Langages hors-contexte

Langages hors-contexte

Damien Nouvel

Origines

Plan

1. Origines

2. Définitions 3. Dérivations 4. Simplification

Origines

Langages réguliers et grammaires

§ Les langages réguliers (ou rationnels) reconnaissent

‚ Des mots issus de lexiques

‚ Des formes normales (chiffres, dates, etc.) ñ Ils sontinsuffisants pour

‚ Les formes récursives

‚ Les structures de typetaⁿbⁿu

‚ La recherche de la syntaxe dans le langage naturel

‚ L’analyse de programmes

ñ La machine de Turing peut faire mieux que ça !

Origines

Langages réguliers et grammaires

§ Les langages réguliers (ou rationnels) reconnaissent

‚ Des mots issus de lexiques

‚ Des formes normales (chiffres, dates, etc.)

ñ Ils sontinsuffisants pour

‚ Les formes récursives

‚ Les structures de typetaⁿbⁿu

‚ La recherche de la syntaxe dans le langage naturel

‚ L’analyse de programmes

ñ La machine de Turing peut faire mieux que ça !

Origines

Langages réguliers et grammaires

§ Les langages réguliers (ou rationnels) reconnaissent

‚ Des mots issus de lexiques

‚ Des formes normales (chiffres, dates, etc.) ñ Ils sontinsuffisants pour

‚ Les formes récursives

‚ Les structures de typetaⁿbⁿu

‚ La recherche de la syntaxe dans le langage naturel

‚ L’analyse de programmes

ñ La machine de Turing peut faire mieux que ça !

Origines

Langages réguliers et grammaires

§ Les langages réguliers (ou rationnels) reconnaissent

‚ Des mots issus de lexiques

‚ Des formes normales (chiffres, dates, etc.) ñ Ils sontinsuffisants pour

‚ Les formes récursives

‚ Les structures de typetaⁿbⁿu

‚ La recherche de la syntaxe dans le langage naturel

‚ L’analyse de programmes

ñ La machine de Turing peut faire mieux que ça !

Origines

Historique des grammaires

§ Hiérarchie de Chomsky (1956)

‚ Analyse du langagenaturel (morphologie, syntaxe)

‚ Grammaire formelles

‚ Type 0 : grammaires générales (machine de Turing)

‚ Type 1 : grammaires contextuelles (automates lin. bornés)

‚ Type 2 : grammaireshors-contexte (automates à pile)

‚ Type 3 : grammairesrégulières (automates à états finis)

§ Langages de programmation artificiels (compilation)

‚ Compilateurs mot-à-mot (assembleur)

‚ Expressions mathématiques :arbres d’analyse

‚ Compilateurs modernes

‚ Analyselexicale(scanner)

‚ Analysesyntaxique(parser)

ñ Utilisation des méthodes linguistiques pour la programmation

Origines

Historique des grammaires

§ Hiérarchie de Chomsky (1956)

‚ Analyse du langagenaturel (morphologie, syntaxe)

‚ Grammaire formelles

‚ Type 0 : grammaires générales (machine de Turing)

‚ Type 1 : grammaires contextuelles (automates lin. bornés)

‚ Type 2 : grammaireshors-contexte (automates à pile)

‚ Type 3 : grammairesrégulières (automates à états finis)

§ Langages de programmation artificiels (compilation)

‚ Compilateurs mot-à-mot (assembleur)

‚ Expressions mathématiques :arbres d’analyse

‚ Compilateurs modernes

‚ Analyselexicale(scanner)

‚ Analysesyntaxique(parser)

ñ Utilisation des méthodes linguistiques pour la programmation

Origines

Historique des grammaires

§ Hiérarchie de Chomsky (1956)

‚ Analyse du langagenaturel (morphologie, syntaxe)

‚ Grammaire formelles

‚ Type 0 : grammaires générales (machine de Turing)

‚ Type 1 : grammaires contextuelles (automates lin. bornés)

‚ Type 2 : grammaireshors-contexte (automates à pile)

‚ Type 3 : grammairesrégulières (automates à états finis)

§ Langages de programmation artificiels (compilation)

‚ Compilateurs mot-à-mot (assembleur)

‚ Expressions mathématiques :arbres d’analyse

‚ Compilateurs modernes

‚ Analyselexicale(scanner)

‚ Analysesyntaxique(parser)

Définitions

Plan

1. Origines 2. Définitions 3. Dérivations 4. Simplification

Définitions

Arbre d’expression

§ Analyse de l’expression mathématique 1

2 + 3˚? 9

‚ Priorité des opérateurs :(1

2 + (3˚? 9))

‚ Arbre d’expression : +

˜

1 2

˚

3 ?

9

ñ Chaque branche est aussi une expression valide : 1

2, 3˚? 9

Définitions

Arbre d’expression

§ Analyse de l’expression mathématique 1

2 + 3˚? 9

‚ Priorité des opérateurs :(1

2 + (3˚? 9))

‚ Arbre d’expression : +

˜

1 2

˚

3 ?

9

ñ Chaque branche est aussi une expression valide : 1

2, 3˚? 9

Définitions

Arbre d’expression

§ Analyse de l’expression mathématique 1

2 + 3˚? 9

‚ Priorité des opérateurs :(1

2 + (3˚? 9))

‚ Arbre d’expression : +

˜

1 2

˚

3 ?

9

Définitions

Backus-Naur Form

§ Langage de programmation Algol 1960 (J. Backus et P. Naur)

§ Règles de description du langage

‚ Pour la programmation

<ifstruct> ::= "if" "(" <test> ")" "{" <block> "}"

<test> ::= <var> "==" <num> | <var> "&&" <var> | …

<block> ::= <inst> | <inst> <block> ñ Vérificationde la syntaxe des programmes ñ Récursivitédans les règles

‚ Pour la linguistique

<E> ::= <GN> <GV>

<GN> ::= <DET> <NC> | <DET> <ADJ> <NC>

<GV> ::= "marche" | "dort"

<DET> ::= "le"

<NC> ::= "chien" | "chat"

<ADJ> ::= "petit" | "gros"

Définitions

Backus-Naur Form

§ Langage de programmation Algol 1960 (J. Backus et P. Naur)

§ Règles de description du langage

‚ Pour la programmation

<ifstruct> ::= "if" "(" <test> ")" "{" <block> "}"

<test> ::= <var> "==" <num> | <var> "&&" <var> | …

<block> ::= <inst> | <inst> <block>

ñ Vérificationde la syntaxe des programmes ñ Récursivitédans les règles

‚ Pour la linguistique

<E> ::= <GN> <GV>

<GN> ::= <DET> <NC> | <DET> <ADJ> <NC>

<GV> ::= "marche" | "dort"

<DET> ::= "le"

<NC> ::= "chien" | "chat"

<ADJ> ::= "petit" | "gros"

Définitions

Backus-Naur Form

§ Langage de programmation Algol 1960 (J. Backus et P. Naur)

§ Règles de description du langage

‚ Pour la programmation

<ifstruct> ::= "if" "(" <test> ")" "{" <block> "}"

<test> ::= <var> "==" <num> | <var> "&&" <var> | …

<block> ::= <inst> | <inst> <block>

ñ Vérificationde la syntaxe des programmes ñ Récursivitédans les règles

‚ Pour la linguistique

<E> ::= <GN> <GV>

<GN> ::= <DET> <NC> | <DET> <ADJ> <NC>

<GV> ::= "marche" | "dort"

<DET> ::= "le"

<NC> ::= "chien" | "chat"

Définitions

Définition des grammaires hors-contexte

ñ Reconnaissance / générationde langages

§ QuadrupletG= (T,N,R,S)

‚ T: symboles terminaux

ñ Lesmotspossibles des énoncés

‚ N: symboles non-terminaux

ñ Groupes de mots intéressants (GN, GV, etc.)

‚ RĂNˆ(NYT)^˚ : règles

ñ Déterminent la composition des groupes de mots ñ Notations

‚ Une règle s’écritAÑαavecAPNetαP(NYT)^˚

‚ Des règlesAÑαetAÑβ s’écriventAÑα|β

‚ SPN: axiome (symbole de départ) ñ Représente l’énoncé

Définitions

Définition des grammaires hors-contexte

ñ Reconnaissance / générationde langages

§ QuadrupletG= (T,N,R,S)

‚ T: symboles terminaux

ñ Lesmotspossibles des énoncés

‚ N: symboles non-terminaux

ñ Groupes de mots intéressants (GN, GV, etc.)

‚ RĂNˆ(NYT)^˚ : règles

ñ Déterminent la composition des groupes de mots ñ Notations

‚ Une règle s’écritAÑαavecAPNetαP(NYT)^˚

‚ Des règlesAÑαetAÑβ s’écriventAÑα|β

‚ SPN: axiome (symbole de départ) ñ Représente l’énoncé

Définitions

Définition des grammaires hors-contexte

ñ Reconnaissance / générationde langages

§ QuadrupletG= (T,N,R,S)

‚ T: symboles terminaux

ñ Lesmotspossibles des énoncés

‚ N: symboles non-terminaux

ñ Groupes de mots intéressants (GN, GV, etc.)

‚ RĂNˆ(NYT)^˚ : règles

ñ Déterminent la composition des groupes de mots ñ Notations

‚ Une règle s’écritAÑαavecAPNetαP(NYT)^˚

‚ Des règlesAÑαetAÑβ s’écriventAÑα|β

‚ SPN: axiome (symbole de départ) ñ Représente l’énoncé

Définitions

Définition des grammaires hors-contexte

ñ Reconnaissance / générationde langages

§ QuadrupletG= (T,N,R,S)

‚ T: symboles terminaux

ñ Lesmotspossibles des énoncés

‚ N: symboles non-terminaux

ñ Groupes de mots intéressants (GN, GV, etc.)

‚ RĂNˆ(NYT)^˚ : règles

ñ Déterminent la composition des groupes de mots ñ Notations

‚ Une règle s’écritAÑαavecAPNetαP(NYT)^˚

‚ Des règlesAÑαetAÑβ s’écriventAÑα|β

‚ SPN: axiome (symbole de départ) ñ Représente l’énoncé

Définitions

Définition des grammaires hors-contexte

ñ Reconnaissance / générationde langages

§ QuadrupletG= (T,N,R,S)

‚ T: symboles terminaux

ñ Lesmotspossibles des énoncés

‚ N: symboles non-terminaux

ñ Groupes de mots intéressants (GN, GV, etc.)

‚ RĂNˆ(NYT)^˚ : règles

ñ Déterminent la composition des groupes de mots ñ Notations

‚ Une règle s’écritAÑαavecAPNetαP(NYT)^˚

‚ Des règlesAÑαetAÑβ s’écriventAÑα|β

‚ SPN: axiome (symbole de départ) ñ Représente l’énoncé

Définitions

Définition des grammaires hors-contexte

ñ Reconnaissance / générationde langages

§ QuadrupletG= (T,N,R,S)

‚ T: symboles terminaux

ñ Lesmotspossibles des énoncés

‚ N: symboles non-terminaux

ñ Groupes de mots intéressants (GN, GV, etc.)

‚ RĂNˆ(NYT)^˚ : règles

ñ Déterminent la composition des groupes de mots ñ Notations

‚ Une règle s’écritAÑαavecAPNetαP(NYT)^˚

‚ Des règlesAÑαetAÑβ s’écriventAÑα|β

‚ SPN: axiome (symbole de départ) ñ Représente l’énoncé

Définitions

Exemple

§ Expressions mathématiques

‚ N=tS,Eu etT=t+,˚,˜,?,(,),1,2,3...u

‚ Règles : SÑE EÑE+E EÑE˚E EÑE˜E EÑ(E) EÑ?

E EÑ1|2|3. . .

§ Unedérivation possible :

SÑEÑE+EÑE˜E+E¨ ¨ ¨ Ñ 1˜2 + 3˚? 9

Définitions

Exemple

§ Expressions mathématiques

‚ N=tS,Eu etT=t+,˚,˜,?,(,),1,2,3...u

‚ Règles : SÑE EÑE+E EÑE˚E EÑE˜E EÑ(E) EÑ?

E EÑ1|2|3. . .

§ Unedérivation possible :

SÑEÑE+EÑE˜E+E¨ ¨ ¨ Ñ 1˜2 + 3˚? 9

Définitions

Exercices

§ Définissez des grammaires qui reconnaissent

‚ Un code postal

‚ Le langage des dates au formatjj/mm/aaaa

‚ Une plaque d’immatriculation française

‚ Un nombre entier naturel (positif)

‚ Un nombre réel

‚ Le langage régulierab^˚cd^˚

‚ Le langagetaⁿcⁿ,ną0u

‚ Les palindrômes

‚ Une expression de parenthèses() et crochets []

‚ Le langagetaⁿbc^md,ną0,měnu

Dérivations

Plan

1. Origines

2. Définitions 3. Dérivations 4. Simplification

Dérivations

Dérivation

§ Opérations qui génèrentle langage pour une grammaire

§ Un mot αP(NYT)^˚ sedérive en un mot β P(NYT)^˚ si

‚ α se décompose enα₁Aα₂ avec APN

‚ β se décompose en α1γα2 avecγ P(NYT)^˚

‚ AÑγ PR (c’est une règle)

§ Exemple :E+E˜EÑE+E˚E˜E

‚ α₁ =E+

‚ α₂ =˜E

‚ A=E

‚ γ =E˚E

‚ EÑE˚EPR

Dérivations

Dérivation

§ Opérations qui génèrentle langage pour une grammaire

§ Un mot αP(NYT)^˚ sedérive en un mot β P(NYT)^˚ si

‚ α se décompose enα₁Aα₂ avec APN

‚ β se décompose en α1γα2 avecγ P(NYT)^˚

‚ AÑγ PR (c’est une règle)

§ Exemple :E+E˜EÑE+E˚E˜E

‚ α₁ =E+

‚ α₂ =˜E

‚ A=E

‚ γ =E˚E

‚ EÑE˚EPR

Dérivations

Dérivation

§ Opérations qui génèrentle langage pour une grammaire

§ Un mot αP(NYT)^˚ sedérive en un mot β P(NYT)^˚ si

‚ α se décompose enα₁Aα₂ avec APN

‚ β se décompose en α1γα2 avecγ P(NYT)^˚

‚ AÑγ PR (c’est une règle)

§ Exemple :E+E˜EÑE+E˚E˜E

‚ α₁ =E+

‚ α2 =˜E

‚ A=E

‚ γ =E˚E

‚ EÑE˚EPR

Dérivations

Suite de dérivations

§ Par transitivité

‚ Chaîne de dérivationsαÑβ¨ ¨ ¨ Ñγ =αÝÑ^˚ γ

‚ Fermeture transitive, clôture (cf étoile de Kleene)

‚ Siγ P(NYT)^˚ alorsγ est uneproto-phrase de G

§ Ordre des dérivations

‚ Possibilité d’analyses pour1 + 2 + 3

‚ Dérivation gauche : réécrit le non-terminal le plus à gauche EÑE+EÑ1 +EÑ1 +E+EÑ1 + 2 +EÑ1 + 2 + 3

‚ Dérivation droite : réécrit le non-terminal le plus à droite EÑE+EÑE+ 3ÑE+E+ 3ÑE+ 2 + 3Ñ1 + 2 + 3 ñ Dérivations différentes …même résultat ?

ñ Pas toujours (par ex. associativité, priorité des opérateurs)

Dérivations

Suite de dérivations

§ Par transitivité

‚ Chaîne de dérivationsαÑβ¨ ¨ ¨ Ñγ =αÝÑ^˚ γ

‚ Fermeture transitive, clôture (cf étoile de Kleene)

‚ Siγ P(NYT)^˚ alorsγ est uneproto-phrase de G

§ Ordre des dérivations

‚ Possibilité d’analyses pour1 + 2 + 3

‚ Dérivation gauche : réécrit le non-terminal le plus à gauche EÑE+EÑ1 +EÑ1 +E+EÑ1 + 2 +EÑ1 + 2 + 3

‚ Dérivation droite : réécrit le non-terminal le plus à droite EÑE+EÑE+ 3ÑE+E+ 3ÑE+ 2 + 3Ñ1 + 2 + 3 ñ Dérivations différentes …même résultat ?

ñ Pas toujours (par ex. associativité, priorité des opérateurs)

Dérivations

Suite de dérivations

§ Par transitivité

‚ Chaîne de dérivationsαÑβ¨ ¨ ¨ Ñγ =αÝÑ^˚ γ

‚ Fermeture transitive, clôture (cf étoile de Kleene)

‚ Siγ P(NYT)^˚ alorsγ est uneproto-phrase de G

§ Ordre des dérivations

‚ Possibilité d’analyses pour1 + 2 + 3

‚ Dérivation gauche : réécrit le non-terminal le plus à gauche EÑE+EÑ1 +EÑ1 +E+EÑ1 + 2 +EÑ1 + 2 + 3

‚ Dérivation droite : réécrit le non-terminal le plus à droite EÑE+EÑE+ 3ÑE+E+ 3ÑE+ 2 + 3Ñ1 + 2 + 3 ñ Dérivations différentes …même résultat ?

ñ Pas toujours (par ex. associativité, priorité des opérateurs)

Dérivations

Suite de dérivations

§ Par transitivité

‚ Chaîne de dérivationsαÑβ¨ ¨ ¨ Ñγ =αÝÑ^˚ γ

‚ Fermeture transitive, clôture (cf étoile de Kleene)

‚ Siγ P(NYT)^˚ alorsγ est uneproto-phrase de G

§ Ordre des dérivations

‚ Possibilité d’analyses pour1 + 2 + 3

‚ Dérivation gauche : réécrit le non-terminal le plus à gauche EÑE+EÑ1 +EÑ1 +E+EÑ1 + 2 +EÑ1 + 2 + 3

‚ Dérivation droite : réécrit le non-terminal le plus à droite EÑE+EÑE+ 3ÑE+E+ 3ÑE+ 2 + 3Ñ1 + 2 + 3

ñ Dérivations différentes …même résultat ?

ñ Pas toujours (par ex. associativité, priorité des opérateurs)

Dérivations

Suite de dérivations

§ Par transitivité

‚ Chaîne de dérivationsαÑβ¨ ¨ ¨ Ñγ =αÝÑ^˚ γ

‚ Fermeture transitive, clôture (cf étoile de Kleene)

‚ Siγ P(NYT)^˚ alorsγ est uneproto-phrase de G

§ Ordre des dérivations

‚ Possibilité d’analyses pour1 + 2 + 3

‚ Dérivation gauche : réécrit le non-terminal le plus à gauche EÑE+EÑ1 +EÑ1 +E+EÑ1 + 2 +EÑ1 + 2 + 3

‚ Dérivation droite : réécrit le non-terminal le plus à droite EÑE+EÑE+ 3ÑE+E+ 3ÑE+ 2 + 3Ñ1 + 2 + 3 ñ Dérivations différentes …même résultat ?

ñ Pas toujours (par ex. associativité, priorité des opérateurs)

Dérivations

Langage généré

§ Soit Gune grammaire, alors le langage généré par G est L(G) =tmPT^˚|SÑÝ^˚ mu

ñ Sous-ensemble de T^˚ ñ Pas nécessairement fini

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle) ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E 1

+ E

2

˚ E

3

dérivation gauche

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

dérivation droite

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle) ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E 1

+ E

2

˚ E

3

dérivation gauche

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

dérivation droite

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle) ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E 1

+ E

2

˚ E

3

dérivation gauche

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

dérivation droite

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle) ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E 1

+ E

2

˚ E

3

dérivation gauche

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

dérivation droite

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle)

ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E 1

+ E

2

˚ E

3

dérivation gauche

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

dérivation droite

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle) ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E 1

+ E

2

˚ E

3

dérivation gauche

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

dérivation droite

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle) ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E 1

+ E

2

˚ E

3

dérivation gauche

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

dérivation droite

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle) ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E + E

˚ E

3

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

dérivation droite

Dérivations

Arbre de dérivation

§ Représentation graphique de la dérivation

‚ Racine: symbole initial =S

‚ Nœud: symbole non-terminal PN

‚ Feuille: symbole terminal PT

‚ Relationparent-enfants : dérivation (règle) ñ Structure de l’analyse

§ Dérivations (et analyses) de1 + 2˚3

E E

E 1

+ E

2

˚ E

3

E E

1

+ E

E 2

˚ E

3

Simplification

Plan

1. Origines

2. Définitions 3. Dérivations 4. Simplification

Simplification

Simplifier une grammaire

ñ Supprimer les éléments inutilesde la grammaire

‚ Symbolesimproductifs

‚ Aest improductif s’il n’y a pas demPT^˚ tel que AÝÑ^˚ m

‚ Symbolesinaccessibles

‚ Aest inaccessible s’il n’y a pas deαetβ tels queSÝÑ^˚ αAβ

‚ ϵ-productions

‚ Uneϵ-production est une dérivation telle queAÝÑ^˚ ϵ

‚ Production simple

‚ AÑBest une production simple si APNetBPN

ñ Pour toute grammaire, il existe une grammaire équivalente sans symboles improductifs ni inaccessibles, sans

ϵ-productions ni productions simples

Simplification

Simplifier une grammaire

ñ Supprimer les éléments inutilesde la grammaire

‚ Symbolesimproductifs

‚ Aest improductif s’il n’y a pas demPT^˚ tel que AÝÑ^˚ m

‚ Symbolesinaccessibles

‚ Aest inaccessible s’il n’y a pas deαetβ tels queSÝÑ^˚ αAβ

‚ ϵ-productions

‚ Uneϵ-production est une dérivation telle queAÝÑ^˚ ϵ

‚ Production simple

‚ AÑBest une production simple si APNetBPN

ñ Pour toute grammaire, il existe une grammaire équivalente sans symboles improductifs ni inaccessibles, sans

ϵ-productions ni productions simples

Simplification

Simplifier une grammaire

ñ Supprimer les éléments inutilesde la grammaire

‚ Symbolesimproductifs

‚ Aest improductif s’il n’y a pas demPT^˚ tel que AÝÑ^˚ m

‚ Symbolesinaccessibles

‚ Aest inaccessible s’il n’y a pas deαetβ tels queSÝÑ^˚ αAβ

‚ ϵ-productions

‚ Uneϵ-production est une dérivation telle queAÝÑ^˚ ϵ

‚ Production simple

‚ AÑBest une production simple si APNetBPN

ñ Pour toute grammaire, il existe une grammaire équivalente sans symboles improductifs ni inaccessibles, sans

ϵ-productions ni productions simples

Simplification

Simplifier une grammaire

ñ Supprimer les éléments inutilesde la grammaire

‚ Symbolesimproductifs

‚ Aest improductif s’il n’y a pas demPT^˚ tel que AÝÑ^˚ m

‚ Symbolesinaccessibles

‚ Aest inaccessible s’il n’y a pas deαetβ tels queSÝÑ^˚ αAβ

‚ ϵ-productions

‚ Uneϵ-production est une dérivation telle queAÝÑ^˚ ϵ

‚ Production simple

‚ AÑBest une production simple si APNetBPN

ñ Pour toute grammaire, il existe une grammaire équivalente sans symboles improductifs ni inaccessibles, sans

ϵ-productions ni productions simples

Simplification

Simplifier une grammaire

ñ Supprimer les éléments inutilesde la grammaire

‚ Symbolesimproductifs

‚ Aest improductif s’il n’y a pas demPT^˚ tel que AÝÑ^˚ m

‚ Symbolesinaccessibles

‚ Aest inaccessible s’il n’y a pas deαetβ tels queSÝÑ^˚ αAβ

‚ ϵ-productions

‚ Uneϵ-production est une dérivation telle queAÝÑ^˚ ϵ

‚ Production simple

‚ AÑBest une production simple si APNetBPN

ñ Pour toute grammaire, il existe une grammaire équivalente sans symboles improductifs ni inaccessibles, sans

ϵ-productions ni productions simples

Simplification

Simplifier une grammaire

ñ Supprimer les éléments inutilesde la grammaire

‚ Symbolesimproductifs

‚ Aest improductif s’il n’y a pas demPT^˚ tel que AÝÑ^˚ m

‚ Symbolesinaccessibles

‚ Aest inaccessible s’il n’y a pas deαetβ tels queSÝÑ^˚ αAβ

‚ ϵ-productions

‚ Uneϵ-production est une dérivation telle queAÝÑ^˚ ϵ

‚ Production simple

‚ AÑBest une production simple si APNetBPN

ñ Pour toute grammaire, il existe une grammaire équivalente sans symboles improductifs ni inaccessibles, sans

ϵ-productions ni productions simples

Simplification

Élimination des symboles improductifs

§ Calcul des symboles productifs

‚ SoitP₀ =Heti= 1

‚ SoitP₁ =tAPN,DαPT^˚,AÑαPRu

‚ Tant queP_i ‰P_i´1

‚ Pi+1=PiY tAPN,DαP(TYPi)^˚,AÑαPRu

‚ iÐi+ 1

ñ Les symboles de NzP sont improductifs

ñ Enlever ces symboles et les règles dans lesquels ils figurent

Simplification

Élimination des symboles improductifs

§ Calcul des symboles productifs

‚ SoitP₀ =Heti= 1

‚ SoitP₁ =tAPN,DαPT^˚,AÑαPRu

‚ Tant queP_i ‰P_i´1

‚ Pi+1=PiY tAPN,DαP(TYPi)^˚,AÑαPRu

‚ iÐi+ 1

ñ Les symboles de NzP sont improductifs

ñ Enlever ces symboles et les règles dans lesquels ils figurent

Simplification

Élimination des symboles inaccessibles

§ Calcul des symboles accessibles

‚ SoitC₀ =H,C₁ =tSueti= 1

‚ Tant queC_i‰C_i´1

‚ Ci+1=CiY tAPN,Dα, βP(NYT)˚,XPCi,XÑαAβ PRu

ñ Les symboles de NzC sont inaccessibles

ñ Enlever ces symboles et les règles dans lesquels ils figurent

Simplification

Élimination des symboles inaccessibles

§ Calcul des symboles accessibles

‚ SoitC₀ =H,C₁ =tSueti= 1

‚ Tant queC_i‰C_i´1

‚ Ci+1=CiY tAPN,Dα, βP(NYT)˚,XPCi,XÑαAβ PRu

ñ Les symboles de NzC sont inaccessibles

ñ Enlever ces symboles et les règles dans lesquels ils figurent

Simplification

Élimination des ϵ-productions

§ Calcul des symboles annulables

‚ SoitU₀ =Het i= 1

‚ SoitU₁ =tAPN,AÑϵPRu

‚ Tant queP_i ‰P_i´1

‚ Ui+1 =UiY tAPN,DαP(Ui)^˚,AÑαPRu

‚ iÐi+ 1

ñ Les symboles de Usont annulables

§ Modification de la grammaire

‚ Remplacer les règlesAÑαXβ où XPUparAÑαXβ|αβ (avec combinaisons possibles deX dans les règles)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑϵ(sauf pourS)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑA ñ Grammaire équivalente àϵ près

Simplification

Élimination des ϵ-productions

§ Calcul des symboles annulables

‚ SoitU₀ =Het i= 1

‚ SoitU₁ =tAPN,AÑϵPRu

‚ Tant queP_i ‰P_i´1

‚ Ui+1 =UiY tAPN,DαP(Ui)^˚,AÑαPRu

‚ iÐi+ 1

ñ Les symboles de Usont annulables

§ Modification de la grammaire

‚ Remplacer les règlesAÑαXβ où XPUparAÑαXβ|αβ (avec combinaisons possibles deX dans les règles)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑϵ(sauf pourS)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑA ñ Grammaire équivalente àϵ près

Simplification

Élimination des ϵ-productions

§ Calcul des symboles annulables

‚ SoitU₀ =Het i= 1

‚ SoitU₁ =tAPN,AÑϵPRu

‚ Tant queP_i ‰P_i´1

‚ Ui+1 =UiY tAPN,DαP(Ui)^˚,AÑαPRu

‚ iÐi+ 1

ñ Les symboles de Usont annulables

§ Modification de la grammaire

‚ Remplacer les règlesAÑαXβ où XPUparAÑαXβ|αβ (avec combinaisons possibles deX dans les règles)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑϵ(sauf pourS)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑA ñ Grammaire équivalente àϵ près

Simplification

Élimination des ϵ-productions

§ Calcul des symboles annulables

‚ SoitU₀ =Het i= 1

‚ SoitU₁ =tAPN,AÑϵPRu

‚ Tant queP_i ‰P_i´1

‚ Ui+1 =UiY tAPN,DαP(Ui)^˚,AÑαPRu

‚ iÐi+ 1

ñ Les symboles de Usont annulables

§ Modification de la grammaire

‚ Remplacer les règlesAÑαXβ où XPUparAÑαXβ|αβ (avec combinaisons possibles deX dans les règles)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑϵ(sauf pourS)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑA

ñ Grammaire équivalente àϵ près

Simplification

Élimination des ϵ-productions

§ Calcul des symboles annulables

‚ SoitU₀ =Het i= 1

‚ SoitU₁ =tAPN,AÑϵPRu

‚ Tant queP_i ‰P_i´1

‚ Ui+1 =UiY tAPN,DαP(Ui)^˚,AÑαPRu

‚ iÐi+ 1

ñ Les symboles de Usont annulables

§ Modification de la grammaire

‚ Remplacer les règlesAÑαXβ où XPUparAÑαXβ|αβ (avec combinaisons possibles deX dans les règles)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑϵ(sauf pourS)

‚ Supprimer toutes les règlesAÑA

Simplification

Équivalences et productions simples

§ Productions simples, dérivations et classes d’équivalences

‚ Production simple : toute règleAÑBavec BPN

‚ Soit la relation ětelle que AěBsiAÝÑ^˚ B

‚ Soit la relation «telle que A«BsiAěBetBěA

‚ Classes d’équivalences

‚ SiA«B, tout ce qui est dérivé deApeut l’être deB

‚ Relation réflexive, symétrique et transitive

‚ L’ensemble des classes est unepartitiondeN

§ Modification de la grammaire

‚ On conserve les productions non-simples

‚ Pour chaque classe d’équivalence

ñ Choisir un symbole qui remplace tous les autres ñ Pour chaque dérivationAÝÑ^˚ B

‚ Pour chaqueBÑβ, ajouterAÑβ

Simplification

Équivalences et productions simples

§ Productions simples, dérivations et classes d’équivalences

‚ Production simple : toute règleAÑBavec BPN

‚ Soit la relation ětelle que AěBsiAÝÑ^˚ B

‚ Soit la relation «telle que A«BsiAěBetBěA

‚ Classes d’équivalences

‚ SiA«B, tout ce qui est dérivé deApeut l’être deB

‚ Relation réflexive, symétrique et transitive

‚ L’ensemble des classes est unepartitiondeN

§ Modification de la grammaire

‚ On conserve les productions non-simples

‚ Pour chaque classe d’équivalence

ñ Choisir un symbole qui remplace tous les autres ñ Pour chaque dérivationAÝÑ^˚ B

‚ Pour chaqueBÑβ, ajouterAÑβ

Simplification

Équivalences et productions simples

§ Productions simples, dérivations et classes d’équivalences

‚ Production simple : toute règleAÑBavec BPN

‚ Soit la relation ětelle que AěBsiAÝÑ^˚ B

‚ Soit la relation «telle que A«BsiAěBetBěA

‚ Classes d’équivalences

‚ SiA«B, tout ce qui est dérivé deApeut l’être deB

‚ Relation réflexive, symétrique et transitive

‚ L’ensemble des classes est unepartitiondeN

§ Modification de la grammaire

‚ On conserve les productions non-simples

‚ Pour chaque classe d’équivalence

ñ Choisir un symbole qui remplace tous les autres ñ Pour chaque dérivationAÝÑ^˚ B

‚ Pour chaqueBÑβ, ajouterAÑβ

Simplification

Équivalences et productions simples

§ Productions simples, dérivations et classes d’équivalences

‚ Production simple : toute règleAÑBavec BPN

‚ Soit la relation ětelle que AěBsiAÝÑ^˚ B

‚ Soit la relation «telle que A«BsiAěBetBěA

‚ Classes d’équivalences

‚ SiA«B, tout ce qui est dérivé deApeut l’être deB

‚ Relation réflexive, symétrique et transitive

‚ L’ensemble des classes est unepartitiondeN

§ Modification de la grammaire

‚ On conserve les productions non-simples

‚ Pour chaque classe d’équivalence

ñ Choisir un symbole qui remplace tous les autres ñ Pour chaque dérivationAÝÑ^˚ B

‚ Pour chaqueBÑβ, ajouterAÑβ

Simplification

Équivalences et productions simples

§ Productions simples, dérivations et classes d’équivalences

‚ Production simple : toute règleAÑBavec BPN

‚ Soit la relation ětelle que AěBsiAÝÑ^˚ B

‚ Soit la relation «telle que A«BsiAěBetBěA

‚ Classes d’équivalences

‚ SiA«B, tout ce qui est dérivé deApeut l’être deB

‚ Relation réflexive, symétrique et transitive

‚ L’ensemble des classes est unepartitiondeN

§ Modification de la grammaire

‚ On conserve les productions non-simples

‚ Pour chaque classe d’équivalence

ñ Choisir un symbole qui remplace tous les autres ñ Pour chaque dérivationAÝÑ^˚ B

‚ Pour chaqueBÑβ, ajouterAÑβ

Simplification

Équivalences et productions simples

§ Productions simples, dérivations et classes d’équivalences

‚ Production simple : toute règleAÑBavec BPN

‚ Soit la relation ětelle que AěBsiAÝÑ^˚ B

‚ Soit la relation «telle que A«BsiAěBetBěA

‚ Classes d’équivalences

‚ SiA«B, tout ce qui est dérivé deApeut l’être deB

‚ Relation réflexive, symétrique et transitive

‚ L’ensemble des classes est unepartitiondeN

§ Modification de la grammaire

‚ On conserve les productions non-simples

‚ Pour chaque classe d’équivalence

ñ Choisir un symbole qui remplace tous les autres ñ Pour chaque dérivationAÝÑ^˚ B

‚ Pour chaqueBÑβ, ajouterAÑβ

Simplification

Équivalences et productions simples

§ Productions simples, dérivations et classes d’équivalences

‚ Production simple : toute règleAÑBavec BPN

‚ Soit la relation ětelle que AěBsiAÝÑ^˚ B

‚ Soit la relation «telle que A«BsiAěBetBěA

‚ Classes d’équivalences

‚ SiA«B, tout ce qui est dérivé deApeut l’être deB

‚ Relation réflexive, symétrique et transitive

‚ L’ensemble des classes est unepartitiondeN

§ Modification de la grammaire

‚ On conserve les productions non-simples

‚ Pour chaque classe d’équivalence

ñ Choisir un symbole qui remplace tous les autres ñ Pour chaque dérivationAÝÑ^˚ B

‚ Pour chaqueBÑβ, ajouterAÑβ

Simplification

Équivalences et productions simples

§ Productions simples, dérivations et classes d’équivalences

‚ Production simple : toute règleAÑBavec BPN

‚ Soit la relation ětelle que AěBsiAÝÑ^˚ B

‚ Soit la relation «telle que A«BsiAěBetBěA

‚ Classes d’équivalences

‚ SiA«B, tout ce qui est dérivé deApeut l’être deB

‚ Relation réflexive, symétrique et transitive

‚ L’ensemble des classes est unepartitiondeN

§ Modification de la grammaire

‚ On conserve les productions non-simples

‚ Pour chaque classe d’équivalence

ñ Choisir un symbole qui remplace tous les autres ñ Pour chaque dérivationAÝÑ^˚ B

Simplification

Exemple : simplification de grammaire

§ Grammaire 1. SÑT|U 2. UÑaYb|V 3. VÑW 4. XÑW|a 5. YÑZ 6. ZÑc|ϵ

§ Étapes

‚ Symboles productifs :

‚ Symboles accessibles :

‚ ϵ-productions :

‚ Productions simples :