Qu’est ce que la g´ eom´ etrie conforme m´ etrique ?

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Qu’est ce que la g´ eom´ etrie conforme m´ etrique ?

Pierre Pansu

25 septembre 2014

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

Th´eor`eme (Lemme de Schwarz)

Soit D⊂Cle disque unit´e. Soit f:D→D une fonction holomorphe telle que f(0) = 0. Alors|f⁰(0)| ≤1.

Corollaire (Lemme de Schwarz-Pick)

Soit f :D→D une fonction holomorphe. Alors f est 1-lipschitzienne pour la m´etrique hyperbolique.

Corollaire (Liouville)

Soit f :C→D une fonction holomorphe. Alors f est constante.

Corollaire (Picard)

Soit f :C→C\ {a,b}une fonction holomorphe. Alors f est constante.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

Th´eor`eme (Lemme de Schwarz)

Soit D⊂Cle disque unit´e. Soit f:D→D une fonction holomorphe telle que f(0) = 0. Alors|f⁰(0)| ≤1.

Corollaire (Lemme de Schwarz-Pick)

Soit f :D→D une fonction holomorphe. Alors f est 1-lipschitzienne pour la m´etrique hyperbolique.

Corollaire (Liouville)

Soit f :C→D une fonction holomorphe. Alors f est constante.

Corollaire (Picard)

Soit f :C→C\ {a,b}une fonction holomorphe. Alors f est constante.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

Th´eor`eme (Lemme de Schwarz)

Soit D⊂Cle disque unit´e. Soit f:D→D une fonction holomorphe telle que f(0) = 0. Alors|f⁰(0)| ≤1.

Corollaire (Lemme de Schwarz-Pick)

Soit f :D→D une fonction holomorphe. Alors f est 1-lipschitzienne pour la m´etrique hyperbolique.

Corollaire (Liouville)

Soit f :C→D une fonction holomorphe. Alors f est constante.

Corollaire (Picard)

Soit f :C→C\ {a,b}une fonction holomorphe. Alors f est constante.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

Th´eor`eme (Lemme de Schwarz)

Soit D⊂Cle disque unit´e. Soit f:D→D une fonction holomorphe telle que f(0) = 0. Alors|f⁰(0)| ≤1.

Corollaire (Lemme de Schwarz-Pick)

Soit f :D→D une fonction holomorphe. Alors f est 1-lipschitzienne pour la m´etrique hyperbolique.

Corollaire (Liouville)

Soit f :C→D une fonction holomorphe. Alors f est constante.

Corollaire (Picard)

Soit f :C→C\ {a,b}une fonction holomorphe. Alors f est constante.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

En dimensions sup´erieures, D´efinition

Un diff´eomorphisme entre vari´et´es riemanniennes est quasi-conforme si sa diff´erentielle envoie sph`eres (infinit´esimales) sur sph`eres.

Exemples

1 L’espace euclidien est conforme `a la sph`ere priv´ee d’un point.

2 L’espace hyperbolique est conforme `a une boule de l’espace euclidien.

3 Une boule de l’espace euclidien n’est pas conforme `a l’espace euclidien. D´ecevant: raret´e des diff´eomorphismes conformes.

En dimensionn≥3 tout diff´eomorphisme conforme entre ouverts deRⁿest la restriction d’un diff´eomorphisme conforme global de la sph`ereSⁿ, i.e. un ´el´ement du groupe de M¨obiusO(n+ 1,1).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

En dimensions sup´erieures, D´efinition

Un diff´eomorphisme entre vari´et´es riemanniennes est quasi-conforme si sa diff´erentielle envoie sph`eres (infinit´esimales) sur sph`eres.

Exemples

1 L’espace euclidien est conforme `a la sph`ere priv´ee d’un point.

2 L’espace hyperbolique est conforme `a une boule de l’espace euclidien.

3 Une boule de l’espace euclidien n’est pas conforme `a l’espace euclidien.

D´ecevant: raret´e des diff´eomorphismes conformes.

En dimensionn≥3 tout diff´eomorphisme conforme entre ouverts deRⁿest la restriction d’un diff´eomorphisme conforme global de la sph`ereSⁿ, i.e. un ´el´ement du groupe de M¨obiusO(n+ 1,1).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

En dimensions sup´erieures, D´efinition

Un diff´eomorphisme entre vari´et´es riemanniennes est quasi-conforme si sa diff´erentielle envoie sph`eres (infinit´esimales) sur sph`eres.

Exemples

1 L’espace euclidien est conforme `a la sph`ere priv´ee d’un point.

2 L’espace hyperbolique est conforme `a une boule de l’espace euclidien.

3 Une boule de l’espace euclidien n’est pas conforme `a l’espace euclidien.

D´ecevant: raret´e des diff´eomorphismes conformes.

En dimensionn≥3 tout diff´eomorphisme conforme entre ouverts deRⁿest la restriction d’un diff´eomorphisme conforme global de la sph`ereSⁿ, i.e. un ´el´ement du groupe de M¨obiusO(n+ 1,1).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

D´efinition

Un diff´eomorphisme entre vari´et´es riemanniennes est quasi-conforme si sa diff´erentielle envoie sph`eres (infinit´esimales) sur ellipso¨ıdes d’excentricit´e born´ee.

Exemple

z7→z|z|^K−1est quasi-conformeC→C.

Th´eor`eme (H. Gr¨otsch 1928)

Une boule de l’espace euclidien n’est pas quasi-conforme `a l’espace euclidien. Preuve: quasi-Lemme de Schwartz. Un diff´eomorphisme quasi-conformef de la boule satisfait

1

Ld(x,x⁰)−C≤d(f(x),f(x⁰))≤Ld(x,x⁰) +C

pour la distance hyperbolique. C’est unequasi-isom´etrie, i.e. lipschitzienne `a grande

´echelle.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

D´efinition

Un diff´eomorphisme entre vari´et´es riemanniennes est quasi-conforme si sa diff´erentielle envoie sph`eres (infinit´esimales) sur ellipso¨ıdes d’excentricit´e born´ee.

Exemple

z7→z|z|^K−1est quasi-conformeC→C.

Th´eor`eme (H. Gr¨otsch 1928)

Une boule de l’espace euclidien n’est pas quasi-conforme `a l’espace euclidien.

Preuve: quasi-Lemme de Schwartz. Un diff´eomorphisme quasi-conformef de la boule satisfait

1

Ld(x,x⁰)−C≤d(f(x),f(x⁰))≤Ld(x,x⁰) +C

pour la distance hyperbolique. C’est unequasi-isom´etrie, i.e. lipschitzienne `a grande

´echelle.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Fonctions holomorphes Diff´eomorphismes conformes Hom´eomorphismes quasi-conformes

D´efinition

Un diff´eomorphisme entre vari´et´es riemanniennes est quasi-conforme si sa diff´erentielle envoie sph`eres (infinit´esimales) sur ellipso¨ıdes d’excentricit´e born´ee.

Exemple

z7→z|z|^K−1est quasi-conformeC→C.

Th´eor`eme (H. Gr¨otsch 1928)

Une boule de l’espace euclidien n’est pas quasi-conforme `a l’espace euclidien.

Preuve: quasi-Lemme de Schwartz. Un diff´eomorphisme quasi-conformef de la boule satisfait

1

Ld(x,x⁰)−C≤d(f(x),f(x⁰))≤Ld(x,x⁰) +C

pour la distance hyperbolique. C’est unequasi-isom´etrie, i.e. lipschitzienne `a grande

´echelle.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Quasi-sym´etrie

Bords de groupes hyperboliques

Quasi-sym´etrique: hom´eomorphisme entre espaces m´etriques tel que

∀x,∀x⁰,∀x⁰⁰, d(f(x),f(x⁰))

d(f(x),f(x⁰⁰))≤η(d(x,x⁰) d(x,x⁰⁰)), o`uη∈Homeo(R+).

distorsion(f)=sup{R/r}

R r f

Exemples.

L’espace euclidien est quasi-sym´etrique `a la sph`ere priv´ee d’un point. L’espace hyperbolique n’est pas quasi-sym´etrique `a l’espace euclidien. Th´eor`eme (H. Gr¨otsch 1928)

Un hom´eomorphisme quasi-conforme de l’espace euclidien est quasi-sym´etrique.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Quasi-sym´etrie

Bords de groupes hyperboliques

Quasi-sym´etrique: hom´eomorphisme entre espaces m´etriques tel que

∀x,∀x⁰,∀x⁰⁰, d(f(x),f(x⁰))

d(f(x),f(x⁰⁰))≤η(d(x,x⁰) d(x,x⁰⁰)), o`uη∈Homeo(R+).

distorsion(f)=sup{R/r}

R r f

Exemples.

L’espace euclidien est quasi-sym´etrique `a la sph`ere priv´ee d’un point.

L’espace hyperbolique n’est pas quasi-sym´etrique `a l’espace euclidien.

Th´eor`eme (H. Gr¨otsch 1928)

Un hom´eomorphisme quasi-conforme de l’espace euclidien est quasi-sym´etrique.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Quasi-sym´etrie

Bords de groupes hyperboliques

Un groupehyperboliquea un bord `a l’infini∂G, espace compact muni d’une famille de distances visuelles.

1

R visual sphere

o

d (a,b)=e!R

o

b a

quasi-isom´etries deG ⇔ hom´eomorphismes quasi-sym´etriques de∂G De plus, les distances visuelles sont Ahlfors-r´eguli`eres.

Espace m´etrique p-Ahlfors-r´egulier: s’il existe une mesure de probabilit´eµtelle que µ(B(x,R))'R^p pourR<R0.

D’o`u la notion dejauge quasi-sym´etrique: classe d’´equivalence des distances Ahlfors-r´eguli`eres sur∂G quasi-sym´etriques `a une distance visuelle.

Cette “structure conforme microscopique” d´etermine la g´eom´etrie `a grande ´echelle de G.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Quasi-sym´etrie

Bords de groupes hyperboliques

Un groupehyperboliquea un bord `a l’infini∂G, espace compact muni d’une famille de distances visuelles.

1

R visual sphere

o

d (a,b)=e!R

o

b a

quasi-isom´etries deG ⇔ hom´eomorphismes quasi-sym´etriques de∂G De plus, les distances visuelles sont Ahlfors-r´eguli`eres.

Espace m´etrique p-Ahlfors-r´egulier: s’il existe une mesure de probabilit´eµtelle que µ(B(x,R))'R^p pourR<R0.

D’o`u la notion dejauge quasi-sym´etrique: classe d’´equivalence des distances Ahlfors-r´eguli`eres sur∂G quasi-sym´etriques `a une distance visuelle.

Cette “structure conforme microscopique” d´etermine la g´eom´etrie `a grande ´echelle de G.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Le th´eor`eme de Koebe

Un th´eor`eme de Benjamini et Schramm

Empilement de boules: collections de boules d’int´erieurs disjoints.

Graphe d’incidence: un sommet par boule, une arˆete lorsque 2 boules se touchent.

D´efinition

Un graphe est empilable dansR^d si c’est le graphe d’incidence d’un empilement de boules deR^d.

Th´eor`eme (Koebe 1931)

Un graphe est empilable dansR²si et seulement si il est planaire (i.e. plongeable dans R²).

Interpr´etation : version m´esoscopique du th´eor`eme de repr´esentation conforme.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Le th´eor`eme de Koebe

Un th´eor`eme de Benjamini et Schramm

Empilement de boules: collections de boules d’int´erieurs disjoints.

Graphe d’incidence: un sommet par boule, une arˆete lorsque 2 boules se touchent.

D´efinition

Un graphe est empilable dansR^d si c’est le graphe d’incidence d’un empilement de boules deR^d.

Th´eor`eme (Koebe 1931)

Un graphe est empilable dansR²si et seulement si il est planaire (i.e. plongeable dans R²).

Interpr´etation : version m´esoscopique du th´eor`eme de repr´esentation conforme.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Le th´eor`eme de Koebe

Un th´eor`eme de Benjamini et Schramm

D’ailleurs,

Il y a des algorithmes rapides de calcul de l’empilement de Koebe.

Lorsqu’on applique le th´eor`eme au graphe d’incidence de l’empilement de disques de mˆeme rayon contenu dans un domaine plan, ¸ca converge vers la repr´esentation conforme de ce domaine quand le rayon tend vers 0.

C’est un bon proc´ed´e algorithmique pour calculer une approximation de la repr´esentation conforme.

Th´eor`eme (Benjamini-Schramm 2013)

La grille deRⁿn’est pas empilable dansR^dsi n>d . Le graphe de Cayley d’un r´eseau cocompact de l’espace hyperbolique de dimension n>d n’est pas empilable dansR^d. Dans la suite, on s’inspire de ce th´eor`eme (et sa preuve) pour introduire une notion de plongement conforme `a grande ´echelle.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Le th´eor`eme de Koebe

Un th´eor`eme de Benjamini et Schramm

D’ailleurs,

Il y a des algorithmes rapides de calcul de l’empilement de Koebe.

Lorsqu’on applique le th´eor`eme au graphe d’incidence de l’empilement de disques de mˆeme rayon contenu dans un domaine plan, ¸ca converge vers la repr´esentation conforme de ce domaine quand le rayon tend vers 0.

C’est un bon proc´ed´e algorithmique pour calculer une approximation de la repr´esentation conforme.

Th´eor`eme (Benjamini-Schramm 2013)

La grille deRⁿn’est pas empilable dansR^dsi n>d . Le graphe de Cayley d’un r´eseau cocompact de l’espace hyperbolique de dimension n>d n’est pas empilable dansR^d. Dans la suite, on s’inspire de ce th´eor`eme (et sa preuve) pour introduire une notion de plongement conforme `a grande ´echelle.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

(N, `,R,S)-empilement: dans un espace m´etrique, c’est une collection de boulesBj

de rayonsR≤rj≤Stelle que les`Bjforment un recouvrement de multiplicit´e<N.

D´efinition

Une application f entre espaces m´etriques (doubl´ee d’une correspondance B7→B⁰ entre boules telle que f(B)⊂B⁰) est conforme `a grande ´echelle si, pour tous R≤S, N≥1et`⁰>1, il existe N⁰≥1et`≥1tels que f envoie(N, `,R,S)-empilements sur(N⁰, `⁰,0,∞)-empilements.

Exemples

Classe stable par pr´ecomposition avec les plongements uniformes et postcomposition avec les hom´eomorphismes quasi-sym´etriques.

Le mod`ele de Poincar´e de l’espace hyperbolique est (presque) un plongement conforme `a grande ´echelle de H^d dans R^d.

On peut parler de plongement conforme `a grande ´echelle entre groupes discrets de type fini ou de groupes de Lie.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

(N, `,R,S)-empilement: dans un espace m´etrique, c’est une collection de boulesBj

de rayonsR≤rj≤Stelle que les`Bjforment un recouvrement de multiplicit´e<N.

D´efinition

Une application f entre espaces m´etriques (doubl´ee d’une correspondance B7→B⁰ entre boules telle que f(B)⊂B⁰) est conforme `a grande ´echelle si, pour tous R≤S, N≥1et`⁰>1, il existe N⁰≥1et`≥1tels que f envoie(N, `,R,S)-empilements sur(N⁰, `⁰,0,∞)-empilements.

Exemples

Classe stable par pr´ecomposition avec les plongements uniformes et postcomposition avec les hom´eomorphismes quasi-sym´etriques.

Le mod`ele de Poincar´e de l’espace hyperbolique est (presque) un plongement conforme `a grande ´echelle de H^d dans R^d.

On peut parler de plongement conforme `a grande ´echelle entre groupes discrets de type fini ou de groupes de Lie.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Un groupenilpotentde type fini est `a croissance polynˆomiale de degr´e entierd(G).

Exemple:d(Rⁿ) =n. Pour le groupe d’Heisenberg, c’est la dimension plus 1. Il y a des groupes nilpotents de dimensionnavecd(G)∼n²/2.

Tous ces groupes ont un plongement conforme `a grande ´echelle dans unR^N (Assouad).

Pour un groupehyperbolique G, on d´efinit

1 ladimension conformecomme la borne inf´erieure des dimensions de Hausdorff des m´etriques dans la jauge quasi-sym´etrique du bord∂G.

2 ladimension cohomologiquecomme la borne inf´erieure desptels que L^pH¹(G)6= 0.

Exemples:CohDim≤ConfDim, l’in´egalit´e est parfois stricte (Bourdon-Pajot), mais il y a ´egalit´e pour les groupes de Lie hyperboliques.ConfDim(O(n,1)) =n−1, ConfDim(U(m,1)) = 2m.

O(n,1) a un plongement (presque) conforme `a grande ´echelle dansR<sup>n</sup>, qui a un plongement conforme `a grande ´echelle dansO(n+ 1,1).

Tout groupe hyperbolique a un plongement conforme `a grande ´echelle dans un O(N,1) (Bonk-Schramm).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Un groupenilpotentde type fini est `a croissance polynˆomiale de degr´e entierd(G).

Exemple:d(Rⁿ) =n. Pour le groupe d’Heisenberg, c’est la dimension plus 1. Il y a des groupes nilpotents de dimensionnavecd(G)∼n²/2.

Tous ces groupes ont un plongement conforme `a grande ´echelle dans unR^N (Assouad).

Pour un groupehyperbolique G, on d´efinit

1 ladimension conformecomme la borne inf´erieure des dimensions de Hausdorff des m´etriques dans la jauge quasi-sym´etrique du bord∂G.

2 ladimension cohomologiquecomme la borne inf´erieure desptels que L^pH¹(G)6= 0.

Exemples:CohDim≤ConfDim, l’in´egalit´e est parfois stricte (Bourdon-Pajot), mais il y a ´egalit´e pour les groupes de Lie hyperboliques.ConfDim(O(n,1)) =n−1, ConfDim(U(m,1)) = 2m.

O(n,1) a un plongement (presque) conforme `a grande ´echelle dansR<sup>n</sup>, qui a un plongement conforme `a grande ´echelle dansO(n+ 1,1).

Tout groupe hyperbolique a un plongement conforme `a grande ´echelle dans un O(N,1) (Bonk-Schramm).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Un groupenilpotentde type fini est `a croissance polynˆomiale de degr´e entierd(G).

Exemple:d(Rⁿ) =n. Pour le groupe d’Heisenberg, c’est la dimension plus 1. Il y a des groupes nilpotents de dimensionnavecd(G)∼n²/2.

Tous ces groupes ont un plongement conforme `a grande ´echelle dans unR^N (Assouad).

Pour un groupehyperbolique G, on d´efinit

1 ladimension conformecomme la borne inf´erieure des dimensions de Hausdorff des m´etriques dans la jauge quasi-sym´etrique du bord∂G.

2 ladimension cohomologiquecomme la borne inf´erieure desptels que L^pH¹(G)6= 0.

Exemples:CohDim≤ConfDim, l’in´egalit´e est parfois stricte (Bourdon-Pajot), mais il y a ´egalit´e pour les groupes de Lie hyperboliques.ConfDim(O(n,1)) =n−1, ConfDim(U(m,1)) = 2m.

O(n,1) a un plongement (presque) conforme `a grande ´echelle dansR<sup>n</sup>, qui a un plongement conforme `a grande ´echelle dansO(n+ 1,1).

Tout groupe hyperbolique a un plongement conforme `a grande ´echelle dans un O(N,1) (Bonk-Schramm).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Un groupenilpotentde type fini est `a croissance polynˆomiale de degr´e entierd(G).

Exemple:d(Rⁿ) =n. Pour le groupe d’Heisenberg, c’est la dimension plus 1. Il y a des groupes nilpotents de dimensionnavecd(G)∼n²/2.

Tous ces groupes ont un plongement conforme `a grande ´echelle dans unR^N (Assouad).

Pour un groupehyperbolique G, on d´efinit

1 ladimension conformecomme la borne inf´erieure des dimensions de Hausdorff des m´etriques dans la jauge quasi-sym´etrique du bord∂G.

2 ladimension cohomologiquecomme la borne inf´erieure desptels que L^pH¹(G)6= 0.

Exemples:CohDim≤ConfDim, l’in´egalit´e est parfois stricte (Bourdon-Pajot), mais il y a ´egalit´e pour les groupes de Lie hyperboliques.ConfDim(O(n,1)) =n−1, ConfDim(U(m,1)) = 2m.

O(n,1) a un plongement (presque) conforme `a grande ´echelle dansR<sup>n</sup>, qui a un plongement conforme `a grande ´echelle dansO(n+ 1,1).

Tout groupe hyperbolique a un plongement conforme `a grande ´echelle dans un O(N,1) (Bonk-Schramm).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Th´eor`eme

Soient G , G⁰des groupes de Lie ou de type fini. On suppose qu’il existe une application continue conforme `a grande ´echelle de G dans G⁰.

1 Si G et G⁰sont nilpotents, d(G)≤d(G⁰).

2 Si G et G⁰sont hyperboliques,CohDim(G)≤ConfDim(G⁰) + 1, in´egalit´e stricte siConfDim(G⁰)est atteinte maisCohDim(G)ne l’est pas.

3 Si G est nilpotent et G⁰est hyperbolique, d(G)≤ConfDim(G⁰) + 1.

4 Si G est hyperbolique et G⁰est nilpotent,CohDim(G)≤d(G⁰), in´egalit´e stricte siCohDim(G)n’est pas atteinte.

Par exemple, pas de plongement conforme `a grande ´echelle du groupe d’HeisenbergH^2m−1dansRⁿpourn<2m.

deU(m,1) dansO(n,1) pourn≤2m.

du groupe d’HeisenbergH^2m−1dansO(n,1) pourn<2m.

deU(m,1) dansRⁿpourn≤2m.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

p-´energie: siuest une application vers un espace m´etrique,Ep,N,`,R,S(u) est le sup des sommesP

jdiam(u(Bj))^psur les (N, `,R,S)-empilements. Exemple : sur un espace m´etriqued-Ahlfors-r´egulier, les applications lipschitziennes ont uned-´energie finie.

p-moduled’une famille de courbes Γ : c’est l’inf desp-´energies des applicationsuvers des espaces m´etriques telles quelong(u◦γ)≥1 pour toute courbeγ∈Γ.

p-parabolicit´e: c’est lorsque lep-module de la famille des courbes non born´ees issues d’un compact vaut 0.

Norme L^pd’une cochaˆıne: c’est le sup des sommes (P

jsup|κ_|Bj|^p)^1/psur les (N, `,R,S)-empilements (on fixeN, `,R,S).

D´efinition

La cohomologie L^pd’un espace m´etrique, c’est

L^pH^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}. La cohomologie L^p r´eduite, c’est L^pH¯^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

p-´energie: siuest une application vers un espace m´etrique,Ep,N,`,R,S(u) est le sup des sommesP

jdiam(u(Bj))^psur les (N, `,R,S)-empilements. Exemple : sur un espace m´etriqued-Ahlfors-r´egulier, les applications lipschitziennes ont uned-´energie finie.

p-moduled’une famille de courbes Γ : c’est l’inf desp-´energies des applicationsuvers des espaces m´etriques telles quelong(u◦γ)≥1 pour toute courbeγ∈Γ.

p-parabolicit´e: c’est lorsque lep-module de la famille des courbes non born´ees issues d’un compact vaut 0.

Norme L^pd’une cochaˆıne: c’est le sup des sommes (P

jsup|κ_|Bj|^p)^1/psur les (N, `,R,S)-empilements (on fixeN, `,R,S).

D´efinition

La cohomologie L^pd’un espace m´etrique, c’est

L^pH^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}. La cohomologie L^p r´eduite, c’est L^pH¯^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

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p-´energie: siuest une application vers un espace m´etrique,Ep,N,`,R,S(u) est le sup des sommesP

jdiam(u(Bj))^psur les (N, `,R,S)-empilements. Exemple : sur un espace m´etriqued-Ahlfors-r´egulier, les applications lipschitziennes ont uned-´energie finie.

p-moduled’une famille de courbes Γ : c’est l’inf desp-´energies des applicationsuvers des espaces m´etriques telles quelong(u◦γ)≥1 pour toute courbeγ∈Γ.

p-parabolicit´e: c’est lorsque lep-module de la famille des courbes non born´ees issues d’un compact vaut 0.

Norme L^pd’une cochaˆıne: c’est le sup des sommes (P

jsup|κ_|Bj|^p)^1/psur les (N, `,R,S)-empilements (on fixeN, `,R,S).

D´efinition

La cohomologie L^pd’un espace m´etrique, c’est

L^pH^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}. La cohomologie L^p r´eduite, c’est L^pH¯^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

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p-´energie: siuest une application vers un espace m´etrique,Ep,N,`,R,S(u) est le sup des sommesP

jdiam(u(Bj))^psur les (N, `,R,S)-empilements. Exemple : sur un espace m´etriqued-Ahlfors-r´egulier, les applications lipschitziennes ont uned-´energie finie.

p-moduled’une famille de courbes Γ : c’est l’inf desp-´energies des applicationsuvers des espaces m´etriques telles quelong(u◦γ)≥1 pour toute courbeγ∈Γ.

p-parabolicit´e: c’est lorsque lep-module de la famille des courbes non born´ees issues d’un compact vaut 0.

Norme L^pd’une cochaˆıne: c’est le sup des sommes (P

jsup|κ_|Bj|^p)^1/psur les (N, `,R,S)-empilements (on fixeN, `,R,S).

D´efinition

La cohomologie L^pd’un espace m´etrique, c’est

L^pH^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}. La cohomologie L^p r´eduite, c’est L^pH¯^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

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p-´energie: siuest une application vers un espace m´etrique,Ep,N,`,R,S(u) est le sup des sommesP

jdiam(u(Bj))^psur les (N, `,R,S)-empilements. Exemple : sur un espace m´etriqued-Ahlfors-r´egulier, les applications lipschitziennes ont uned-´energie finie.

p-moduled’une famille de courbes Γ : c’est l’inf desp-´energies des applicationsuvers des espaces m´etriques telles quelong(u◦γ)≥1 pour toute courbeγ∈Γ.

p-parabolicit´e: c’est lorsque lep-module de la famille des courbes non born´ees issues d’un compact vaut 0.

Norme L^pd’une cochaˆıne: c’est le sup des sommes (P

jsup|κ_|Bj|^p)^1/psur les (N, `,R,S)-empilements (on fixeN, `,R,S).

D´efinition

La cohomologie L^pd’un espace m´etrique, c’est

L^pH^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}. La cohomologie L^p r´eduite, c’est L^pH¯^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

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Th´eor`eme

Soit Y un espace m´etrique compact, d -Ahlfors-r´egulier. S’il existe une application continue, conforme `a grande ´echelle, de X dans Y , alors

1 ou bien X est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(X)6= 0.

D´emonstration.

1 Naturalit´e : la composition avec une applicationf conforme `a grande ´echelle pr´eserve les fonctions d’´energie finie. En particulier, siY estd-Ahlfors-r´egulier, Ed(f)<∞.

2 SiL^dH¹(X) = 0, toute application d’´energie finie vers un espace m´etrique complet poss`ede une limite. Doncf poss`ede une limitey.

3 SurY \ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny. Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

4 Une application d’´energie finie poss`ede une limite le long de presque toute courbe. En particulier,f poss`ede une limite le long de presque toute courbe.

5 SiL^dH¯¹(X) = 0, cette limite estp-presque toujours la mˆeme,y.

6 Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞le long de presque toute courbe. Donc presque toute courbe = aucune courbe, c’est lap-parabolicit´e.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

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Th´eor`eme

Soit Y un espace m´etrique compact, d -Ahlfors-r´egulier. S’il existe une application continue, conforme `a grande ´echelle, de X dans Y , alors

1 ou bien X est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(X)6= 0.

D´emonstration.

1 Naturalit´e : la composition avec une applicationf conforme `a grande ´echelle pr´eserve les fonctions d’´energie finie. En particulier, siY estd-Ahlfors-r´egulier, Ed(f)<∞.

2 SiL^dH¹(X) = 0, toute application d’´energie finie vers un espace m´etrique complet poss`ede une limite. Doncf poss`ede une limitey.

3 SurY \ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny. Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

4 Une application d’´energie finie poss`ede une limite le long de presque toute courbe. En particulier,f poss`ede une limite le long de presque toute courbe.

5 SiL^dH¯¹(X) = 0, cette limite estp-presque toujours la mˆeme,y.

6 Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞le long de presque toute courbe. Donc presque toute courbe = aucune courbe, c’est lap-parabolicit´e.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

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Th´eor`eme

Soit Y un espace m´etrique compact, d -Ahlfors-r´egulier. S’il existe une application continue, conforme `a grande ´echelle, de X dans Y , alors

1 ou bien X est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(X)6= 0.

D´emonstration.

1 Naturalit´e : la composition avec une applicationf conforme `a grande ´echelle pr´eserve les fonctions d’´energie finie. En particulier, siY estd-Ahlfors-r´egulier, Ed(f)<∞.

2 SiL^dH¹(X) = 0, toute application d’´energie finie vers un espace m´etrique complet poss`ede une limite. Doncf poss`ede une limitey.

3 SurY \ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny. Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

4 Une application d’´energie finie poss`ede une limite le long de presque toute courbe. En particulier,f poss`ede une limite le long de presque toute courbe.

5 SiL^dH¯¹(X) = 0, cette limite estp-presque toujours la mˆeme,y.

6 Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞le long de presque toute courbe. Donc presque toute courbe = aucune courbe, c’est lap-parabolicit´e.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

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Th´eor`eme

Soit Y un espace m´etrique compact, d -Ahlfors-r´egulier. S’il existe une application continue, conforme `a grande ´echelle, de X dans Y , alors

1 ou bien X est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(X)6= 0.

D´emonstration.

1 Naturalit´e : la composition avec une applicationf conforme `a grande ´echelle pr´eserve les fonctions d’´energie finie. En particulier, siY estd-Ahlfors-r´egulier, Ed(f)<∞.

2 SiL^dH¹(X) = 0, toute application d’´energie finie vers un espace m´etrique complet poss`ede une limite. Doncf poss`ede une limitey.

3 SurY\ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny.

Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

4 Une application d’´energie finie poss`ede une limite le long de presque toute courbe. En particulier,f poss`ede une limite le long de presque toute courbe.

5 SiL^dH¯¹(X) = 0, cette limite estp-presque toujours la mˆeme,y.

6 Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞le long de presque toute courbe. Donc presque toute courbe = aucune courbe, c’est lap-parabolicit´e.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

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Th´eor`eme

Soit Y un espace m´etrique compact, d -Ahlfors-r´egulier. S’il existe une application continue, conforme `a grande ´echelle, de X dans Y , alors

1 ou bien X est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(X)6= 0.

D´emonstration.

1 Naturalit´e : la composition avec une applicationf conforme `a grande ´echelle pr´eserve les fonctions d’´energie finie. En particulier, siY estd-Ahlfors-r´egulier, Ed(f)<∞.

2 SiL^dH¹(X) = 0, toute application d’´energie finie vers un espace m´etrique complet poss`ede une limite. Doncf poss`ede une limitey.

3 SurY\ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny.

Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

4 Une application d’´energie finie poss`ede une limite le long de presque toute courbe. En particulier,f poss`ede une limite le long de presque toute courbe.

5 SiL^dH¯¹(X) = 0, cette limite estp-presque toujours la mˆeme,y.

6 Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞le long de presque toute courbe. Donc presque toute courbe = aucune courbe, c’est lap-parabolicit´e.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Th´eor`eme

Soit Y un espace m´etrique compact, d -Ahlfors-r´egulier. S’il existe une application continue, conforme `a grande ´echelle, de X dans Y , alors

1 ou bien X est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(X)6= 0.

D´emonstration.

1 Naturalit´e : la composition avec une applicationf conforme `a grande ´echelle pr´eserve les fonctions d’´energie finie. En particulier, siY estd-Ahlfors-r´egulier, Ed(f)<∞.

2 SiL^dH¹(X) = 0, toute application d’´energie finie vers un espace m´etrique complet poss`ede une limite. Doncf poss`ede une limitey.

3 SurY\ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny.

Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

4 Une application d’´energie finie poss`ede une limite le long de presque toute courbe. En particulier,f poss`ede une limite le long de presque toute courbe.

5 SiL^dH¯¹(X) = 0, cette limite estp-presque toujours la mˆeme,y.

6 Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞le long de presque toute courbe. Donc presque toute courbe = aucune courbe, c’est lap-parabolicit´e.

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Th´eor`eme

Soit Y un espace m´etrique compact, d -Ahlfors-r´egulier. S’il existe une application continue, conforme `a grande ´echelle, de X dans Y , alors

1 ou bien X est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(X)6= 0.

D´emonstration.

1 Naturalit´e : la composition avec une applicationf conforme `a grande ´echelle pr´eserve les fonctions d’´energie finie. En particulier, siY estd-Ahlfors-r´egulier, Ed(f)<∞.

2 SiL^dH¹(X) = 0, toute application d’´energie finie vers un espace m´etrique complet poss`ede une limite. Doncf poss`ede une limitey.

3 SurY\ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny.

Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

4 Une application d’´energie finie poss`ede une limite le long de presque toute courbe. En particulier,f poss`ede une limite le long de presque toute courbe.

d¯¹

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Tout groupe nilpotentG poss`ede un plongement quasi-sym´etrique dans un espace compactd(G)-Ahlfors r´egulierY. De plus,L^pH¯¹(G) = 0 pour toutp, etG est p-parabolique si et seulement sip≥d(G).

Proposition (Troyanov)

Un groupe de type fini G est p-parabolique si et seulement si la croissance du volume est polynˆomiale de degr´e≤p. D’apr`es Gromov, cela entraˆıne que G est virtuellement nilpotent.

D´emonstration. D’apr`es Coulhon et Saloff-Coste, croissance du volume>R<sup>p</sup> ⇒ isop´erim´etrie meilleure que celle deR<sup>p</sup> ⇒(Ahlfors) nonp-parabolique. SiG<sup>0</sup>est nilpotent, on applique le th´eor`eme `ap=d(G⁰). SiG est nilpotent, on conclut queG estp-parabolique, doncp≥d(G). SiG est hyperbolique, on conclut queL^pH¯¹(G)6= 0, doncp≥CohDim(G).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Tout groupe nilpotentG poss`ede un plongement quasi-sym´etrique dans un espace compactd(G)-Ahlfors r´egulierY. De plus,L^pH¯¹(G) = 0 pour toutp, etG est p-parabolique si et seulement sip≥d(G).

Proposition (Troyanov)

Un groupe de type fini G est p-parabolique si et seulement si la croissance du volume est polynˆomiale de degr´e≤p. D’apr`es Gromov, cela entraˆıne que G est virtuellement nilpotent.

D´emonstration. D’apr`es Coulhon et Saloff-Coste, croissance du volume>R^p ⇒ isop´erim´etrie meilleure que celle deR^p ⇒(Ahlfors) nonp-parabolique.

SiG⁰est nilpotent, on applique le th´eor`eme `ap=d(G⁰). SiG est nilpotent, on conclut queG estp-parabolique, doncp≥d(G). SiG est hyperbolique, on conclut queL^pH¯¹(G)6= 0, doncp≥CohDim(G).

G´eom´etrie conforme infinit´esimale G´eom´etrie conforme microscopique G´eom´etrie conforme m´esoscopique G´eom´etrie conforme `a grande ´echelle

Empilements Quelques r´esultats Parabolicit´e et cohomologie Applications

Un groupe hyperbolique non ´el´ementaire est nonp-parabolique pour toutp.

Lemme (Shchur, g´en´eralisation du mod`ele de Poincar´e)

Si G⁰est un groupe hyperbolique, alors G⁰se plonge (presque) conform´ement `a grande ´echelle dansR×∂G<sup>0</sup>. De plus, si f :X→G<sup>0</sup> est conforme `a grande ´echelle, la composition donne un plongement (presque) conforme `a grande ´echelle X→R×∂G<sup>0</sup>. SiG<sup>0</sup>est hyperbolique, on applique le th´eor`eme `a unp>ConfDim(G) + 1 et Y =R×∂G<sup>0</sup> o`u∂G⁰est muni d’une distancep-Ahlfors-r´eguli`ere dans la jauge (p=ConfDim(G) + 1 si la dimension conforme est atteinte). SiG est nilpotent, on conclut queG estp-parabolique, doncp≥d(G). SiG est hyperbolique, on conclut queL^pH¯¹(G)6= 0, doncp≥CohDim(G) (p>CohDim(G) si la dimension cohomologique n’est pas atteinte).

Questions

1 Un arbre a-t-il un plongement conforme `a grande ´echelle dans un disque ?

2 Quels sont les espaces m´etriques qui poss`edent un plongement conforme `a grande

´

echelle dans un arbre ?

3 Y a-t-il un analogue `a grande ´echelle du th´eor`eme de repr´esentation conforme ?

4 Y a-t-il une th´eorie des submersions conformes `a grande ´echelle ?