles non-terminaux.

• Σ: symboles terminaux (alphabet/vocabulaire).

• P: règles de réécriture∈N×(N∪Σ)^⋆.

• S: symbole initial/axiome∈N.

Exemple

• N:{S}.

• Σ:{a,b}.

• P:{S→aSb, S→ϵ}.

• axiome :S L={aⁿbⁿ|n∈N}

2

Exemple

• N:{Int}.

• Σ:{0,1, ...,9,+,−}.

• P:Int→Int+Int|Int−Int|0|1|...|9.

• axiome :Int

Int Int

9 + Int

Int 4 - Int

2

Int Int

Int 9 + Int

4 - Int

2

Figure 1 –Deux arbres de dérivations pour « 2 - 4 + 9 ».

Exemple

• N:{Int}.

• Σ:{0,1, ...,9,+,−}.

• P:Int→Int+Int|Int−Int|0|1|...|9.

• axiome :Int

Int Int

9 + Int

Int 4 - Int

2

Int Int

Int 9 + Int

4 - Int

2

Figure 1 –Deux arbres de dérivations pour « 2 - 4 + 9 ».

3

Exemple

• N:{Int}.

• Σ:{0,1, ...,9,+,−}.

• P:Int→Int+Int|Int−Int|0|1|...|9.

• axiome :Int

Int Int

9 + Int

Int 4 - Int

2

Int Int

Int 9 + Int

4 - Int

2

Figure 1 –Deux arbres de dérivations pour « 2 - 4 + 9 ».

Exemple

• N:{Int}.

• Σ:{0,1, ...,9,+,−}.

• P:Int→Int+Int|Int−Int|0|1|...|9.

• axiome :Int

Int Int

9 + Int

Int 4 - Int

2

Int Int

Int 9 + Int

4 - Int

2

Figure 1 –Deux arbres de dérivations pour « 2 - 4 + 9 ».

3

Exemple

• N:{Int}.

• Σ:{0,1, ...,9,+,−}.

• P:Int→Int+Int|Int−Int|0|1|...|9.

• axiome :Int

Int Int

9 + Int

Int 4 - Int

2

Int Int

Int 9 + Int

4 - Int

2

Figure 1 –Deux arbres de dérivations pour « 2 - 4 + 9 ».

Exemple

• N:{Int}.

• Σ:{0,1, ...,9,+,−}.

• P:Int→Int+Int|Int−Int|0|1|...|9.

• axiome :Int

Int Int

9 + Int

Int 4 - Int

2

Int Int

Int 9 + Int

4 - Int

2

Figure 1 –Deux arbres de dérivations pour « 2 - 4 + 9 ».

3

• Deux grammaires sont faiblement équivalentes si elles génèrent le même langage (mais pas forcément les mêmes arbres de dérivations).

Lemme de pompage (hors-contexte)

SiLest un langage CF, alors il existe un entierktel que tout mot de Lde longueur supérieure àkse décompose en cinq facteurs u,v,w,x,y, avecvx̸=ϵ,|vwx|<ket tels que pour toutn∈N, uvⁿwxⁿyest également dansL.

Soit le langage est fini, soit on peut faire des « boucles ».

• Il existe unA∈Ntel queS→^∗ uAy,

• A→^∗ vAx(avecv̸=ϵoux̸=ϵ),

• etA→^∗ w.

5

Lemme de pompage (hors-contexte)

SiLest un langage CF, alors il existe un entierktel que tout mot de Lde longueur supérieure àkse décompose en cinq facteurs u,v,w,x,y, avecvx̸=ϵ,|vwx|<ket tels que pour toutn∈N, uvⁿwxⁿyest également dansL.

Soit le langage est fini, soit on peut faire des « boucles ».

• Il existe unA∈Ntel queS→^∗ uAy,

• A→^∗ vAx(avecv̸=ϵoux̸=ϵ),

• etA→^∗ w.

Lemme de pompage (hors-contexte)

SiLest un langage CF, alors il existe un entierktel que tout mot de Lde longueur supérieure àkse décompose en cinq facteurs u,v,w,x,y, avecvx̸=ϵ,|vwx|<ket tels que pour toutn∈N, uvⁿwxⁿyest également dansL.

Soit le langage est fini, soit on peut faire des « boucles ».

• Il existe unA∈Ntel queS→^∗ uAy,

• A→^∗ vAx(avecv̸=ϵoux̸=ϵ),

• etA→^∗ w.

5

Lemme de pompage (hors-contexte)

SiLest un langage CF, alors il existe un entierktel que tout mot de Lde longueur supérieure àkse décompose en cinq facteurs u,v,w,x,y, avecvx̸=ϵ,|vwx|<ket tels que pour toutn∈N, uvⁿwxⁿyest également dansL.

Soit le langage est fini, soit on peut faire des « boucles ».

• Il existe unA∈Ntel queS→^∗ uAy,

• A→^∗ vAx(avecv̸=ϵoux̸=ϵ),

• etA→^∗ w.

Lemme de pompage (hors-contexte)

SiLest un langage CF, alors il existe un entierktel que tout mot de Lde longueur supérieure àkse décompose en cinq facteurs u,v,w,x,y, avecvx̸=ϵ,|vwx|<ket tels que pour toutn∈N, uvⁿwxⁿyest également dansL.

Soit le langage est fini, soit on peut faire des « boucles ».

• Il existe unA∈Ntel queS→^∗ uAy,

• A→^∗ vAx(avecv̸=ϵoux̸=ϵ),

• etA→^∗ w.

5

Propriétés de clôture

SiL₁etL₂sont deux langages CF :

• L1∪L2est aussi un langage CF ;

• L₁L₂est aussi un langage CF ;

• L₁^∗est aussi un langage CF ;

• L₁∩L₂n’est pas toujoursun langage CF. SiL1est CF etL2est régulier :

• L₁∩L₂est un langage CF.

Propriétés de clôture

SiL₁etL₂sont deux langages CF :

• L1∪L2est aussi un langage CF ;

• L₁L₂est aussi un langage CF ;

• L₁^∗est aussi un langage CF ;

• L₁∩L₂n’est pas toujoursun langage CF. SiL1est CF etL2est régulier :

• L₁∩L₂est un langage CF.

6

Propriétés de clôture

SiL₁etL₂sont deux langages CF :

• L1∪L2est aussi un langage CF ;

• L₁L₂est aussi un langage CF ;

• L₁^∗est aussi un langage CF ;

• L₁∩L₂n’est pas toujoursun langage CF. SiL1est CF etL2est régulier :

• L₁∩L₂est un langage CF.

Propriétés de clôture

SiL₁etL₂sont deux langages CF :

• L1∪L2est aussi un langage CF ;

• L₁L₂est aussi un langage CF ;

• L₁^∗est aussi un langage CF ;

• L₁∩L₂n’est pas toujoursun langage CF. SiL1est CF etL2est régulier :

• L₁∩L₂est un langage CF.

6

Propriétés de clôture

SiL₁etL₂sont deux langages CF :

• L1∪L2est aussi un langage CF ;

• L₁L₂est aussi un langage CF ;

• L₁^∗est aussi un langage CF ;

• L₁∩L₂n’est pas toujoursun langage CF.

SiL1est CF etL2est régulier :

• L₁∩L₂est un langage CF.

Propriétés de clôture

SiL₁etL₂sont deux langages CF :

• L1∪L2est aussi un langage CF ;

• L₁L₂est aussi un langage CF ;

• L₁^∗est aussi un langage CF ;

• L₁∩L₂n’est pas toujoursun langage CF.

SiL1est CF etL2est régulier :

• L₁∩L₂est un langage CF.

6

Propriétés de clôture

SiL₁etL₂sont deux langages CF :

• L1∪L2est aussi un langage CF ;

• L₁L₂est aussi un langage CF ;

• L₁^∗est aussi un langage CF ;

• L₁∩L₂n’est pas toujoursun langage CF.

SiL1est CF etL2est régulier :

• L₁∩L₂est un langage CF.

• Dans le polycopié, vous pouvez ignorer :

• la section 6.1.2Une grammaire pour le shell;

• la section 6.3.3Problèmes décidables et indécidables.

• Mais vous devez lire tout le reste...

7

• Dans le polycopié, vous pouvez ignorer :

• la section 6.1.2Une grammaire pour le shell;

• la section 6.3.3Problèmes décidables et indécidables.

• Mais vous devez lire tout le reste...

• Dans le polycopié, vous pouvez ignorer :

• la section 6.1.2Une grammaire pour le shell;

• la section 6.3.3Problèmes décidables et indécidables.

• Mais vous devez lire tout le reste...

7

• Dans le polycopié, vous pouvez ignorer :

• la section 6.1.2Une grammaire pour le shell;

• la section 6.3.3Problèmes décidables et indécidables.

• Mais vous devez lire tout le reste...

Normalisation des grammaires CF

À lire

• Chapitre 9 du polycopié d’Yvon et Demaille (2016).

À lire

• Chapitre 9 du polycopié d’Yvon et Demaille (2016).

8

• Nous allons étudier des algorithmes de transformation de grammaire.

• Ils n’affectent pas le langage généré, mais rendent la grammaire plus facile à manipuler pour les algorithmes d’analyses

syntaxiques que nous verrons bientôt (ainsi que pour obtenir certains résultats théoriques).

• Nous allons étudier des algorithmes de transformation de grammaire.

• Ils n’affectent pas le langage généré, mais rendent la grammaire plus facile à manipuler pour les algorithmes d’analyses

syntaxiques que nous verrons bientôt (ainsi que pour obtenir certains résultats théoriques).

9

Suppression des symboles inutiles

• Règle (« production ») utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir cette règle.

• Non-terminal utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir ce symbole.

• Un non-terminal utile est la partie gauche d’une règle utile.

• On peut supprimer les productions et symboles inutiles sans affecter le langage généré.

• Algorithme en deux temps :

1. On supprime les symboles non-productifs. 2. On supprime les symboles non-dérivables.

Suppression des symboles inutiles

• Règle (« production ») utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir cette règle.

• Non-terminal utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir ce symbole.

• Un non-terminal utile est la partie gauche d’une règle utile.

• On peut supprimer les productions et symboles inutiles sans affecter le langage généré.

• Algorithme en deux temps :

1. On supprime les symboles non-productifs. 2. On supprime les symboles non-dérivables.

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Suppression des symboles inutiles

• Règle (« production ») utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir cette règle.

• Non-terminal utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir ce symbole.

• Un non-terminal utile est la partie gauche d’une règle utile.

• On peut supprimer les productions et symboles inutiles sans affecter le langage généré.

• Algorithme en deux temps :

1. On supprime les symboles non-productifs. 2. On supprime les symboles non-dérivables.

Suppression des symboles inutiles

• Règle (« production ») utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir cette règle.

• Non-terminal utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir ce symbole.

• Un non-terminal utile est la partie gauche d’une règle utile.

• On peut supprimer les productions et symboles inutiles sans affecter le langage généré.

• Algorithme en deux temps :

1. On supprime les symboles non-productifs. 2. On supprime les symboles non-dérivables.

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Suppression des symboles inutiles

• Règle (« production ») utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir cette règle.

• Non-terminal utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir ce symbole.

• Un non-terminal utile est la partie gauche d’une règle utile.

• On peut supprimer les productions et symboles inutiles sans affecter le langage généré.

• Algorithme en deux temps :

1. On supprime les symboles non-productifs. 2. On supprime les symboles non-dérivables.

Suppression des symboles inutiles

• Règle (« production ») utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir cette règle.

• Non-terminal utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir ce symbole.

• Un non-terminal utile est la partie gauche d’une règle utile.

• On peut supprimer les productions et symboles inutiles sans affecter le langage généré.

• Algorithme en deux temps :

1. On supprime les symboles non-productifs.

2. On supprime les symboles non-dérivables.

10

Suppression des symboles inutiles

• Règle (« production ») utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir cette règle.

• Non-terminal utile : on peut dériver un mot en faisant intervenir ce symbole.

• Un non-terminal utile est la partie gauche d’une règle utile.

• On peut supprimer les productions et symboles inutiles sans affecter le langage généré.

• Algorithme en deux temps :

1. On supprime les symboles non-productifs.

2. On supprime les symboles non-dérivables.

• Pour détecter les symboles non-productifs (qui ne se réécrivent pas, où à partir desquels on ne peut pas dériver de suites de terminaux seulement – il reste toujours au moins un

non-terminal) :

• en pratique on vous demande simplement de regarder la grammaire et d’indiquer pour chaque symbole s’il est productif (avec un exemple de suite de terminaux engendrée) ou non.

• Pour déterminer l’ensembleNUdes non-terminaux atteignables : N_U=[S]

i=0

tant quei<len(N_U) : X=NU[i]

pour tout(X→α)∈P:

pour toutY∈Napparaissant dansα: siY∈/ NU:NU.append(Y)

i+ =1

11

• Pour détecter les symboles non-productifs (qui ne se réécrivent pas, où à partir desquels on ne peut pas dériver de suites de terminaux seulement – il reste toujours au moins un

non-terminal) :

• en pratique on vous demande simplement de regarder la grammaire et d’indiquer pour chaque symbole s’il est productif (avec un exemple de suite de terminaux engendrée) ou non.

• Pour déterminer l’ensembleNUdes non-terminaux atteignables : N_U=[S]

i=0

tant quei<len(N_U) : X=NU[i]

pour tout(X→α)∈P:

pour toutY∈Napparaissant dansα: siY∈/ NU:NU.append(Y)

i+ =1

• Pour détecter les symboles non-productifs (qui ne se réécrivent pas, où à partir desquels on ne peut pas dériver de suites de terminaux seulement – il reste toujours au moins un

non-terminal) :

• en pratique on vous demande simplement de regarder la grammaire et d’indiquer pour chaque symbole s’il est productif (avec un exemple de suite de terminaux engendrée) ou non.

• Pour déterminer l’ensembleNUdes non-terminaux atteignables :

N_U=[S] i=0

tant quei<len(N_U) : X=NU[i]

pour tout(X→α)∈P:

pour toutY∈Napparaissant dansα: siY∈/ NU:NU.append(Y)

i+ =1

11

• Pour détecter les symboles non-productifs (qui ne se réécrivent pas, où à partir desquels on ne peut pas dériver de suites de terminaux seulement – il reste toujours au moins un

non-terminal) :

• en pratique on vous demande simplement de regarder la grammaire et d’indiquer pour chaque symbole s’il est productif (avec un exemple de suite de terminaux engendrée) ou non.

• Pour déterminer l’ensembleNUdes non-terminaux atteignables : N_U=[S]

i=0

tant quei<len(N_U) : X=N_U[i]

pour tout(X→α)∈P:

pour toutY∈Napparaissant dansα:

Suppression des règles singulières

• Règle singulière (« non générative ») :A→BoùB∈N.

• Algorithme en deux temps :

1. Pour toutA∈N, on calculeCA={X∈N|A→^∗ X}. 2. On « court-circuite » les règles singulières.

12

Suppression des règles singulières

• Règle singulière (« non générative ») :A→BoùB∈N.

• Algorithme en deux temps :

1. Pour toutA∈N, on calculeCA={X∈N|A→^∗ X}. 2. On « court-circuite » les règles singulières.

Suppression des règles singulières

• Règle singulière (« non générative ») :A→BoùB∈N.

• Algorithme en deux temps :

1. Pour toutA∈N, on calculeCA={X∈N|A→^∗ X}.

2. On « court-circuite » les règles singulières.

12

Suppression des règles singulières

• Règle singulière (« non générative ») :A→BoùB∈N.

• Algorithme en deux temps :

1. Pour toutA∈N, on calculeCA={X∈N|A→^∗ X}.

2. On « court-circuite » les règles singulières.

• Pour calculerCA={X∈N|A→^∗ X}:

(en supposant qu’il n’y a pas d’ϵ-transition)

initialiserC_X={X}pour toutX∈N pour toutX∈N:

pour tout(X→A)∈PoùA∈N: CX=CX∪CA

pour toutY∈Ntel queX∈CY: C_Y=C_Y∪C_A

• Pour « court-circuiter » les règles singulières : P^′={}

pour tout(X→α)∈Poùα /∈N: pour toutAtel queX∈C_A:

P^′ =P^′+ (A→α)

13

• Pour calculerCA={X∈N|A→^∗ X}:

(en supposant qu’il n’y a pas d’ϵ-transition) initialiserC_X={X}pour toutX∈N

pour toutX∈N:

pour tout(X→A)∈PoùA∈N: CX=CX∪CA

pour toutY∈Ntel queX∈CY: C_Y=C_Y∪C_A

• Pour « court-circuiter » les règles singulières : P^′={}

pour tout(X→α)∈Poùα /∈N: pour toutAtel queX∈C_A:

P^′ =P^′+ (A→α)

• Pour calculerCA={X∈N|A→^∗ X}:

(en supposant qu’il n’y a pas d’ϵ-transition) initialiserC_X={X}pour toutX∈N

pour toutX∈N:

pour tout(X→A)∈PoùA∈N: CX=CX∪CA

pour toutY∈Ntel queX∈CY: C_Y=C_Y∪C_A

• Pour « court-circuiter » les règles singulières :

P^′={}

pour tout(X→α)∈Poùα /∈N: pour toutAtel queX∈C_A:

P^′ =P^′+ (A→α)

13

• Pour calculerCA={X∈N|A→^∗ X}:

(en supposant qu’il n’y a pas d’ϵ-transition) initialiserC_X={X}pour toutX∈N

pour toutX∈N:

pour tout(X→A)∈PoùA∈N: CX=CX∪CA

pour toutY∈Ntel queX∈CY: C_Y=C_Y∪C_A

• Pour « court-circuiter » les règles singulières : P^′={}

pour tout(X→α)∈Poùα /∈N: pour toutAtel queX∈C_A:

′ ′

Suppression des ϵ-transition

• ϵ-transition :A→ϵ.

• On peut transformer la grammaire de telle manière que l’on ait un axiome qui n’apparaît dans la partie droite d’aucune règle et telle qu’il n’y ait pas d’ϵ-transition excepté pour l’axiome.

• Pour avoir un axiome qui n’apparaît dans aucune partie droite :

• On ajoute un nouveau non-terminalS^′, défini comme axiome, ainsi que la règleS^′→S.

• Pour supprimer lesϵ-transitions :

• On calculeNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}.

• Pour toute règleA→α∈P, on ajoute aussi toutes les règles A→α^′oùα^′est obtenu en supprimant deαun ou plusieurs symboles deNϵ.

• Enfin, si la grammaire originale produisait le mot vide, on ajoute la règleS^′→ϵ.

14

Suppression des ϵ-transition

• ϵ-transition :A→ϵ.

• On peut transformer la grammaire de telle manière que l’on ait un axiome qui n’apparaît dans la partie droite d’aucune règle et telle qu’il n’y ait pas d’ϵ-transition excepté pour l’axiome.

• Pour avoir un axiome qui n’apparaît dans aucune partie droite :

• On ajoute un nouveau non-terminalS^′, défini comme axiome, ainsi que la règleS^′→S.

• Pour supprimer lesϵ-transitions :

• On calculeNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}.

• Pour toute règleA→α∈P, on ajoute aussi toutes les règles A→α^′oùα^′est obtenu en supprimant deαun ou plusieurs symboles deNϵ.

• Enfin, si la grammaire originale produisait le mot vide, on ajoute la règleS^′→ϵ.

Suppression des ϵ-transition

• ϵ-transition :A→ϵ.

• On peut transformer la grammaire de telle manière que l’on ait un axiome qui n’apparaît dans la partie droite d’aucune règle et telle qu’il n’y ait pas d’ϵ-transition excepté pour l’axiome.

• Pour avoir un axiome qui n’apparaît dans aucune partie droite :

• On ajoute un nouveau non-terminalS^′, défini comme axiome, ainsi que la règleS^′→S.

• Pour supprimer lesϵ-transitions :

• On calculeNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}.

• Pour toute règleA→α∈P, on ajoute aussi toutes les règles A→α^′oùα^′est obtenu en supprimant deαun ou plusieurs symboles deNϵ.

• Enfin, si la grammaire originale produisait le mot vide, on ajoute la règleS^′→ϵ.

14

Suppression des ϵ-transition

• ϵ-transition :A→ϵ.

• On peut transformer la grammaire de telle manière que l’on ait un axiome qui n’apparaît dans la partie droite d’aucune règle et telle qu’il n’y ait pas d’ϵ-transition excepté pour l’axiome.

• Pour avoir un axiome qui n’apparaît dans aucune partie droite :

• On ajoute un nouveau non-terminalS^′, défini comme axiome, ainsi que la règleS^′→S.

• Pour supprimer lesϵ-transitions :

• On calculeNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}.

• Pour toute règleA→α∈P, on ajoute aussi toutes les règles A→α^′oùα^′est obtenu en supprimant deαun ou plusieurs symboles deNϵ.

• Enfin, si la grammaire originale produisait le mot vide, on ajoute la règleS^′→ϵ.

Suppression des ϵ-transition

• ϵ-transition :A→ϵ.

• On peut transformer la grammaire de telle manière que l’on ait un axiome qui n’apparaît dans la partie droite d’aucune règle et telle qu’il n’y ait pas d’ϵ-transition excepté pour l’axiome.

• Pour avoir un axiome qui n’apparaît dans aucune partie droite :

• On ajoute un nouveau non-terminalS^′, défini comme axiome, ainsi que la règleS^′→S.

• Pour supprimer lesϵ-transitions :

• On calculeNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}.

• Pour toute règleA→α∈P, on ajoute aussi toutes les règles A→α^′oùα^′est obtenu en supprimant deαun ou plusieurs symboles deNϵ.

• Enfin, si la grammaire originale produisait le mot vide, on ajoute la règleS^′→ϵ.

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Suppression des ϵ-transition

• ϵ-transition :A→ϵ.

• On peut transformer la grammaire de telle manière que l’on ait un axiome qui n’apparaît dans la partie droite d’aucune règle et telle qu’il n’y ait pas d’ϵ-transition excepté pour l’axiome.

• Pour avoir un axiome qui n’apparaît dans aucune partie droite :

• On ajoute un nouveau non-terminalS^′, défini comme axiome, ainsi que la règleS^′→S.

• Pour supprimer lesϵ-transitions :

• On calculeNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}.

• Pour toute règleA→α∈P, on ajoute aussi toutes les règles A→α^′oùα^′est obtenu en supprimant deαun ou plusieurs symboles deNϵ.

• Enfin, si la grammaire originale produisait le mot vide, on ajoute la règleS^′→ϵ.

Suppression des ϵ-transition

• ϵ-transition :A→ϵ.

• On peut transformer la grammaire de telle manière que l’on ait un axiome qui n’apparaît dans la partie droite d’aucune règle et telle qu’il n’y ait pas d’ϵ-transition excepté pour l’axiome.

• Pour avoir un axiome qui n’apparaît dans aucune partie droite :

• On ajoute un nouveau non-terminalS^′, défini comme axiome, ainsi que la règleS^′→S.

• Pour supprimer lesϵ-transitions :

• On calculeNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}.

• Pour toute règleA→α∈P, on ajoute aussi toutes les règles A→α^′oùα^′est obtenu en supprimant deαun ou plusieurs symboles deNϵ.

• Enfin, si la grammaire originale produisait le mot vide, on ajoute la règleS^′→ϵ.

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Suppression des ϵ-transition

• ϵ-transition :A→ϵ.

• On peut transformer la grammaire de telle manière que l’on ait un axiome qui n’apparaît dans la partie droite d’aucune règle et telle qu’il n’y ait pas d’ϵ-transition excepté pour l’axiome.

• Pour avoir un axiome qui n’apparaît dans aucune partie droite :

• On ajoute un nouveau non-terminalS^′, défini comme axiome, ainsi que la règleS^′→S.

• Pour supprimer lesϵ-transitions :

• On calculeNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}.

• Pour toute règleA→α∈P, on ajoute aussi toutes les règles A→α^′oùα^′est obtenu en supprimant deαun ou plusieurs symboles deN .

• Pour calculerNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}:

Nϵ={}

continue = True while continue :

continue = False

pour tout(X→α)∈PetX∈/ Nϵ:

si tous les symboles deαsont dansNϵ:// notamment siα=ϵ

Nϵ=Nϵ+X continue = True

15

• Pour calculerNϵ={X∈N|X→^∗ ϵ}: Nϵ={}

continue = True while continue :

continue = False

pour tout(X→α)∈PetX∈/ Nϵ:

si tous les symboles deαsont dansNϵ:// notamment siα=ϵ

Nϵ=Nϵ+X continue = True

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

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Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

16

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

16

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

16

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

• A→aBCd// suppression du second B et du E

• A→aCd// suppression des deux B et du E

16

Suppression dans les règles des symboles deNϵ

Pour

• A→aBCBdE;

• Nϵ={B,E}.

Les règles obtenues sont :

• A→aBCBdE// pas de suppression

• A→aCBdE// suppression du premier B

• A→aBCdE// suppression du second B

• A→aCdE// suppression des deux B

• A→aBCBd// suppression du E

• A→aCBd// suppression du premier B et du E

Grammaire propre

• Grammaire propre :

• grammaire sansϵ-transition,

• sans cycle (A→...→A),

• sans symbole inutile.

• Processus en trois étapes : 1. Suppression desϵ-transition ;

2. suppression des productions singulières ; 3. suppression des symboles inutiles.

17

Grammaire propre

• Grammaire propre :

• grammaire sansϵ-transition,

• sans cycle (A→...→A),

• sans symbole inutile.

• Processus en trois étapes : 1. Suppression desϵ-transition ;

2. suppression des productions singulières ; 3. suppression des symboles inutiles.

Grammaire propre

• Grammaire propre :

• grammaire sansϵ-transition,

• sans cycle (A→...→A),

• sans symbole inutile.

• Processus en trois étapes :

1. Suppression desϵ-transition ;

2. suppression des productions singulières ; 3. suppression des symboles inutiles.

17

Grammaire propre

• Grammaire propre :

• grammaire sansϵ-transition,

• sans cycle (A→...→A),

• sans symbole inutile.

• Processus en trois étapes : 1. Suppression desϵ-transition ;

2. suppression des productions singulières ; 3. suppression des symboles inutiles.

Grammaire propre

• Grammaire propre :

• grammaire sansϵ-transition,

• sans cycle (A→...→A),

• sans symbole inutile.

• Processus en trois étapes : 1. Suppression desϵ-transition ;

2. suppression des productions singulières ;

3. suppression des symboles inutiles.

17

Grammaire propre

• Grammaire propre :

• grammaire sansϵ-transition,

• sans cycle (A→...→A),

• sans symbole inutile.

• Processus en trois étapes : 1. Suppression desϵ-transition ;

2. suppression des productions singulières ; 3. suppression des symboles inutiles.

• Dans le polycopié, arrêtez-vous en arrivant à la section 9.2, Formes normales

• Vous pouvez ignorer :

• la section 9.1.5,Élimination des récursions gauches directes.

18

• Dans le polycopié, arrêtez-vous en arrivant à la section 9.2, Formes normales

• Vous pouvez ignorer :

• la section 9.1.5,Élimination des récursions gauches directes.

• Dans le polycopié, arrêtez-vous en arrivant à la section 9.2, Formes normales

• Vous pouvez ignorer :

• la section 9.1.5,Élimination des récursions gauches directes.

18

Références i

Références

Yvon, François et Akim Demaille (2016). « Théories des langages ».

notes de cours. url :

https://www.lrde.epita.fr/~akim/thl/lecture- notes/theorie-des-langages-2.pdf.