1D´efinitions Tabledesmati`eres Alg`ebrelin´eaireChapitreII:Syst`emeslin´eaires

Universit´e de Strasbourg L1S2

Coordonnateur : Sofiane Souaifi Bureau i507, IRMA/UFR math-info Alg`ebre lin´eaire

Chapitre II : Syst`emes lin´eaires

Table des mati` eres

1 D´efinitions 1

2 R´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires 2 2.1 Pr´esentation de la m´ethode de r´esolution d’un syst`eme . . . 2 2.2 Justification de la m´ethode de r´esolution . . . 3 3 Ensemble des solutions d’un syst`eme d’´equations lin´eaires 4 3.1 Le nombre de solutions. . . 4 3.2 Rang d’un syst`eme d’´equations lin´eaires et nombre de param`etres. . . 4

1 D´ efinitions

Dans la suiteKd´esigneR ouC.

D´efinition. Soientn, pPN^˚. Un syst`eme d’´equations lin´eaires `an´equtions etpinconnues est une ´equation de la forme A¨X “ B, o`u A P Mn,ppKq et B P Mn,1pKq sont des matrices donn´ees, et o`u l’on cherche `a d´eterminer la matrice colone X P Mp,1pKq. Plus pr´ecisemment, si A “ paijqi“1,...,n,j“1,...,p, B “

¨

˚

˝ b₁

... b_n

˛

‹

‚et X “

¨

˚

˝ x₁

... x_p

˛

‹

‚, alors le syst`eme A¨X“B s’´ecrit aussi

$

’’

’&

’’

’%

a11x1 ` a12x2 ` ¨ ¨ ¨ ` a1pxp “ b1

a21x1 ` a22x2 ` ¨ ¨ ¨ ` a2pxp “ b2

... ... ... ... ¨ ¨ ¨ ... ... ... ... an1x1 ` an2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` anpxp “ bn

Exemple. Par exemple si on prend A “

ˆ1 2 3 0 1 ´1

˙

etB “ ˆ2

3

˙

alors A¨X “B est un syst`eme d’´equations lin´eaires qui s’´ecrit aussi

"

x1 ` 2x2 ` 3x3 “ 2 x₂ ´ x₃ “ 3 Vocabulaire.

(i) Les x_i sont appel´es les inconnues du syst`eme.

(ii) A est appel´e la matrice associ´ee ou relative au syst`eme.

(iii) B est appel´e le second membre du syst`eme.

(iv) SiB “0n1, on dit que le syst`eme est homog`ene.

(v) SiB ‰0_n1, le syst`emeA¨X “0<sub>n1</sub> est appel´e le syst`eme homog`ene associ´e.

(vi) Le rang du syst`eme est le rang de sa matrice associ´eeA.

(vii) Le syst`eme est dit triangulaire si Aest triangulaire.

(viii) Le syst`eme est dit (bien) ´echelonn´ee si la matrice A est (bien) ´echelonn´ee.

Notation.

1. Pour all´eger l’´ecriture, le syst`eme A¨X “B est not´e pA|Bq. Par exemple, si A “ ˆ1 2 3

0 1 ´1

˙

etB “ ˆ2

3

˙

, on ´ecrit

ˆ 1 2 3 2 0 1 ´1 3

˙ .

2. Sip“1,2,3,4, on note souvent x₁ “x,x₂ “y,x₃ “z,x₄“t.

2 R´ esolution d’un syst` eme d’´ equations lin´ eaires

2.1 Pr´esentation de la m´ethode de r´esolution d’un syst`eme D´efinition. Soient APMn,ppKq etB PMn,1pKq.

(i) Une solution du syst`eme A¨X“B est un vecteur vPK^p tel queA¨v^T “B.

(ii) R´esoudre le syst`emeA¨X “B c’est d´eterminer l’ensemble (dans K<sup>p</sup>) de toutes les solutions de ce syst`eme.

(iii) Deux syst`emes sont ´equivalents s’ils ont exactement le mˆeme ensemble de solutions.

Exemple.

(1) Les vecteursp1,0q,p1{2,1{2q etp2,´1q sont des solutions du syst`eme x`y “1.

(2) L’ensemble des solutions de x`y“1 est tp1,0q `λp1,´1q: λPRu.

Consid´erons le syst`eme

"

x ` y “ 1

2x ´ y “ 3

L’ensemble des solutions de ce syst`eme est le singletontp4{3,´1{3qu.

(3) Les syst`emes

"

x ` y “ 1

2x ´ y “ 3

et "

4x ` y “ 5

sont ´equivalents.

La matrice associ´ee au premier syst`eme est A“

ˆ1 1 2 ´1

˙

et son second membre est B “

ˆ1 3

˙ .

La matrice associ´ee au deuxi`eme syst`eme estA¹ “

ˆ4 1 6 ´3

˙

et son second membre estB¹“

ˆ5 9

˙ . On a

A“

ˆ1 1 2 ´1

˙ ÞÑ

ˆ2 2 2 ´1

˙ L₁ Ð2L₁ ÞÑ

ˆ4 1 2 ´1

˙ L₁ ÐL₁`L₂ ÞÑ

ˆ4 1 2 ´1

˙

L₂Ð3L₂ “A¹ et

B“ ˆ1

3

˙ ÞÑ

ˆ2 3

˙ L₁ Ð2L₁ ÞÑ

ˆ5 3

˙ L₁ÐL₁`L₂ ÞÑ

ˆ5 9

˙

L2 Ð3L2 “B¹ M´ethode de r´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires.

Pour r´esoudre le syst`emeA¨X“B, on ´echelonnepA|Bq.

Exemple (solution unique). R´esoudre

$

&

%

x ` 2y ` z “ 1

2x ` 3y ´ z “ 4

3x ` y ´ z “ 2

Exemple (aucune solution). R´esoudre

$

’’

&

’’

%

x ` y ´ z “ 1

3x ´ y ` z “ 1

x ` 3y ´ 3z “ 1 x ` y ` z “ 1 Exemple (infinit´e de solutions). R´esoudre

"

x ` y ´ z “ 2 y ` z “ 3 2.2 Justification de la m´ethode de r´esolution

2.1 Proposition. SoientAPMn,ppKqet BPMn,1pKq. Alors, pour toutE PGLnpKq, les syst`emes d’´equations lin´eaires pA|Bq et pEA|EBq sont ´equivalents.

D´emonstration. Soit v PK^p une solution depA|Bq. Alors A¨v^T “B implique, en multi- pliant par la matriceE, que EpA¨v^Tq “EB, I.e. pEAq ¨v^T “ EB. Doncv est solution du syst`eme pEA|EBq.

R´eciproquement, si w PK^p est solution de pEA|EBq, on apEAq ¨w^T “EB. Comme E est inversible, E^´1 existe. En multipliant chaque membre de l’´egalit´e pr´ec´edente, on obtient E^´1pEAq ¨w^T “ E^´1pEBq. Comme E^´1E “ In, il en r´esulte par associativit´e l’´egalit´e A¨w^T “B, i.e.w solution de pA|Bq.

3 Ensemble des solutions d’un syst` eme d’´ equations lin´ eaires

3.1 Le nombre de solutions

3.1 Proposition. Un syst`eme d’´equations lin´eaires a (i) soit z´ero solution ;

(ii) soit une solution unique ; (iii) soit une infinit´e de solutions.

D´emonstration. Soit pA|Bqun syst`eme d’´equations lin´eaires. Supposons que ce syst`eme a au moins deux solutions distinctes v etw. Alors, pour toutλPK,

A¨ pλpv´wqq^T “λpA¨ pv^T ´w^Tqq “λpA¨v^Tq ´λpA¨w^Tq “λB´λB“0n1, i.e.λpv´wq est une solution du syst`eme homog`ene associ´e pA|0n1q `a pA|Bq. On a donc, pour toutλPK,

A¨ pv`λpv´wqq<sup>T</sup> “A¨v<sup>T</sup> `A¨ pλpv´wq^Tq “B,

i.e. v`λpv´wq solution du syst`eme pA|Bq. Montrons qu’on a ainsi obtenu une infinit´e de solutions. Soientλ, µPK,뉵. Alors

v`λpv´wq ´ pv`µpv´wqq “ pλ´µqpv´wq ‰01p

carλ´µ‰0_K etv´w ‰0_1p. Donc il y a autant de solutions de pA|Bq que d’´el´ements de K, et ce dernier ensemble est infini.

3.2 Rang d’un syst`eme d’´equations lin´eaires et nombre de param`etres D´efinition. Soient A PMn,ppKq et B PMn,1pKq. Le nombre de param`etres du syst`eme pA|Bqest la diff´erence dep(le nombre d’inconnues) par le rang du syst`eme, i.e. p´rgpAq.

Consid´erons le syst`eme pA|Bq avec A P M_n,ppKq et B P M_n,1pKq. Soit E PGL_npKq, produit de matrices ´el´ementaires, tel que Ar“EA soit la forme bien ´echelonn´ee de A et posonsBr“EB “

¨

˚

˝

˜b₁ ...

˜b_n

˛

‹

‚. Cas 1 : rgpAq “n“p.

Dans ce cas,Aest inversible,A^´1 “E et le syst`emepA|Bqest ´equivalent `apIn|A^´1Bq, i.e.X “A^´1B. L’ensemble des solutions de pA|Bqest donc le singletontpA^´1Bq^Tu.

Exemple. L’ensemble des solutions de

$

&

%

x ` 2y ´ z “ 3 x ` 3y ´ z “ 1

3x ´ y ` 2z “ ´1

estt`

3 1 ´1˘

pA^´1q^Tu, o`uA est la matrice associ´e au syst`eme.

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions. L’ensemble des solutions dansR³ est le point

Cas 2 : rgpAq “păn.

Dans ce cas, il y a plus d’´equations que d’inconnues. Alors le nombre de param`etres du syst`eme pA|Bq est nul,

Ar“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝ Ip

0 ¨ ¨ ¨ 0 ... ¨ ¨ ¨ ... 0 ¨ ¨ ¨ 0

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

et le syst`eme pA|Bq est ´equivalent au syst`emepA|rBq, i.e. `r a

$

’’

’’

’’

’’

&

’’

’’

’’

’’

%

x₁ “ ˜b₁ ... ... ... x_p “ ˜b_p

0 “ ˜bp`1

... ... ... 0 “ ˜bn

Donc, si ˜bp`1 “ ¨ ¨ ¨ “ ˜bn “ 0, alors le syst`eme pA|Bq a pour ensemble de solution le singletontp˜b₁, . . . ,˜b_pqu.

Sinon, i.e. il existe p`1 ď j ď n tel que ˜bj ‰ 0, alors le syst`eme pA|Bq n’a pas de solution et l’ensemble des solutions est H.

Exemple.

(1) R´esoudre

$

’’

&

’’

%

x ´ y ´ z “ ´5

3x ` y ` z “ 1

x ` 2y ´ 2z “ 1

x ` y ´ z “ 0

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions.L’ensemble des solutions dansR³ est le point p´1,´1{2,3{2,0q.

(2) R´esoudre

$

’’

&

’’

%

x ´ y ´ z “ 1

3x ` y ` z “ 0

x ` 2y ´ 2z “ 2 x ` y ´ z “ 2

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions.L’ensemble des solutions dansR³est l’ensemble H.

Cas 3 : rgpAq “năp.

Dans ce cas, il y a plus d’inconnues que d’´equations. Alors le nombre de param`etres du syst`emepA|Bqest ´egal `a p´n. Supposons pour simplifier que les pivots deArsont plac´es

sur lesnpremi`eres colonnes deA, i.e.r

Ar“

¨

˚

˝

˚ ¨ ¨ ¨ ˚ I_p ... ¨ ¨ ¨ ...

˚ ¨ ¨ ¨ ˚

˛

‹

‚

et le syst`eme pA|Bq est ´equivalent au syst`emepA|rBq, i.e. `r a

$

’&

’%

x1 “ ˜b1 ` comb. lin´eaire dexn`1, . . . , xp

... ... ... ... ...

xn “ ˜bn ` comb. lin´eaire dexn`1, . . . , xp

Les inconnues x₁, . . . , x_n sont appel´ees les inconnues principales et les inconnues xn`1, . . . , xp sont appel´ees les param`etres du syst`eme. L’ensemble des solutions de pA|Bq est un ensemble infini.

Exemple.

(1) R´esoudre

$

&

%

x ´ y ´ z ` t “ 0

x ´ y ` 2t “ 0

x ´ 2y ´ z ` 2t “ 0

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions.L’ensemble des solutions dansR⁴ est la droite passant parp0,0,0,0q et de vecteur directeurp´1,1,´1,1q.

(2) R´esoudre

"

x ´ y ´ z ` t “ 0 x ´ 2y ´ z ` 2t “ 0

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions. L’ensemble des solutions dans R⁴ est le plan passant par p0,0,0,0q et contenant les vecteursp1,0,1,0q etp0,1,0,1q.

(3) R´esoudre

$

&

%

x ´ y ´ z ` t “ 1

x ´ y ` 2t “ ´2

x ´ 2y ´ z ` 2t “ 5

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions.L’ensemble des solutions dansR⁴ est la droite passant par p´6,´4,´3,0q et de vecteur directeurp´1,1,´1,1q.

(4) R´esoudre

"

x ´ y ´ z ` t “ 1 x ´ 2y ´ z ` 2t “ 5

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions. L’ensemble des solutions dans R⁴ est le plan passant par p´3,´4,0,0q et contenant les vecteursp1,0,1,0q etp0,1,0,1q.

Cas 4 : rgpAq ămintn, pu.

Dans ce cas, le nombre de param`etres du syst`emepA|Bqest ´egal `ap´rgpAq. Supposons pour simplifier que les pivots deArsont plac´es sur lesr“rgpAq premi`eres colonnes deA,r i.e.

Ar“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

˚ ¨ ¨ ¨ ˚ I_p ... ¨ ¨ ¨ ...

˚ ¨ ¨ ¨ ˚ 0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0 ... ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ... 0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

et le syst`eme pA|Bq est ´equivalent au syst`emepA|rBq, i.e. `r a

$

’’

’’

’’

’’

&

’’

’’

’’

’’

%

x₁ “ ˜b₁ ` comb. lin´eaire dex<sub>r`1</sub>, . . . , x_p ... ... ... ... ...

xr “ ˜b_rgpAq ` comb. lin´eaire dexr`1, . . . , xp

0 “ ˜b_r`1 ... ... ... 0 “ ˜b_n

S’il existsr`1ďjďn tel que ˜b<sub>j</sub> ‰0, alors le syst`emepA|Bq n’a pas de solution.

Sinon, i.e. ˜br`1“ ¨ ¨ ¨ “˜bn“0, alors l’ensemble des solutions depA|Bqest un ensemble infini. Les inconnuesx<sub>1</sub>, . . . , x<sub>r</sub> sont les inconnues principales et les inconnuesx<sub>r`1</sub>, . . . , x_p sont les param`etres du syst`eme.

Exemple.

(1) R´esoudre

$

&

%

x ` y ´ z ` t “ 0 y ´ z ` 2t “ 0 x ` 2y ´ 2z ` 3t “ 0

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions. L’ensemble des solutions dans R⁴ est le plan passant par p0,0,0,0q et contenant les vecteursp0,1,1,0q etp1´2,0,1q.

(2) R´esoudre

$

&

%

x ` y ´ z ` t “ 1 y ´ z ` 2t “ 2 x ` 2y ´ 2z ` 3t “ 1

G´eom´etrie de l’ensemble des solutions.L’ensemble des solutions dansR⁴est l’ensemble videH.