UNIVERSITE HASSAN li-MOHAMMEDIA FACULTE DES SCIENCES BEN M'S11<

UNIVERSITE HASSAN li-MOHAMMEDIA FACULTE DES SCIENCES BEN M'S11<

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET D'INFORM/-\TIO ,UE

COURS D'ANALYSE 2

.,

FILIERE SMP-SMC

~

.

..

,. REDIGE PAR MR ^A.ABKARI

--- · -

^{-·--.-· .. , ... . .. . , .,}

(;;,~,pitre l

Intég.-ale de Riemann

Présentation et définition :

Supposons tout d'abord le cas d' une fonction f continue et non décroissante sur [a, bj e:t telle que f(a) est positif.

y +

..

On divise l'intervalle(~ b] en n intervalles par les points x₀,x_{1 , ..} ·x,,=b et considérons les deux sommes:

izn~Rl n-1

s,,=

L

^(xk+1-x,) _((xk) et Sn=

L

(x,-,-1 - xk) f( Xk;-i)

1=0 k=O

On considère S \a surface définie par:

Considérons maintenant les . points c;E[x,+1,x;] pour i=I , n-1 et la somme

ra-1

J:,.=

L,

(.x.+1-x₁

)f

(et+,)

l=O

..

Définition

1. l'ensemble cr= (x0 , x1, .. ·

xnJ

est appelé subdivision de l'intervalle [a, b] . 2. S,, et Sn sont les sommes de Darboux.

3. · L. Est appelée somme de Riemann.

4. Lenombre h=max(x;+1-x;) pour i=l , n-1 estappelélepasdelasubdivision.

Remargues

l. On a s.~S~Sn . 2. On a s;,r;.J:.~S.

3. Quand le nombre des nombre h tend vers O. Vérifions que lim S,,-s.=O

x, augmente i.e n « devient grand» ou augmente indéfiniment, le

On a S,,-s.~h(f(b)-f(a)) donc quand ntend vers l'infini h tend vers O.

De plus on a lim S₀=Iim s.=S et comme s;s:;.J:,,i'~-Sn alors lim I,,=S Cette limite commune est appelée intégrale définie de f sur [a, b) et se note :

b

S=

J

^f(x)dx

0

Remarques;

1. La démonstration précédente s'adapterait sans difficulté dans le cas d'une fonction décroissante, ou dont le sens de variation change un nombre fini de fois ou encore qui ne reste pas- positive sur [a, b]. ·

2. Enfait il y a d'autres classes de fonctions intégrables au sens de Riemann, citons deux cas:

Les fonctions continues par morceaux et les fonctions monotones.

Propriétés de l'intœrale

A partir de la définition de l'intégrale on peut établir les propriétés suivantes : 1. Linéarité de l'intégrale

b b b

J

(af(x)+/3g(x))dx=(Xf f(x)dx+/3J g(x)dx

a a a

où ex et

/3

sont deux réels f et g des fonctions intégrables sur [ a, b].

2. Positivité de l'intégrale

b

Si f (x )>0 alors

J

^{f (x )dx est positive}

Q

3. Croissance de l'intégrale

2

---· · ^-

^{.---··---·- ·-}

" r,

· Si

f

(x),;;;g(x) alors

f f(x)dx,;;;f g(x)dx

4. Relation de Chasles

b C b

Soit c un élément de [a, b] alors

J ^f(x)dx= J ^{f (x)dx+} J ^f(x)dx

a a

5. Valeur absolue

Si f(x) est intégrable sur [a, b] alors il en est de même de

If

(x

)1

et ona:

b 1,

If f(x)dxl~J\J(x)jdx

a

6. Inversion des bornes

b o

f ^f(x)dx=- f ^{f(x)dx ..}

a b

7. Inégalités de Schwarz

h h I b 1

]f f(x)g(x)dxl,;;;(J f(x)2dx)2(f

g(x)²

dx)2

Q a a

Formule

de

la

movenne

Proposition:

Soit fune fonction continue sur [a, bJ, alors il existe c dans [a, b] tel que

} b

f

(c)= b-a

J ^f(x)dx

a

Cette valeur de la fonction f est appelée valeur moyenne de f.

Remarque

importante

Si on prend une subdivision régulière de l'intervalle [a, b]

Le

pour tout 0~i~n-1 les intervalles [ x ^;+ 1 • x;] ont la même longueur

On alors . X 1+₁

-x;=-- et

b-a donc n

h=b-a

n .b-a x.=a+i--

' n

Et d'après la définition de l'intégrale on a la formule importante qui sert à calculer des limites de certaines suites :

1 k=n b-a l / ·

liin {-

I

f(a+k-))=-b .

f

^f(x)dx

n k=I n - Q a

3

..

··-·--•---

Exemples_:

Calculer les limites des suites numériques définies par :

,,.. 1 1

u

= L - - -

^{où a et f3} sont des réels strictement positifs.

" k=oncx+kf3

•L-1 l u -

.-

,,,,on +k

.J

^{2 2}

Intégrale de Riemann et primitives

En principe, il est possible de calculer des intégrales en utilisant simplement la définition en termes des sommes de Darboux. Or, ceci est généralement assez lourd et difficile.

Exemple:

1

Calcul de J ₁

= f

^{x; dx pour k=l et k=2,} en utilisant la définition.

0

Primitive d'un fonction continue

Soit DcR et f: D--+R une fonction définie sur D.

Définition :

Une fonëtion F: D--+ IR est une primitive de f dans D si et seulement si : Fest dérivable sur D, et F'

=

f sur D

p~~ition:

Si F et G sont desprimitives de f, alors F-G est une constante SUT tout intervalle

I

Exisœnce d'une primitive :

Théorème :

Toute fonction . continue sur [a, b] possède une primitive, donnée par

X

F(.x)=

If

^(t}dt

0

Intérêt

^d'gge primitive

%

D'après Je théorème précèdent, F(x)=

f

^{f (t)dt} est une primitive de f, or .toute primitive G de f

a

est égale à F, à une constante près.

b

Donc on a

f

J(t)dt=F(b)-F(a)=G,(b)-G(a) . en utilisant la relation de Chasles.

a . . .

Ainsi, la connaissance d'une primitive quelconque F d'une fonction f sur un ensemble D pennet de

4

---· · - ·--···-

^{····--···--··'·· ·-·.}

calcuier ?1mégrale de f sur n'importe quel int•~rvailt [et, b] contenu dans D, en ap:pliqu<1nt la formule:

J

b ^f (t)dt=[ F( x)!=F(b )-F(a)

a

Ainsi, bien que cela soit possible on n'utilise dans la pratique quasiment jamais la définition de

· l'intégrale de Riemann en termes de sommes de Darboux, pour la calculer sauf exceptions.

Pratique du calcul intégral

Primitives des fonctions usuelles : Par dérivation, on vérifie aisément la validité des relations données dans le tableau des primitives usuelles (voir annexe). De même, on vérifie par dérivation (règledechaîne)que:

J

u'(x)f(u(x))dx=F(u(x)) où F(t)=

J

^f(t)dt

Intégration par parties

Proposition :

^pour f et g de classe C¹ 00 a:

b h .

_ f ^J(x)'

^g(x)dx=[f (x)g (x)):-

J

^J(x)g'(x)dx

TT •

Exemple :

C::alculer les intégrales suivantes :

f ^:x2

^{cos ( x) dx}

e,t f

^{x Arctg ( x) dx}

Changement de variable d'intégration :

!

0 ·-

Proposition :

Soit f une fonction définie continue sur I et

cp une bijection sur J à valeurs dans I telle <p et cp-¹ sont de classe. C¹ Alors on a:

q,(b) b

f

f(x)dx=f f(cp(t))cp'(t)dt

,P(D) Q

J

^{cos(.x) ~}

Exemple;

Calculer l'intégrale · 2 ( ) d:x et

f

^{x2\lx2+1 dx}

2-cos x

Application :

Formule de la moyenne généralisée

Cornme application intéressante des changements de variable, considérons le 5

..

-- ·· • --·-- - - - --'

\ Tbéoreme: Soient f et g d~u~fonctions continues sur [a, b) et VxE[a, b] g(x)~0 .Alors

b b

3cE[a,b]:f J(x)g(x)dx=f(c)f g(x)dx

0 a

Intégntion des fractions rationnelles :

Dans ce paragraphe on s'intéresse au calcul des primitives des fractions rationnelles qui sont très importantes dans la pratique. En effet on peut se ramener à ces primitives à l'aide de changement de variable pour calculer les primitives de certaines classes de fonctions.

Soit F(x)=~i:)) une fraction rationnelleetonveutcalculer

f

^F(x)dx

D'abord on décompose F(x) en éléments simples. (pour les détails voir le cours d'algèbre du semestre 1 ).

On sait que F(x) s'écrit comme somme d'éléments simples de 1

ere

et de

icm•

espèce : Intégration d'un élément de première espèce

Il s'agit de calculer I(x)=

f (

dx )" où oc?> I

x-a

Deux cas se présentent alors :

ex= 1, J (x )= ln

(!x-al)+c

( )1-r,

a?> 2, I(x )=-'---'-+c x-a (1-a:) Exemple:

Calculons

f

^{X dx}

(x-l)(x²-4x+4)

Intéption

d'un

élément

de deuxième espèce

Il s'agit de calculer oc;.-1 et p2-4q<0

J(x)

=J

^{Ax+b dx ou·}

(x²

+ px+q)"

Ce calcul peut se faire en quatre étapes:

Première étape

p et q sont des réels tels que

On fait apparaître dans Ax+b la dérivée de x²

+

px+ q en écrivant Ax+ B=~(2x+ p)+B-24 , on obtient ainsi en posant u=x²

+

px-+- p et B-~=i\

2 2 2

6·

J ( )-_{X - - •} ^A.

f _--+

^,h, _J

^{r .. .}

^dx

2 u" (x²

+

px+q )"

I

^dua est i'intègrale d'tl'l éléme111 simple de premJère u

espèce, et il reste à calculer :

f

^dx

K (x)=

(x 2 +px+q)

Deuxième étape

On décompose x²

+

px+ q en somme de deux carrés :

2 2

x²

+

px+q=(x+.E.)

+q-L

2 4

On pose t=(x+.E..) et ₂

w= _vq-4 r-;;

^car

^q-L>o

₄

Troisième étape

K(x)=q,(t)=f • dt (t'+w^{1)" •}

1 t

Si <X=1 alors <P(t)=-Arctg(-)

w w

et on intègre alors

..

Si a;;i: 2 alors on procède par le changement de variable suivant : t= w tan ( e) on obtient :

q,(t)=w¹-21x

f

^l+tan2(e}

^d0=w

^1-2a

f

^{cosz«-2(0)de} que l'on calcule par linéarisation ( l +tan²(0)

f

Quatrième étape

On revient à la variable t, ensuite on revient à x et on regroupe avec la partie de F(x) déjà calculée.

Exemples

Calcul des primitives

Intégrales généralisées

Introduction

Nous avons étudié les propriétés de l'intégrale définie sur un intervalle fermé, borné. Soit I ùn intervalle de l'ensemble des réels, non fermé ou non borné. Nous nous proposons de généraliser la notion d'intégrale à toute fonction f définie sur I, localement intégrable sur I ; i.e intégrable .sur tout

7

.. ··-·-. -··· ····· , ...

···-·•---

intervalle

J=[cx. J3 )c J . . . .. . · " . .

Nous étudierons essentiellement l'intégrale sur deux types d'intervalles; l=[a, b[ ou ]a, b] ou ]a, b[. où a et b sont des réels tels que : a< b et l ""[ a, +co[ ou ]-ro, b].

Ces deux types d'intégrales, dites impropres ou généralisées seront définies conune limites d'intég;rales définies.

Défini1ions

Soit fune fonction localement intégrable sur I=[a, b[. On dit que f est intégrable sur l, si la fonction

X

F(x )=

J

^{f (t)dt} admet une limite finie L quand x tend vers b.

·a

b b

Dans ce cas on dit que l'intégrale

f

^{f (t )dt} est convergente et on a

f

^f(t)dt=L

a

Si L n'existe pas ou elle est infinie on dit que l'intégrale est divergente.

Exemples

1 +oo +oo

J 1

= { i ,

^{J 2}

⁼ 1

^{e -, dt , I 2}

^{= f ✓t}

^{dt , I 2}

⁼

^+oo

^f

^{sin (t) dt}

0

Remarque

Utiliser la définition pour étudier la nature d'une intégrale généralisée, necéssite la connaissance de F ce qui n'est pas toujours possible, nous allons donc chercher d'autres moyens pour étudier la nature de ces intégrales.· ..

. . . '

Critères de

conveœence

Tout d'abord on commence par les fonctions positives.

Théorème,: (De comparaison)

Soient f et g deux fonctions localement intégrables sur [ a, b( telles que O ~ f ~ g . Alors:

b h

Si

J

g(x)dx est convergente alors

f

^f(x)dx est convergente

a

b b

Si

f

^f(x)dx est divergente alors

f

^g(x)dx est divergente.

a

Exemple

+«>

Étudier la nature des intégrales suivantes :

f

^{e_',dt et}

0

Théorème :

(équivalence)

Soient f et g deux fonctions, localement intégrables et positives sur (a, b[ telles que : f

~

g alors 8

le::; deux intégrales

b , b

f

^{f(x)dx et :}

f

^g(x)dx sont de même nature, (Le elles convergent ou divergent

a 0

simultanément ).

E:xemples

importants :

intégrales de Riemann

Proposition :

Soient a>O et bEIR alors

b dt

J - ( )"

est convergente si tx<_l

a b-t

Convergence absolue

b

+«>

f

^dt est convergente si 01 > 1 et

Q t"

Définition :

L'intégrale convergente.

f

^f(x)d:x est dite absolument convergente· sj

a

f

b ^{lf(x)!d:x est} a

Théorème:

Toute intégrale absolument convergente est convergente (la réciproque est fausse).

+m.{) -,.., {)

Exemple :

Étudier la convergence des intégrales I=

J

^{stn t dt et J=}

f

^cos2 1 dt

. O ( O t

Chapitre 2

Équations différentielles Introduction et eénéralîtés

Une équation différentielle d'ordre n est une équation faisant intervenir une fonction y et ses dérivées

/ll

jusqu'à l'ordre n.

Exemples

y'(t)=2y(t), y(x)= ^{) l "}

2

^{x y (x)-Sx}

On pourra vérifier que y (t) =C e²¹ est une solution de la première équation différentielle et que la fonction y(x )=mx²- Sx est une solution de la deuxième équation où m E IR

Dans ce chapitre, on donnera des méthodes pour trouver l'ensemble de toutes les solutions à une certaine classe d'équations différentielles.

9

Éguati2ns

!iifférentiellçs

du premier ordre

une équation différentielle est dite du premier ordre si elle ne fait intervenir que la première dérivée y .

Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle est dite à variables séparables s1 elle peut s'écrire sous la forme suivante:

f (y). ^y' =g(x)

Méthode

de

résolution:

Une telle équation peut s'intégrer facilement: En effet, on écrit y'=~ , puis, svmboliguement,

f(y}.dy=g(x).dx=

f

^f(y)dy=

f

^g(x)dx+C

^..

Il s'agit donc de trouver des primitives F et G de f et de g, et ensuite d'exprimer y en fonction de x et (de C):

F(y)=G(x)+C=y=F-¹(G(x)+C) .

C'est pour cette raison qu'on dit aussi « intégrer >> pour« résoudre >> une équation différentielle.

Exemple: .·

Resoudre pour x> 1, l 'équationdif.férentielle xy'ln(x)=(3ln ((x)+ l)y.)

Équations

différentielles linéaires ·

définition

Une équation différentielle d'ordre n est linéaire si et seulement si elle est de la forme

L(y)=J(x) (*)

avec

L'équation différentielle L (y )=O est appelée l'équation homogène associée à (*)

Proposition

Les s·oluti.ons de l'équation différentielle linéaire L(y)= f(x) est la somme de A et Yp

avec_: h les solutions de l'équation différentielle homogène et Yp une solution particulière de l'équation différentielle (*).

---·--- - -- · · · -

^{.. •···• .. -·}

,,

\

Principe de superposition

Si /(x)==f1(x)+ f 2(x) , une solution particulière est donnée par:

yP=y

₁

+y

₂

où

Y;

est solution deL(y;)=[;(x) pour

i=l,2

On reviendra sur ce principe très important dans les cas particuliers des équations différentielles linéaires du premier et du second ordre.

Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation qui peut s'~crire sous la forme

a(x)y'+b(x)y=c(x)

(E)

où a,b,c sont des fonctions continues sur un même intervalle

I

clR , et on demandera 'if xEl:a(x):;i:0 .

A cette équation différentielle on associe la même équation avec c=O a(x)y'

+b(x)y=O

C'est l'équation homogène associée à.{E), ou équation sans second membre.

. . Méthode

de

résolution

D'abord on résout l'équation homogène associée à (E) :

En effet l'équation homogène est une équation à variables séparables en l'écrivant :

En l'intégrant, on obtient :

et avec KE{+ec,0} -K F(:r)

y- e '

i=-

^b(x)

y

a(x)

ln {1yl)=

f -!~:;

^dx+C

KEIR , F(x)=J _b(x)dx a(x)

Ensuite on cherche une solution particulière de l'équation (E). Pour cela on va utiliser

la

méthode de la variation de la

constante,

11

. ....,..._,..,...

______________________

^{-··· • ·} ···•···•· ..

füll:u•ion particçlière

de

l'égngtion gvec seçond

memb•"' : On distingue deux cas

particuliers

et

une méthode :énérale

➔ Si f (x)=exp(kx)P(x) où kEIR et PEIR[X] un polynôme alors on cherche une solution particuliêre sous la forme :

yP=exp(kx)Q(x), où Q est un polynôme dont on peut préciser son degré de la manière suivante :

• Si k n'est pas racine de (EC), alors deg(Q)==deg(P).

• Si k est l'une des deux racines de· (EC), alors deg(Q)==deg(P)+ l.

• Si k est une racine double de (EC), alors deg(Q)=deg(P)+2.

➔ Si f(x)=Mcos(wx)+Nsin(wx) où M .N , w sont des réels . Alors on distingue encore deux cas :

..

• Si i w n'est pas racine de (EC), alors une solution particulière est de la forme:

yP=acos(wx)+bsin(wx) où a ,b sont des réels à déterminer par identification

• Si i w est racine de (EC), alors une solution particulière est de la forme : Y r=x(a cos (wx )+bsin(w x)) où a et b sont des constantes à déterminer.

-+

En utilisant le principe de superposition : si f(x)==/1(x)+ f2(x) , alors une solution particulière est de la forme:

· Exemples;

• ·-résoudre l'équation différentielle suivante : y"+ y= x+cos (x) sur R .Intégrer l'équation différentielle suivante: y"-2y'+y=xemr où mER

+

méthode de la variation de la constante :

Soient Yi et Y2 deux solutions indépendantes de l'équation homogène, on cherche une solution particulière sous la forme y,,= Ay1

+

B Y2 où A et B sont des fonctions vérifiant

Donc A' et B' sont solutions du système différentiel :

l3

---.--~-·-'··-· · - --· -

^·-·-.....

,,

'

.... -· ... • ,

On cherche une solution particulière sous la forme y =K (x )eFtxl , avec K une fonction à déterminer (d'où le nom « variation de la constante». On trouve que y est solution de (E) si et seulement si :

K '( )_c(x) x - - - e ^-F(xJ ~ k( x -

)-J

- - e ^{c(x) ···F(x)dx}

a(x) a(x)

Exemples

¹⁾ résoudre l'équation différentielle: (sin (x )) y'-(cos(x)) y=x 2). Intégrer l'équation différentielle: y· -2xy= exp(x²)sin (x}

3) Intégrer l'équation différentielle :

y·+

y= y² sin (

x) Équations différentielles

linéaires du 2iem• ordre

On s'intéresse maintenant aux équations différentielles linéaires du 2•=• ordre, mais seulement aux équations différentielles linéaires ou les coefficients a0 • a1 , a₂ sont des constantes réelles.

Définition :

Une équation différentielle linéaire du 2•om• ordre à coefficients constants est une '\

équation différentielle de la fonne.

ay"+ by'

+c=

f(x)

où a,b,c sont des réels avec a:;!:0 etfune fonction continue sur un ouvert I cR L'équation homogène associée est

ay''+by

0

+c=O

Définition;

L'équation ar²

+br+c=O

se nomme

équation caractéristique

^(qu1on notera dans · toute la suite (EC)) de l'équation homogène.

Méthode

de

résolution

On résout d'abord l'équation homogène et ensuite on cherche une solution particulière de l'équation avec second membre.

La résolution de l'équation homogène est donnée par la proposition suivante :

Proposition:

Suivant le signe de Ll.=

b

²

-4ac ,

on les résultats suivants :

• Si .1> 0 : (EC) admet deux racines réelles distinctes r ^I et r2

et la solution de l'équation homogène est donnée par y(x)=A exp(r₁

x)+B

exp(r₂x)

• Si .:1=0 : (EC) admet une racine double rEIR ,et la solution de l'équation homogène est donnée par

y(x

}=(A+

Bx)

exp(rx)

• Si .:1 < 0 : (EC) admet deux racines complexes conjuguées

r

1

=CL+

i f3

et r

2

=

^ot-i

^fJ

^{et la}

solution de l'équation homogène est donnée par y (x )=( Acos(,8 x )+ Bsin( ,tlx )) exp(tx x) où A et B sont des nombres réels.

12

Ce système se résout aisément, ce qui donne A et B'.a., puisA et B par intégration.

Exemple

Résoudre l'équation différentielle

]

y +y=-.-3- sm x

Chapitre 3

SERIES NUMERIQUES

Généralités

Suites et séries numériques sont deux aspects d'un même objet Ce qui signifie que quant à leurs natures, suites et séries sont identiques: il s'agit de fonctions de

IN

dans

IR

ou C .

Ce n'est que l'objet de leur étude qui les différencie.

Étudier la suite (u,,), c'est étudier la limite de

ù,,

en +oo et éventuellement sa monotonie par contre:

Définition

t :

• Étant donné une suite (un), étudier la série

L

^un, c'est étudier la convergence de

:·_,,

la suite ·

S,,=L

^u*

t=O •·.

• Une série

2i

^un est dite convergente ~i la suite (S ,,) associée admet une limite finie ; elle est dite divergente dans tous les autres cas.

• La limite de la. suite (Sn) associée à

L

^u,, est appelée somme de la série et notée

n=n,

Exemple :

Étudier la convergence de la série de terme général u.= a" en fonction de a et déterminer sa somme lorsqu'elle existe.

Proposition :

Si la suite (u,,) ne tend pas vers 0, alors la série

Lu.,

diverge ( la réciproque est fausse)

n-1 ""

Exemples:

On considère la suite (un.) définie par u.= n

+

1. Étudier la série L, u.

14

:soit la ~1ite ""'u

~-= d ^{+ ✓n}

^{· ittüdl6f} la sét'ië-dè terilte général u"

Proposition :

• Si

Lu.

^et

L v,,

sont deux séries convergentes, de somme S et T respectivement ; si 1,. et µ sont deux scalaires, alors la série

L (

^{À u,,}

⁺

^{µ v}

^J

^est

convergente et sa somme est égale à 1,. S

+

µ T

• Si la série

L

^u,, converge et la série

L

^{v" diverge, alors la série}

L,

^{(>.. u,,}

+

^{µv ,,)} diverge

• On ne peut rien dire sur la nature de la somme de deux séries divergentes, elle-peut être convergente ou divergente.

Exemples;

•

Examiner la nature des séries de terme général leur somme.

Même question pour les séries de terme général

Proposition

n 1

u =2

+-

et

n 2"

~ " 1 v,,=2 -

2,, ainsi que

2ⁿ 1

u

= +-

et

n 2"

Les séries _ill-'rr,

L

^{u" et}

Lu,,

sont de même nature, i.e elles convergent ou divergent simultanément

·•·,,En.;dehorsc-de··certains<cas·particuliers~:nous,ne,nous;pouv:ons,,pasqiéterminer;,:iat⁰smitrne:td\une::série.

Cependant un calculateur pourra toujours nous en donner une valeur approchée,. sous réserve que nous ayons montré la convergence de la série, i.e. l'existence de sa somme. Dans la saite nous allons nous consacrer-à établir des critères de con-vergence.

2 Séries ^à tennes

positifs

! tt- • •

' Defimtion :

• Une série estditeàtermespositifssi 'dn~no, u,,~O

• Une série est dite à termes positifs à partir d'un certain rang si :

Proposition :

Critère de. comparaison

Soit

I:u,,

_et

LV"

deux séries à tennes positifs telles que O~un·~v". Alors:

n;.,,n₁₁ n-"n,

•

si la série

LV~

converge, la série

I: u,,

_converge.

~:> ... ^n;.11,

•

si la série

L

^un diverge, la série

I:V,,

_diverge.

n);nG n;:lin•

' ... . ..

· · · ·---

:Emnosition : Critère d'éqt~~1:_a!~nce _{,,. -.,-~.,~}

'

\Soit

L

^{u. et}

L

^{v,, deux séries}

à

termes positifs telles que : un est équivalent à v ⁿ

n~n₀ n~n

0

iAlors les séries sont de même nature.

Proposition :

Critère de d'Alembert

Soit : Alors :

•

^Si

•

^Si

une série à termes positifs telle que :

l < 1 l> 1

la série converge.

la série diverge .

•

^Si

^l=

^l on ne peut conclure (la série peut aussi bien converger que diverger).

Exemples :

Étude de la convergence des séries de terme général : u=-_" n. l

,

^'

2"

u=-_{n '} n

u=-n!

n "

n

Proposition :

Critère de Cauchy

Soit

22

^un une série à termes positifs telle que :

11>ne .· lim

!f;:,,=l .

Alors :

Alors:

• Si l < l

• Si l> 1

la série converge.

la série diverge.

• Si

l=

1 ^on

re

peut conclure (la série peut aussi bien converger que diverger).

Exemples :

Étudier la convergence des séries de tenne général : 3n 2n1·1

u = ( - - )

n 411-l

Proposition :

Critère de comparaison série-intégrale

Soitfune fonction numérique à valeurs réelles, continue, décroissante et positive sur [no +<XJ[

et soit

L

^u" la série définie par son terme général un= f ( n). 1

n>n.

+a,

Alors l'intégrale impropre

f

^{f (x )dx et la série} sont de même nature .

...

16

f,:x~m~iies: Étudie1 la convergence des s~, ;c:s d,~ ir::,, me général : 1

un= n ln(n)' ^et

u - - - - -l

n n(ln(n))2 Proposition : Critère de Riemann

Soit

L

^u" une série numérique à termes positifs.

n>"t1

Sl.

u"

est équivalente à l " , ou '

a

EIR alors la série converge si et seulement si : n

ex> 1

Exemples : Étudier la convergence des séries dont le terme général est

u"

dans les cas suivants:

.., n-1

..

u _n =-=:..ln(--₂ ¹ _/ et

n n

• 4 ( l ) un=nsm -

;Jn

Séries de Leibnitz:

Définition :

On appelle série alternée ou série de Leibnitz toute série numérique réelle

r ^un

telle que:

• u.=(-1

rv.

• v.;;::o "dn~no

• La

suite ( v J est décroissante

• lim v.=O

Pmposition :

Toute série de Leibnitz

n

désigne la somme de la série et S"

= L

^{u k}

k=n,, Deplus

S-S. est du signe de u,,+

₁

Li u.

est convergente et

h;;s.n,

Exemples: Étudier la nature des séries numériques de terme général:

Conven:ence absolue et semi conven:ence ;

• Si la série _{9 ~}

L ^lu,,I

'converge alors la série _~~

r· ^u.

^également

• On dit alors que la série est absolument convergente.

IS-S,,[~

^Un+I où

s

---··· -·-·-·-• ···

^.

• Cependant une série peut ccpv_erger sans que la série des valeu~. aj:>solues cor.verge : On dit alors que la série est semi-convergentë:

Exemples ; Étude des séries de terme général sin(n) u = - -_{r. 3}

n

Chapitre 4

SERIES ENTIERES Généralités

(-J',"

V

=---d-

n ,j n

Les sér1es entières sont des séries de' fonctions particulières très importantes qans la pratique qui méritent une étude à part

i l

\ Définition :

On appelle série entière toute série de fonctions

L,

^{f" (} x) dont le terme général est ldelaforme f"(x)=anx" ,où (an) désigneunesuiteréelleoucomplexeet xER.

!

Comme pour les séries de fonctions on cherche l'ensemble

1

\ 6.=lxER tel que

L

a,,x" converge}

.d est appellé domaine de convergence

Exemples Étudions

les

séries entières de terme général

Lemme d'Abel: Soit

L

a"xn une série entière. On suppose qu'il existe (anx~) soit bornée. Alors :

1. La série

L,

a"x" est absolument convergente pour

lxl<lx

0

I

x0e1R .telquelasuite

2. La série

L,

anx" est normalement convergente pour

lx. l<r

pour tout 0 <r <\x0

I

18

.l

c · - - ··- ·· -·· . - . . • ··---- ---- - ·-- ·-- --- - · - - - - -

1 Tbéorm1e :

Soit

L ^{a .x"}

une. sen~ entière ; alors il e:,..lste

un

uni.que nombre réel R?:-0 \

\

(éventuellement infini) te\ que: · \

l. La série

I_

^a ":x:" converge absolument dans

1-R ,

^{R (. \}

2. La série La "x" diverge si. \x\> R

Définition :

Le nombre Rest appe1é rayon de convergence de la série

Pour déterminer \e rayon de convergence de la série on a le lemme suivant : "

Lemme Hadamard :

^soit

relation suivante:

une série entière. Le rayon de convergence Rest donné par la\

\ l 1.

\a"+

^{l \} ₁.

!'fl-\

-=

1m - -

=

1m ,,₁₁a₁₁

R »-+a:1 a" n-+00

\

·1,

\

Exemples :

déterminer le rayon de convergence de la série entière

L

^{a,.x" dans les} cas suivants :

1 1 l

a=-

a=-

a=-

" n\ ' •

n1 ,

ⁿ 2"

PJWriétés

ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d'intégration de la fonction somme des séries entières.

Continuité d'une

série

entière

Proposition :

Soit

L

^a.x" une série entière de rayon de convergence R et soit f \a fonction définie

+«1

de l'interval\e

1-R.Rl

^dans

R

défmie par f (x )=

L

^{a.x" , alors f est continue}

n=ll

Détivée d

¹

une série entière

19

... -~ -.,,.·

·i ..

l

Proposition : Soit

L

^a,,x" une sériè' entière dè 'rayon de convergen.Cè R et soit f la fonction

+ro

définie de l'intervalle ]-R,R[ dans IR définie par f (x )=

L

a" x" , alors f est dérivable et on a

n=O +al

j

⁰(X )=

L,

^na.xn-l

n=O

Corollaire: Soit

L a"x"

une série entière de rayon de convergence R ; alors f est indéfiniment

. +a, /n)( )

dérivable et l'on a pour tout x dans l'intervalle ]-R,R[, f ( x)

= L - -

₁ ^{x __ xn}

n::::O n ..

Primitive d'une série entière

Proposition : Soit

l'intervalle 1-R,R[ dans IR

une série entière de rayon de convergence R et soit f la fonction définie de ^I'

+«>

définie par f (x )=

1

a,,x" , On considère la fonction F définie par\

i

F(x)=f~x•+I .Alors F'(x)=f(x) pourtoutxdansl'intervalle]-R,R[.

n=O n+]

!

i

Proposition : Soit l'intervalle ]-R,R[

La,,x"

danslR

. . i

une série entière de rayon de convergence R et soit f la fonction définie de ^·1

+oo

définie par f (

x) = L, a,, x"

, On considère la fonction F définie par

n=O

+ao :

F(x)=

I,

~ x n + i • Alors F'(x)= f (x) pour tout x dans l'intervalle ]-R,R[.

n=O

n+

J

Séries de Taylor Problème:

Soit une fonction réel le de la variable réelle x. peut-on trouver une suite réelle (an) et r > 0 tels

+oo

que l'on_ait

f(x)= L a"x"

pourx dans l'intervalle ]-r, r[?

n=O

Si ce problème admet une solution, on dit que f est développable en série entière au voisinage de O.

on peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction définie au voisinage d'un point x0 •

+oo

Existe-il une' suite (a") et

r>O

tels que l'on -art f

(x )= L ^{a,.(x- x}

0 )" pour x dans

.... o

.· 20

-~---~--" ^___

^_, _________ __

l'intervall~ ]:.:1r;: ,-~,

-:~:L?

Dans. l'aftmn:i.tif, on dit que f

e,,,,_

J6·i:Lppahle en .c:érie entière au voisinage

· de Xo_

·: La réponse à ces questions est donnée par la proposition suivante :

\ Proposition : Pour qu'une fonction soit développable en série entière au voisinage d'un point ¹ x0ER , il est nécessaire qu'elle soit de classe C"' dans un voisinage de X₀ et on a: ^Il

"" f(n)( )

f(x)= ~ ^{nto (x-x}

^{0)" 1}

Proposition : Soit f une fonction définie sur ]-r, r[ et de classe C"' au voisinage de 0. On suppose qu'il existe M>O tel que pour tout nEIN , et pour tout x dans ]-r, r[, lf'"l(x)]~M . Alors la

. . ~ f" \

0) ( )n . l d ] [

sene

1..,--,- ^x_

est s1mp ement convergente ans -r, r et on a:

n:O n.

f (x )=

f

l"l(o) ( x )" pour tout x dans l'intervalle J-r, r[.

n=O n!

21

-------

____________ ^.,.. _______ ^-~