Théorie des Langages Formels Chapitre 7 : Grammaires

Théorie des Langages Formels Chapitre 7 : Grammaires

Florence Levé

Florence.Leve@u-picardie.fr

Année 2014-2015

Reconnaître ou engendrer

Un automate peut être vu comme une machine permettant de reconnaître des mots. On “entre” un mot dans la machine, et en résultat, on a comme réponse “le mot appartient au langage” ou “le mot n’appartient pas au langage”.

Avec une grammaire, on s’intéresse plus à la structure des mots du langage pour expliquer comment ils se fabriquent.

Une fois qu’on a les “règles de fabrication” (appelées "règles de production"), on peut engendrer tel ou tel mot.

Exemple : Phrase = Sujet + Verbe Sujet = "L’étudiant" | "Le professeur"

Verbe = "écoute" | "enseigne"

Récursivité

Les langages peuvent contenir un nombre infini de mots, de phrases. . . qui peuvent être exprimés par un nombre fini de productions.

Pour cela, on utilise la répétition des éléments contenus dans les règles de production de la grammaire : on construit les éléments récursivement.

Exemple :

nombre = chiffre | chiffre nombre

chiffre = "0" | "1" | "2" |"3" | "4" | "5" | "6" | "7" | "8" |

"9"

Grammaire algébrique

Une grammaire algébrique s’appelle aussi grammaire hors contexte ou non contextuelle (en anglais, context-free grammar).

Une grammaire algébrique est un quadruplet G = (Σ, N , P , S ) où :

I

Σ est un alphabet, dit alphabet des terminaux ;

I

N est un alphabet, dit alphabet des non-terminaux ou des variables, tel que N ∩ Σ = ∅ ;

I

P est une partie finie de N × (Σ ∪ N)

Chaque élément de P est appelé une règle de production ;

I

S est un élément de N appelé axiome de G (symbole initial).

Tous les mots de la grammaire peuvent être obtenus en appliquant des règles de production successivement à partir de l’axiome.

Remarques : en général, les lettres terminales sont notées par des

lettres minuscules ou des lettres grecques, et les lettres non

terminales sont notées par des lettres majuscules.

Exemple : les mots bien parenthésés

Décrivons le langage des mots bien parenthésés en ne nous occupant que des parenthèses (le langage de Dyck).

Un mot bien parenthésé est :

un mot sans parenthèse (le mot vide ε puisqu’on ne considère que le langage des parenthèses),

la concaténation de deux mots bien parenthésés : ( ) ( ), une parenthèse ouvrante, un mot bien parenthésé, une parenthèse fermante : ( ( ) ).

Si S représente une expression bien parenthésée, ces trois règles peuvent s’écrire : S → ε, S → SS et S → (S ).

Les lettres terminales sont ( et ) et S est une lettre non terminale,

qui est également l’axiome de la grammaire.

Exemple

Remarques.

Plutôt que de noter (X , u) une règle de production, on note usuellement X → u .

Quand il existe plusieurs règles de production (X , u

), (X , u

), . . . , (X , u

), on note usuellement X → u

| u

| . . . | u

(le symbole | signifiant “ou” dans ce contexte).

La grammaire des mots bien parenthésés peut donc se noter : G

= ({(, )}, {S}, {(S , ε), (S, SS), (S , (S ))}, S )

ou encore :

G

= ({(, )}, {S}, {S → ε | SS | (S)}, S ).

Cette grammaire peut aussi s’écrire :

G

= ({(, )}, {S}, {S → ε | (S)S }, S ).

Mots dérivés directement

Mot dérivé directement. Soient u et v deux mots sur Σ ∪ N . Le mot v se dérive directement de u par la grammaire

algébrique G = (Σ, N, P, S) s’il existe des mots u

et u

et une règle de production X → w tels que u = u

Xu

et v = u

wu

. Exemple :

I

Les mots ε, (S) et SS sont les seuls mots qui se dérivent

directement de S par la grammaire G

.

Mots dérivés

Mot dérivé. Soient u et v deux mots sur Σ ∪ N . Le mot v se dérive de u par la grammaire algébrique G = (Σ, N , P , S ) s’il existe des mots w

, w

, . . . , w

tels que u = w

, v = w

et pour tout entier i (0 ≤ i < n), w

se dérive directement de w

.

Exemples : Les mots (((S)S)(S )S), (S )(S )S , (S )S et S se

dérivent de S par la grammaire G

.

Notation

Une dérivation s’écrit souvent : u = w

→ w

→ w

→ . . . → w

= v

Par exemple : S → (S )S → (S)(S)S → ((S)S )(S)S

Remarque. On observera que si on prend n = 0, on peut avoir

v = u, et donc tout mot se dérive directement de lui-même.

Appartenance d’un mot au langage de la grammaire

Pour montrer qu’un mot appartient au langage, il faut et il suffit de montrer qu’il s’obtient à partir des règles de production de la grammaire (en commençant par l’axiome).

Par exemple, le mot (())() s’obtient par : S → SS → (S)S

→ ((S))S

→ ((ε))S = (())S

→ (())(S )

→ (())(ε) = (())().

Chaque dérivation peut être représentée sous la forme d’un

arbre de dérivation.

Arbre de dérivation

Un arbre de dérivation est défini de la manière suivante :

I

les sommets sont étiquetés par une lettre ou par ε, les feuilles par une lettre terminale ou ε, les sommets internes par une lettre non terminale ;

I

un sommet interne étiqueté X a pour fils (dans cet ordre) x

, . . . , x

avec x

∈ Σ ∪ N, si X → x

. . . x

est une règle de production de la grammaire.

Un arbre de dérivation est traditionnellement dessiné la racine

en haut. Sur un tel arbre dessiné, le mot dérivé s’obtient en

concaténant les étiquettes des feuilles de gauche à droite.

Exemple

Arbre de dérivation du mot (())() :

ε S

S S

) S

( S )

ε

( ( S )

Remarque : deux dérivations peuvent être associées au même arbre

de dérivation (les règles de productions peuvent être appliquées

dans un ordre différent).

Autre exemple

Certains mots peuvent s’obtenir par plusieurs arbres de dérivations, comme par exemple le mot : ()()().

ε S

S S

S

S S

S S

S S

( ) ( )

ε ε

) S (

ε

) S (

ε

S S

S S

( ) ( )

ε

Langages algébriques

Le langage engendré par une grammaire algébrique

(Σ, N, P, S) est l’ensemble des mots de Σ

qui se dérive de S par la grammaire.

Exemple : le langage des mots bien parenthésés est engendré par la grammaire G

.

Un langage est dit algébrique s’il existe une grammaire algébrique qui l’engendre.

Exemple : le langage des mots bien parenthésés est un langage

algébrique.

Exercice

Ecrire une grammaire permettant d’engendrer l’ensemble des mots sur {a, b} ayant le même nombre d’occurrences de a que de b.

Ecrire une grammaire permettant d’engendrer l’ensemble des

mots sur {a, b} ayant deux fois plus de a que de b.

Ambiguïté

Une grammaire est ambiguë s’il existe un mot qui admet deux arbres de dérivations distincts.

Langage ambigu. Un langage est ambigu si toute grammaire qui l’engendre est ambiguë.

Théorème : Le problème de déterminer si une grammaire est ambiguë est indécidable (i.e. il n’est pas possible d’élaborer un algorithme qui soit capable de dire, après un temps fini, si une grammaire que l’on lui soumet est ambiguë ou non.).

Remarque : on peut toutefois montrer qu’une grammaire

donnée est ambiguë en donnant un mot engendré par cette

grammaire admettant deux arbres de dérivations distincts...

Dérivation la plus à gauche

On peut décider de toujours remplacer en premier la lettre non terminale la plus à gauche d’une expression.

Cela permet de simplifier la recherche d’une dérivation entre

deux mots, de montrer plus facilement qu’il n’y a pas de

dérivation entre deux mots, ou qu’il n’y en a qu’une seule...

Dérivation la plus à gauche

Lemme : Soit G = (Σ, N , P , S ) une grammaire. Si u

, u

, v sont trois mots tels que u

u

se dérivent en v , alors il existe des mots v

et v

tels que v = v

v

, v

se dérive de u

, et v

se dérive de u

.

Soit G = (Σ, N, P, S) une grammaire. Une dérivation gauche d’un mot v en un mot u est une suite de mots w

, . . . , w

tels que u = w

, v = w

et pour tout entier i, 0 ≤ i < n,

w

= u

X

u

et w

= u

v

u

avec u

∈ Σ

, (X

→ v

) ∈ P, u

∈ (Σ ∪ N )

.

Proposition : Soit G = (Σ, N , P , S ) une grammaire. Pour tout

mot u et v sur Σ ∪ N , si v se dérive de u alors v se dérive de u

par une dérivation gauche.

Grammaires et langages reconnaissables

Proposition : L’union, le produit et l’étoile de langages algébriques sont des langages algébriques.

Pour tout langage fini, on peut donner facilement une grammaire engendrant le langage.

Donc tout langage reconnaissable est un langage algébrique.

La réciproque est fausse.

Grammaires linéaires

Une grammaire G = (Σ, N , P , S ) est dite linéaire gauche si toutes les règles de production appartiennent à

N × (N Σ

∪ Σ

).

Une grammaire G = (Σ, N , P , S ) est dite linéaire droite si toutes les règles de production appartiennent à

N × (Σ

N ∪ Σ

).

Une grammaire G = (Σ, N , P , S ) est dite linéaire si toutes les règles de production appartiennent à N × (Σ

NΣ

∪ Σ

).

Proposition : Sont équivalents pour un langage L : 1. L est reconnaissable,

2. L est engendré par une grammaire linéaire gauche,

3. L est engendré par une grammaire linéaire droite.

Idée de la preuve : 1) ⇒ 2)

Si un langage L est reconnaissable, nous avons vu précédemment comment définir des équations définissant le langage. Ces équations peuvent être vues commes des règles de grammaires linéaires droites.

A B

C a

b b

D a

La grammaire associée est : A → aB | bD

B → bC

C → aA

Idée de la preuve : 2) ⇒ 1)

Réciproquement, si nous avons une grammaire linéaire gauche, grâce au lemme d’Arden, nous pouvons donner une expression régulière représentant le langage engendré. Ce langage est donc reconnaissable.

Remarques :

Pour l’équivalence avec grammaire linéaire droite, il faut "lire"

l’automate à l’envers.

Attention : un langage engendré par une grammaire linéaire

n’est pas nécessairement reconnaissable.