C ENTRE D ’ INTÉRÊT STATIQUE
M ODÉLISER , PRÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFORMANCES STATIQUES DES SYSTÈMES
ÉTABLIR LES CALCULS PRÉLIMINAIRES DANS LE BUT DE DIMENSIONNER UN ACTIONNEUR OU
UN TRANSMETTEUR.
P
ROBLÉMATIQUE:
A partir des actions mécaniques sur le récepteur, l’objectif du Tp est de déterminer les actions mécaniques sur l’actionneur ou un transmetteur dans l’optique de le dimensionner.
Table des matières
1 Frottement exponentiel 2
1.1 Paramétrage . . . . 2
1.2 Etude de l’équilibre . . . . 2
2 Arc-Boutement 2 2.1 Géométrie . . . . 3
2.2 Etude de l’équilibre . . . . 3
2.3 Principe fondamental de la statique . . . . 3
2.4 Condition d’équilibre . . . . 3
3 Direction des efforts sur le filet d’une vis 4 3.1 Schéma cinématique . . . . 4
3.2 Géométrie 3D . . . . 4
3.3 Géométrie plane . . . . 4
3.4 Figures planes de projection . . . . 4
4 Etude statique du système Maxpid 7 4.1 On isole la pièce 1 . . . . 8
4.2 On isole la pièce 2 . . . . 9
4.3 On isole la pièce 3 . . . . 9
4.4 On isole la pièce 4 . . . . 9
5 Embrayage 10 5.1 Effort presseur . . . 10
5.2 Géométrie . . . 11
5.3 Couple de friction . . . 11
6 Forces hydrauliques sur un safran 11 6.1 Schéma cinématique . . . 11
6.2 Modélisation . . . 11
6.3 Torseur des actions de l’eau sur le gouvernail . . . 11
6.4 Axe central du torseur . . . 12
2. ARC-BOUTEMENT TABLE DES MATIÈRES 2/12
1 Frottement exponentiel
1.1 Paramétrage
1.2 Etude de l’équilibre
Isolons un élément de corde et faisons le bilan des actions mécaniques qui lui sont appliquées:#»
F , #»
F +d#»
F et d#»
Q.
Le système étant à l’équilibre, appliquons le principe fondamental de la statique à cet élément de corde dans le repère galiléen lié au bâti:
sur #»u −(F+dF).sindθ
2 −F.sindθ
2 +dQ.cosφ = 0 sur #»v (F+dF).cosdθ
2 −F.cosdθ
2 −dQ.sinφ = 0 En considérant les angles comme étant très petits: cos dθ
2 ≈ 1, sin dθ 2 ≈ dθ
2 et dF.dθ
2 ≈0.
−F.dθ+dQ.cosφ = 0 dF−dQ sinφ = 0 Ce qui conduit à dF
F.dθ =tanφ= f Z T
t
dF F = f.
Z α 0
dθ ⇒ ln
T t
= f.α d’où T =t.ef.α
2 Arc-Boutement
3. DIRECTION DES EFFORTS SUR LE FILET D’UNE VISTABLE DES MATIÈRES 3/12
2.1 Géométrie On appelle :
• c la corde
• p l’ensemble {pince + chariot transversal + chariot longitudinal}
• r le rail.
2.2 Etude de l’équilibre
Bilan des actions mécaniques Isolons p et faisons le bilan des actions mécaniques auxquelles il est soumis:
Fr
A→p
=
A
XA 0 YA 0
0 0
(#»x,#»y,#»z )
Fr
B→p
=
B
XB 0 YB 0
0 0
(#»x,#»y,#»z )
Fc→p
=
C
XC 0
0 0
0 0
(#»x,#»y,#»z )
2.3 Principe fondamental de la statique
Le système p étant à l’équilibre, on lui applique le principe fondamental de la statique dans le repère galiléen (#»x,#»y,#»z ):
Fp→p
=
0
A
XA 0 YA 0
0 0
(#»x,#»y,#»z )
+
B
XB 0 YB 0
0 0
(#»x,#»y,#»z )
+
C
XC 0
0 0
0 0
(#»x,#»y,#»z )
=
0
Plaçons tous les torseurs au point C:
M#»(C,rA→p) = M#»(A,rA→p)+CA# »∧#»RrA→p
= −((h+b).tanα.#»x +(h+b)#»y )∧(XA#»x +YA#»y )
= (h+b) (tanα.XA−YA).#»z M#»(C,rB→p) = M#»(B,rB→p)+CB# »∧#»RrB→p
= ((h−b).tanα.#»x −(h−b)#»y )∧(XB#»x +YB#»y )
= (h−b) (tanα.XB+YB).#»z 2.4 Condition d’équilibre
L’équation issue du principe fondamental de la statique se réécrit:
A
XA 0
YA 0
0 (h+b) 1
tanα .XA−YA
(#»x,#»y,#»z )
+
B
XB 0
YB 0
0 (h−b) 1
tanα .XB+YB
(#»x,#»y,#»z )
+
C
XC 0
0 0
0 0
(#»x,#»y,#»z )
=
0
3. DIRECTION DES EFFORTS SUR LE FILET D’UNE VISTABLE DES MATIÈRES 4/12
ce qui donne
XA+XB+XC = 0 YA+YB = 0 (h+b) 1
tanα .XA−YA
+(h−b) 1
tanα .XB+YB
= 0
Or tanα= XA
YA et tanα= XB
YB.
La condition de frottement est tanα ≤ tanφ.
Pour qu’il y ait arc-boutement il faut que que tanα≤tanφ= f . Or tanα= a
2.h.
L’arc-boutement n’apparaît que pour
h≥ a 2.f
ce qui est indépendant de Xc
3 Direction des efforts sur le filet d’une vis
3.1 Schéma cinématique 3.2 Géométrie 3D
3.3 Géométrie plane 3.4 Figures planes de projection
x y
z
i j
θ θ
j k
i
v w
α α
w u
v
n l
β β
(#»x,#»y,#»z )θ,
#»z=#»k
7→ (#»
i,#»
j,#»
k )α,
#»i=#»u
7→ (#»u,#»v,w)#» β,
#»v=#»m
7→ (#»
l,m,#» #n On appelle #»
Ω(1/2) = −ω#»z le vecteur rotation de la vis par rapport à l’écrou.
La relation entre la pas de la vis et l’angle d’hélice est tanα= p 2.π.r
#»V(M∈1/2) = #»
VM/2−✟#»✟✟ VM/1=
"
d dt
# » OM#
(#»x,#»y,#»z )
3. DIRECTION DES EFFORTS SUR LE FILET D’UNE VISTABLE DES MATIÈRES 5/12
Or # » OM= # »
OA+ # »
AM= p. θ2.π.#»z +r.#»
i
⇒ V#»(M∈1/2) =
"
d dt
p. θ
2.π.#»z +r.#»i #
(#»x,#»y,#»z )
=
"
d dt
p. θ
2.π.#»z #
(#»x,#»y,#»z )
+
"
d dt
r.#»
i#
(#»x,#»y,#»z )
= ω.r. p 2.π.r
#»z +
✘✘" ✘✘✘✘✘✘✘ d
dt r.#»
i#
(#»i,#»j,#»k )
+ #»
Ω((#»x,#»y,#»z )/(#»i,#»j,#»k ))
| {z }
ω#»z ∧ r.#»
i
= r.ω.h
tanα.#»z + #»
ji
= r.ω.
"
sinα
cosα.(cosα.w#»+sinα.#»v )+cosα
cosα(cosα.#»v −sinα.w)#»
#
= r.ω. 1 cosα.#»v
On considère en M un élément de surface dS . Sur cet élément de surface s’exerce un effort élémentaire# » dF27→1.
Cette action est dans le plan (M,m,#» #»n ). Elle est orientée de telle façon que sa composante tangentielle s’oppose à la vitesse de glissement de 1/2. On appelleγson angle par rapport à la normale#»n .
On appelle p la pression de contact et f le coefficient de frottement entre la vis et l’écrou. Exprimer # »
dF27→1en fonction de ces paramètres.
S’il y a glissement alors,
dF# »27→1=−p.dS.#»n + f.p.dS.m#»
Isolons la vis et faisons le bilan des actions mécaniques qui lui sont exercées:
• Action de l’utilisateur:
Fu→1
=
O
( F.#»z C.#»z
)
• Action de l’écrou sur la vis:
F2→1
=
O
( #»
R2→1
M#»(O,2→1)
)
Le système étant à l’équilibre nous pouvons lui appliquer le principe fondamental de la statique dans le repère galiléen lié à l’écrou:
Fu→1
+
F2→1
=
O
( F.#»z C.#»z
) +
O
( #»
R2→1
M#»(O,2→1)
)
=
0
#»R2→1+F.#»z = #»
0 ⇒ #»z. Z # »
dF27→1+F = 0 Z
p.(−#»n + f.m).#» #»z.dS = −F Z
p.(cosβ.cosα− f.sinα).dS = F
⇒
Z
p.dS = F
(cosβ.cosα− f.sinα)
3. DIRECTION DES EFFORTS SUR LE FILET D’UNE VISTABLE DES MATIÈRES 6/12 On assimilera dS à un élément de surface ayant pour l’une de ses dimensions la largeur du flanc de filet, ce qui permettra de sortir le rayon r de l’intégrale
M#»(O,2→1)−C.#»z = #»
0 ⇒ C= M#»(O,2→1).#»z
C =
Z OM# »∧# » dF27→1
.#»z = Z
p. θ
2.π.#»z +r.#»i
∧p (−#»n + f.#»v )
.#»z.dS = Z
p.r.#»i ∧(−#»n + f.#»v ).#»z.dS
= r.
Z
p.(cosβ.#»v + f.w)#» .#»z.dS =r.
Z
p.(cosβ.sinα+ f.cosα).dS =r.
Z
p.(cosβ.sinα+ f.cosα).dS
d’où
C=r.(cosβ.sinα+ f.cosα). Z
p.dS =r. cosβ.tanα+ f
cosβ.cosα− f.sinα.F =r.cosβ.tanα+ f cosβ− f.tanα.F On appelle f′le coefficient fictif de frottement défini par f′=tanϕ′= f
cosβ
C = cosβ.tanα+ f
cosβ− f.tanα.r.F = tanα+tanϕ′ 1−tanϕ′.tanα.r.F
C=r.F.tan(α+ϕ′)
Une liaison hélicoïdale est dite irréversible si elle reste immobile lorsquŠon applique un effort axial seul (F,0 et C=0).
Déterminons la condition sur l’angle d’hélice pour que le système ne soit pas réversible.
L’équilibre des moments en projection sur l’axe (O,#»z ) donne:M#»(O,2→1).#»z =0
Si la vis se déplaçait dans le sens de F, elle tournerait dans le sens positif. L’action de # »
dF27→1 s’oppose à ce déplacement d’où# »
dF27→1= p.dS.(−#»n − f.#»v ). En utilisant les calculs précédents:
M#»(O,2→1).#»z =r.
Z
p.(cosβ.sinα−tanγ.cosα).dS d’où cosβ.sinα−tanγ.cosα=0 ce qui donne tanγ= cosβ.sinα
cosα =cosβ.tanα.
Pour qu’il n’y ait pas glissement, l’angle d’adhérenceγdoit être inférieur à l’angle de glissementϕainsi: cosβtanα <tanφ α <arctan f
cosβ
!
4. ETUDE STATIQUE DU SYSTÈMEMAXPID TABLE DES MATIÈRES 7/12
4 Etude statique du système Maxpid
OBJECTIF :Calcul du couple théorique du moteur pour maintenir l’ensemble en équilibre.
HYPOTHÈSES
• On est à l’équilibre
• On néglige l’action mécanique de la pesanteur sur l’ensemble des pièces autres que les masses concentrées
• Toutes les liaisons sont considérées comme parfaites
• Le moteur exerce entre 4 et 3 un moment noté Cm, dirigé selon #»x1. En D, une masse ponctuelle est accrochée (masse m, direction de la pesanteur−#»y0)
Q - 1 : Tracer le graphe de structure du mécanisme
0
1 2 3
4
Pivot (B,#»Z0)
Pivot glissant (C,#»Z0) hélicoïdale
(O,X#»1)
Pivot (O,#»X1)
Sphérique à doigt (0,#»X1)
Gravitation
#»g =−#»Y0
C#»4→3=Cm.#»X1
Q - 2 : Donner les torseurs des actions mécaniques transmissibles par chacune des liaisons présentes dans le schéma cinématique.
F1→0
=
B
X10 L10
Y10 M10
Z10 0
B1
=
B
( X10.#»
X1+Y10.#»
Y1+Z10.#»
Z1
L10.#»
X1+M10.#»
Y1
)
F2→1
=
C
X21 L21 Y21 M21
0 0
B1
=
C
( X21.#»X1+Y21.#»Y1 L21.#»
X1+M21.#»
Y1
)
F3→2
=
O
X32 p 2.πX32 Y32 M32
Z32 N32
B1
=
O
X32.#»
X1+Y32.#»
Y1+Z32.#»
Z1
p
2.πX32.#»X1+M32.#»Y1+N32.#»Z1
4. ETUDE STATIQUE DU SYSTÈMEMAXPID TABLE DES MATIÈRES 8/12
F4→3
=
O
X43 0 Y43 M43
Z43 N43
B1
=
O
( X43.#»X1+Y43.#»Y1+Z43.#»Z1 L43.#»
X1+M43.#»
Y1+N43.#»
Z1
)
F4→0
=
O
X40 L40 Y40 0 Z40 0
B1
=
O
( X40.#»X1+Y40.#»Y1+Z40.#»Z1 L40.#»X1
)
Q - 3 : Proposer une méthodologie pour atteindre l’objectif : (isolements à effectuer, équations à écrire,. . .)
Nous avons au total 23 inconnues d’efforts dans les liaisons et une inconnue liée au couple moteur. Il nous faut donc 24 équations indépendantes pour résoudre complètement le problème. Nous pouvons obtenir 24 équations, en isolant 4 sys- tèmes de solides indépendants et en leur appliquant le principe fondamental de la statique.
Q - 4 : Déterminer l’expression de Cmen fonction deθ, deαet des paramètres géométriques constants.
−
→x0
−
→y0
−
→z1 →− z0
−
→x1
−
→y1
α →−
x0
−
→y0
−
→z2 →− z0
−
→x2
−
→y2
θ →−
x1
−
→y1
−
→z2 →− z1
−
→x2
−
→y2
θ−α
4.1 On isole la pièce 1
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 1 – Efforts de liaisons #»F(0→1)
– Efforts de liaisons #»
F(2→1)
– Action mécanique de la gravitation :
Fg→1
= Dn
−m.g.#»y0 o
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 1 dans le repère supposé galiléenR(O,#»x0,#»y0,#»z0):
F0→1
+
F2→1
+
Fg→1
=
0
Exprimons alors cette égalité au point B:
Fg→1
=Dn
−m.g.#»
Y0
o=
B
−m.g.#»
Y0
# » BD∧
−m.g.#»
Y0
=
B
−m.g.#»
Y0
L.#»
X2∧
−m.g.#»
Y0
=
B
( −m.g.#»
Y0
−m.g.L.cos(θ)#»Z0 )
F2→1
=
C
( X21.#»
X1+Y21.#»
Y1
L21.#»X1+M21.Y#»1 )
=
B
X21.#»
X1+Y21.#»
Y1
L21.#»
X1+M21.#»
Y1+ # »
|{z}BC
l.#»X2
∧ X21.#»
X1+Y21.#»
Y1
F2→1
=
B
( X21.#»X1+Y21.#»Y1 L21.#»
X1+M21.#»
Y1+l.(−X21.sin(θ−α)+Y21.cos(θ−α))#»
Z0
)
4. ETUDE STATIQUE DU SYSTÈMEMAXPID TABLE DES MATIÈRES 9/12
ce qui nous conduit au système:
X10 = X21−m.g.sin(α) Y10 = Y21−m.g.cos(α)
0 = Z21
L10 = L21 M10 = M21
0 = l.(−X21.sin(θ−α)+Y21.cos(θ−α))−m.g.L 4.2 On isole la pièce 2
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 2 – Efforts de liaisons #»
F(1→2)
– Efforts de liaisons #»
F(3→2)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 2 dans le repère supposé galiléenR(O,#»x0,#»y0,#»z0):
F3→2
+
F1→2
=
0
⇒
F3→2
=
F2→1 Exprimons alors cette égalité au point O:
F2→1
=
C
( X21.#»X1+Y21.#»Y1
L21.#»X1+M21.#»Y1
)
=
O
X21.#»X1+Y21.#»Y1
L21.#»X1+M21.#»Y1+ OC# »
|{z}
λ.#»X1
∧
X21.#»X1+Y21.#»Y1
F2→1
=
O
( X21.#»X1+Y21.#»Y1 L21.#»
X1+M21.#»
Y1+λ.Y21#»
Z0
)
ce qui nous conduit au système:
X32 = X21
Y32 = Y21 Z32 = Z21
p
2.π.X32 = L21 M32 = M21
N32 = λ.Y21
4.3 On isole la pièce 3
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3 – Efforts de liaisons #»
F(4→3)
– Efforts de liaisons #»
F(2→3)
– Le couple moteur (
FC
m
)
=
O
( #»0 Cm#»
X1
)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléenR(O,#»x0,#»y0,#»z0):
F4→3
+
F2→3
+
(F#»C
m
)
=
0
◦ Exprimons alors cette égalité au point O:
ce qui nous conduit au
système:
X43 = X32
Y43 = Y32 Z43 = Z32
Cm = p 2.πX32
M43 = M32 N43 = N32
4.4 On isole la pièce 4
5. EMBRAYAGE TABLE DES MATIÈRES 10/12
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4 – Efforts de liaisons #»F(0→4)
– Efforts de liaisons #»
F(3→4)
– Le couple moteur− (
FC
m
)
=
O
( #»
0
−Cm#»
X1
)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 4 dans le repère supposé galiléenR(O,#»x0,#»y0,#»z0):
F0→4
+
F3→4
− (
FC
m
)
=
0
F4→0
+
F4→3
+ (
FCm )
=
0
◦ Exprimons alors cette égalité au point O:
ce qui nous conduit au système:
X40+X43 = 0 Y40+Y43 = 0 Z40+Z43 = 0 L40+Cm = 0 M43 = 0 N43 = 0
Nous obtenons alors un système de 24 équations à 24 inconnues. Le rang du système est a priori de 24. Le système est donc isostatique: tous les actions mécaniques sont donc déterminables. Reprenons le système global:
X10 = X21−m.g.sin(α) Y10 = Y21−m.g.cos(α)
0 = Z21 L10 = L21
M10 = M21 0 = l.
−X21.sin(θ−α) +Y21.cos(θ−α)
−m.g.L
X32 = X21 Y32 = Y21
Z32 = Z21 p
2.π.X32 = L21 M32 = M21
N32 = λ.Y21
X43 = X32 Y43 = Y32
Z43 = Z32 Cm = p
2.πX32 M43 = M32
N43 = N32
X40+X43 = 0 Y40+Y43 = 0 Z40+Z43 = 0 L40+Cm = 0 M43 = 0 N43 = 0 On rappelle que le but est de trouver le couple moteur Cmen fonction des masses m et des anglesαetθ.
M43 = 0 N43 = 0 M32 = 0 N32 = 0 M21 = 0 M10 = 0
Y21 = 0 Z21 = 0 Y32 = 0 Z32 = 0 Y43 = 0 Z43 = 0
Y40 = 0 Z40 = 0
Y10 = −m.g.cos(α) X21 = − m.g
sin(θ−α).L l X32 = − m.g
sin(θ−α).L l X43 = − m.g
sin(θ−α).L l
X10 = −m.g
sin(α)+ 1 sin(θ−α).L
l X40 = m.g
sin(θ−α).L l Cm = − p
2.π. m.g sin(θ−α).L
l L21 = − p
2.π. m.g sin(θ−α).L
l L10 = − p
2.π. m.g sin(θ−α).L
l L40 = p
2.π. m.g sin(θ−α).L
l
5 Embrayage
5.1 Effort presseur
Pour transmettre un couple par friction, un effort presseur#»F =−F.#»z . Si on suppose la pression p uniforme entre les deux disques:
#»F =−F.#»z = Z
S
p.# » dS =
Z 2.π θ=0
Z R ρ=r
p.ρ.dρ.dθ.(−#»z )=−p.π.
R2−r2
6. FORCES HYDRAULIQUES SUR UN SAFRAN TABLE DES MATIÈRES 11/12
5.2 Géométrie 5.3 Couple de friction
Les disques étant en mouvement relatif, un élément de surface dS produit un effort tangentiel dT qui s’oppose au mouvement et proportionnel à#»
l’effort normal :
d#»T =dT.#»v = f.p.dS.#»v = f.p.ρ.dρ.dθ.#»v Ainsi le moment d#»
M(O,d#»T )au point O créé par l’élément d#»
T , s’écrit:
d#»
M(O,d#»T ) = d#»
M(M,dT )#» + # » OM∧d#»
T = #»
0 +ρ.#»u ∧ f.p.ρ.dρ.dθ.#»v
= f.p.ρ2.dρ.dθ.#»z M#»(O,p) =
Z 2.π θ=0
Z R ρ=r
f.p.ρ2.dρ.dθ.#»z = 2
3.π.f.p.
R3−r3 .#»z M#»(O,#»F ) = 2
3.f.F.R3−r3 R2−r2.#»z
6 Forces hydrauliques sur un safran
6.1 Schéma cinématique 6.2 Modélisation
On modélise la résistance de l’eau au déplacement du safran, en tout point P de sa surface, par un effort élémentaire : d#»
F(eau→2) = p.dS.#»x2où p est une pression proportionnelle à la masse volumique de l’eau et au carré de la vitesse de déplacement du point P par rapport à la coque : p=k.ρ.V#»(P2∈2/1). On cherche alors à déterminer la résultante du torseur des actions de l’eau sur le safran du gouvernail que l’on modélise par une plaque rectangulaire longueur l et de hauteur h.
Aussi, #»V(P∈2/1) = V#»(B∈2/1)+PB# »∧#»
Ω(2/1)=(y.#»y2−z.#»z2)∧θ˙21.#»z2 =y.θ˙21.#»x2
6.3 Torseur des actions de l’eau sur le gouvernail
Au point B, le torseur des actions de l’eau sur le gouvernail à pour expression:
Feau→2
=
B
R
Sd#»
F(eau→2)
R
S
# » BM∧d#»
F(eau→2)
=
B
Rl y=0
R0
z=−hk.ρ.(y.θ˙21)2.dy.dz.#»x2 Rl
y=0
R0
z=−h(y.#»y2+z.#»z2)∧k.ρ.(y.θ˙21)2.dy.dz.#»x2
=
B
k.ρ.θ˙221.h.l3 3.#»x2
−k.ρ.θ˙212 . h2.l3
6 .#»y2+h.l4 4 .#»z2
6. FORCES HYDRAULIQUES SUR UN SAFRAN TABLE DES MATIÈRES 12/12
6.4 Axe central du torseur
Nous sommes bien en présence d’un glisseur puisque le moment est orthogonal à la résultante. Déterminons l’axe central du torseurs, i.e l’ensemble des points tels que le moment est minimum ou tel que le moment est colinéaire à la résultante :
Axe Central :AC=n
I(x,y,z)/#»
Reau→2∧#»
M(I,eau→2) = #»
0o
#»Reau→2∧M#»(I,eau→2) = #»Reau→2∧hM#»(B,eau→2)+IB# »∧#»Reau→2
i
=
k.ρ.θ˙212 2
.h.l3 3.#»x2∧
"
−h2.l3
6 .#»y2− h.l4
4 .#»z2−(x.#»x2+y.#»y2+z.#»z2)∧h.l3 3 ∧#»x2
#
=
k.ρ.θ˙212 2
.h2.l6
36.#»x2∧−2.h.#»y2−3.l.#»z2+4.(y.#»z2−z.#»y2)
=
k.ρ.θ˙212 2
.h2.l6
36 .−(2.h+4.z).#»z2+(3.l−4.y).#»y2
#»Reau→2∧#»
M(I,eau→2) = #»
0 ⇒ y= 3
4.l et z=−h
2 ⇒ AC=
( (x,3
4.l,−h
2)/x∈R )
