Master 1 EADM 2010-2011 CAPES externe
UE 8 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Alg` ebre 7 Th` eme : Nombres complexes
L’exercice propos´e au candidat
Le plan est rapport´e au rep`ere orthonorm´e direct (O,~i,~j).
1. R´esoudre dans C les ´equations suivantes : (a) iz−iz+i = 0,
(b) iz−iz+i = +1, (c) iz−iz+i = −1, (d) iz−iz+i = −i, (e) iz−iz+i = z.
2. Soit M le point d’affixe z et M0 le point d’affixe z0= iz−iz+i.
(a) Quel est le lieu de M0 quand M parcourt l’axe des ordonn´ees ? (b) Simplifier et interpr´eter g´eom´etriquement t = Arg(zz00+1−1).
(c) Calculer l’angle t quand M est sur l’axe des abscisses. Qu’en d´eduit on ?
(d) Montrer que si M est dans le demi-plan sup´erieur, alors M0 est dans le disque unit´e.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Indiquer les m´ethodes et les savoirs mis en jeu par cet exercice.
2. Visualiser, `a l’aide par exemple d’un logiciel de g´eom´etrie dynamique, l’application z 7→z−iz+i. On pourra par exemple calculer l’image d’un point libre mobile ainsi que celle d’un quadrillage.
3. Pr´esenter la solution de la question 2c.
4. Proposer trois exercices sur le th`eme des nombres complexes.
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