Universit´e Lyon I
CAPES de Math´ematiques 2007 Ecrit ANALYSE
Elements de topologie et analyse fonctionnelle Adh´erence, compacit´e, connexit´e
Exercice 1. Pour cet exercice, nous supposons que E un espace vectoriel norm´e. Remarquons que la plupart des r´esultats sont n´eanmoins valables dans le cadre plus g´en´eral des espaces m´etriques.
1) SoitAune partie non vide de E. D´esignons parB(x, r) la boule ouverte de centrexet de rayonr dansE. PosonsOn =S
x∈AB(x,1/n) pourn∈N∗. Montrer queA =T
n∈N∗On. En d´eduire que tout ferm´e est une intersection d’ouverts. Peut-on dire que tout ouvert non-vide est une r´eunion de ferm´es?
2) Montrer que si un sous ensemble deEest compact alors il est complet. Qu’en est-il de la r´eciproque?
3) Soit (xn)n une suite deE convergent vers x∈E. Montrer que l’ensemble {xn :n∈N} ∪ {x} est compact. Pouvez-vous donner une autre d´emonstration siE est un espace vectoriel de dimension fini?
Exercice 2. 1) Pour les ensembles suivants, v´erifier s’ils sont connexes :
a) QdansR, b) {(x, y)∈R2 :xy = 1} ∪ {(x, y)∈R2 :y = 0} dans R2, c) {(x, y)∈R2: x2+y2 <
1} ∪ {(x, y)∈R2:x= 1}dansR2, d){(x, y)∈R2:xouy∈R\Q} dansR2. 2) Montrer qu’un ensemble convexe est connexe.
3) SoientA, Bdes sous-ensembles deRnetAconnexe. Montrer que siA⊂B⊂AalorsBest connexe.
Exercice 3. 1. Montrer qu’il y a ´equivalence pour X espace m´etrique (il suffit en fait que X soit topologique) entre
i) Toute application continueϕ:X −→Zest constante.
ii)X est connexe.
2. A l’aide du r´esultat pr´ec´edent montrer :
i) siC connexe dansX etf continue surX alorsf(C) connexe ; ii) le r´esultat de l’exercice 2.3 ;
iii) siA, B connexes dansX alorsA×B est connexe dansX×X ;
iv) siA, B sont connexes dansX tels queA∩B6=∅alorsA∪B est connexe.
Exercice 4. SoitXun ouvert d’un espace vectoriel norm´eE. Montrer queX est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs. (Indication : fixera∈X et consid´ererA={x∈X :xreli´e `aapar un chemin dansX}.)
Exercice 5. Red´emontrer `a l’aide da la connexit´e le r´esultat classique : “f : R −→ R continue, in- jective =⇒f strictement monotone”.
Indication : Consid´erer F :R2 −→R, (x, y)7−→f(x)−f(y) etC={(x, y)∈R2: x > y}. Montrer queF(C) est un connexe de R. En d´eduire le r´esultat.
Exercice 6. Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, π] muni de la norme kfk2 = qRπ
0 |f(t)|2dt. Posonsfn(t) = sin(nt),n∈N,t ∈[0, π]. Calculerkfnk2 etkfp−fqk2 pour (p, q)∈N2. Montrer que la boule ferm´eB(0,p
π/2) n’est pas compacte et en d´eduire qu’aucune boule ferm´ee deE n’est compacte. Quelle propri´et´e deE explique cette situation?
Exercice 7. Soient K, F ⊂ Rn des parties non vides, K compact et F ferm´e. Montrer qu’il existe a∈K etb∈F tel que ka−bk= dist(K, F) (k · knorme quelconque surRn). Que peut-on dire siK est seulement ferm´e?
Exercice 8. SoientDune droite dans R2de pente irrationnelle. Montrer que dist(D,Z2) = 0.
Espaces vectoriels norm´es, de Banach, applications lin´eaires
Rappel : dans toute cette partie, si (X,k · kX) est un espace vectoriel norm´e, etA:X−→Xune applica- tion lin´eaire continue, alors la norme induite park·kXdeAest d´efinie parkAk= supx∈X\{0}kAxkX/kxkX. Sans autre mention, c’est cette norme qu’on demandera de calculer pour une application lin´eaire.
1
Exercice 9. SoientEun espace vectoriel norm´e de dimension finie et (xn)nune suite born´ee d’´el´ements de Eadmettant une seule valeur d’adh´erence. Montrer que la suite converge. Peut-on supprimer l’hypoth`ese que la suite est born´ee?
Exercice 10. Soit C([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1] muni des applications N1:X −→R+,f 7−→R1
0 |f(t)|dtetN∞:X −→R+,f 7−→supt∈[0,1]|f(t)|. V´erifier que ces deux appli- cations d´efinissent bien des normes surC([0,1]). On d´efinit une suite de fonctions (fn)n parfn(x) =xn sur [0,1]. CalculerN1(fn−fn+p) pour tout (n, p)∈N2. Est-ce que la suite (fn)n converge dans l’espace C([0,1]) muni de la normeN1 (notons cet espace (C([0,1]), N1))? Est-ce que (C([0,1]), N1) est un es- pace complet? Est-ce que la suite (fn)n converge dans (C([0,1]), N∞)? Les normes N1, N∞ sont-elles
´equivalentes surC([0,1])?
Exercice 11. 1) Nous munissons Cn de la norme kxkp = pPp n
k=1|xk|p o`u x= (x1, . . . , xn) et p ≥1 (pour l’in´egalit´e triangulaire on pourra v´erifier celle-ci pour les cas p∈ {1,2,∞} ; pour les autres cas, c’est l’in´egalit´e de Minkowski que nous admettons ici). Montrer que (Cn,k · kp) est un espace de Banach.
2) Soitl l’espace des suites{x= (xn)n⊂R:kxk=pP∞
n=1(n+ 1)|xn|2<∞}. On admet quelmuni dek · kest un espace vectoriel norm´e.
a) Soit (x(n))nune suite de Cauchy dans (l,k · k). Montrer que pour toutk∈N, (x(n)k )n admet une limite, soitxk cette limite. Soitε >0, montrer que pour toutm∈Nil existe unN ∈Ntel que pour tout n≥N : Pm
k=1(k+ 1)|x(n)k −xk|2 < ε. En d´eduire que x= (xk)k ∈ l (on pourra utiliser le fait qu’une suite de Cauchy est born´ee), puis que limn→∞x(n)=xdans (l,k · k). Conclusion?
SoitKun compact deR. Montrer quel1={x∈l:x1∈K}est une partie compl`ete del. SiK={0}, calculer la distance de (1,1/22,1/32, . . .) `a l1.
b) Soit S : l −→ l, (x1, x2, . . .) 7−→ (0, x1, x2, . . .). Montrer que S est une application lin´eaire et continue. Calculer sa norme.
c) SoitT : l −→ R, (x1, x2, . . .) 7−→ P
n≥1anxn avec a ∈ l. Montrer que S est une application lin´eaire et continue. Calculer sa norme.
Exercice 12. On munitRnde sa structure d’espace vectoriel euclidien. Calculer les normes induites par la norme deRn des applications suivantes.
1. L1:Rn −→R,x7−→(a, x), o`ua∈Rn est fix´e.
2. L2:R3−→R3,x7−→a∧x, o`ua∈R3est fix´e.
3. Soit n = 2, et soient D1, D2 deux droites de R2 passant par (0,0) non-confondues et non- orthogonales. SiP est la projection oblique deR2surD1 parall`element `a D2 calculerkPk.
Exercice 13. Soit A ∈ Mn(R) et fA : Rn −→ Rn, X 7−→ AX. D´eterminer la norme induite de fA si on muniRn respectivement dekXk1=Pn
k=1|xk|, puis dekXk∞= maxk=1,...,n|xk|.
Exercice 14. SoitE=R[X], l’espace vectoriel des polynˆomes r´eels. On consid`ere sur El’application N :P 7−→X
n≥0
|P(n)(0)|
n! . Montrer que c’est une norme. Notons alorskPk=N(P).
1) SoitD :E −→ E,P 7−→P0. En calculant kekk et kDekk pourek =Xk/k, montrer queD n’est pas continue en 0. En d´eduire queD n’est continue en aucun point.
2) Montrer queD:Rn[X]−→Rn[X], o`uRn[X] est l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e au plus n, est continue pour tout choix de norme (sans utiliser le th´eor`eme qui dit que toute application lin´eaire sur un espace vectoriel de dimension finie est continue...).
Exercice 15. On munit C([0,1]) de la norme sup. Soit T : C([0,1]) −→ R, f 7−→ R1/2
0 f(t)dt− R1
1/2f(t)dt. Apr`es avoir v´erifi´e queT est lin´eaire et continue, calculer sa norme.
Exercice 16. SoitX ={f ∈C(R) :x7−→(1 +|x|2)|f(x)| soit born´ee}. On pose N(f) = supx∈R(1 +
|x|2)|f(x)|. V´erifier que c’est une norme, puis montrer que la forme lin´eaire L : X −→ R, f 7−→
R+∞
−∞ f(t)dtest continue et calculer sa norme.
Exercice 17. Soit E = C([0,1]) muni de la norme kfk∞ = supx∈[0,1]|f(x)|, f ∈ E. Pour f ∈ E, soit ϕ(f) la fonction d´efinie sur [0,1] par ϕ(f)(x) =Rx
0
p1 +|f(t)|dt. Montrer queϕadmet un unique
point fixef0∈E. D´eterminerf0 (se ramener `a une ´equation diff´erentielle).
Exercice 18. (Fonction exponentielle sur un espace de Banach.) Soit A ∈ (Mn(R),k · k). On sup- pose que la norme v´erifie la condition de sous-multiplicativit´e kABk ≤ kAkkBk pour A, B ∈ Mn(R).
Montrer que 1. exp(A) :=P
n≥0 1
n!Anconverge normalement et quekexp(A)k ≤expkAk. En d´eduire que exp(A)∈ Mn(R).
2. exp(0Mn(R)) =I et exp(A+B) = exp(A) exp(B) siAB=BA.
3. (Bonus) Montrer que l’application R −→ Mn(R), t 7−→ exp(tA) est diff´erentiable et calculer sa d´eriv´ee.
4. siλest valeur propre deAalors exp(λ) est valeur propre de exp(A).
5. Calculer exp(A) pour les matrices suivantes A=
0 1 1
0 0 2
0 0 0
, B =
1 0 0 0 2 0 0 0 1
, C=
−1 1 2
0 0 1
−1 1 1
, D=
1 1 0
0 1 0
0 0 2
,
Orthogonalit´e
Exercice 19. Polynˆomes de Legendre. Nous munissons Rn[X] (o`u n est un entier naturel fix´e) de la norme kpk2 = (R1
−1|p(t)|2dt)1/2. Justifiez rapidement que l’on obtient ainsi un espace de Hilbert.
SoitPj(t) =2j1j!
dj
dtj(t2−1)j. CalculerP0, P1, P2.
a) Apr`es avoir justifi´e quePj∈Rn[X] pour 0≤j≤n, montrer que la famille{Pj}nk=0 forme une base orthogonale de (Rn[X],k · k2). SoitKj =Pj/kPjk2, 0≤j ≤n. Existe-t-il un autre moyen de retrouver les fonctionsKj sans utiliser la d´erivation?
b) Montrer quePjposs`ede exactementjz´eros dans l’intervalle ]−1,1[ (par l’absurde on pourra supposer quePjchange de signe enl≤j−1 points de ]−1,1[, il existe alors un polynˆomeg(t) = (t−t1)· · ·(t−tl) tel quePjg est de signe constant sur ]−1,1[, conclure).
c) Soient t1 < · · · < tj les j z´eros diff´erents de Pj. Soit Lk(x) = Qj i=1,i6=k
t−ti
tk−ti, 1 ≤ k ≤ j, les polynˆomes de Lagrange associ´es `a{t1,· · · , tj}etλk=R1
−1Lk(t)dt. Montrer que pour toutp∈Rj−1[X], R1
−1p(x)dx=Pj
k=1λkp(tk).
d) Montrer que pour tout p ∈ R2j−1[X], R1
−1p(x)dx = R1
−1r(x)dx, ou r est le reste de la division euclidienne depparPj. En d´eduire queR1
−1p(t)dt=Pj
k=1λkp(tk) (c’est la formule composite de Gauss- Legendre pour le calcul approch´e d’int´egrales, on observe que l’on “double” le degr´e des polynˆomes qui sont exactement int´egrables).
(Remarque : Pour plus de renseignements, consulter J.P. Demailly, Analyse num´erique et ´equations diff´erentielles. On y trouvera aussi que la m´ethode ne donne en g´en´eral plus l’int´egrale exacte quandf est un polynˆome de degr´e sup´erieur `a 2j−1.)
Suite (extraite du CAPES 2000) :
Nous consid´eronsRn[X] comme sous-espace vectoriel de C([−1,1]). Ce sous-espace ´etant de dimension finie, on noteπn le projecteur orthogonal deC([−1,1]) surRn[X].
e) A l’aide du Th´eor`eme de Stone-Weierstrass, montrer que, quelle que soit la fonctionf ∈C([−1,1]), la suite (πn(f))n converge versf au sens de la normek · k2.
On rappelle (voir a)) que (Kj)0≤j≤n est une base deRn[X].
f) Montrer que pour tout entier naturelnet tout ´el´ementf ∈C([−1,1]) πn(f) =
n
X
j=0
hf, KjiKj et kπn(f)k=2
n
X
j=0
hf, Kji2.
g) Montrer que quelle que soit la fonctionf ∈C([−1,1]), la s´erie de terme g´en´eralhf, Kji2 converge et que l’on a
+∞
X
n=0
hf, Kni2=kfk22. Quelle est la limite quandn→+∞deR1
−1f(t)Kn(t)dt?
![I.1. (x, t) 7→ f (x − t)g(t) de R ×[−π, +π] dans C est continue et born´ee donc le th´eor`eme de continuit´e sous le signe R](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)