I134. La réparation de la vasque
Vous devez réparer une vasque située au centre d’un bassin d’eau circulaire de 15 mètres de diamètre.
Vous disposez de quatre planches de 10 mètres de long chacune.
Pouvez-vous accéder au centre du bassin sans mettre un doigt de pied dans l’eau ?
Déterminer le nombre minimum de planches de 10 mètres de long qui vous permettent d’accéder au centre d’un bassin circulaire de 16 mètres de diamètre.
Solution proposée
On suppose que les planches doivent être appuyées, soit sur le bord circulaire du bassin, soit sur les planches déjà en place.
Le principe adopté est de se rapprocher progressivement du centre.
Constatation générale :
On suppose qu’une planche déjà en place recouvre tout ou partie de la corde AB.
On veut disposer la planche CD en choisissant de manière optimale le point C sur la planche située sur AB.
Cet optimum est atteint quand la distance OE entre le centre O et le segment CD est minimum.
On pourra ainsi disposer la planche suivante à partir de ce point E.
Le point C peut parcourir le segment AB ?
Deux côtés du triangle OCD sont de longueur fixe (CD=C’D’=10m et OD=OD’=7,5m) Le côté OC est minimum quand C est au milieu I de la corde AB.
Il en résulte que la hauteur OE est minimum quand C est en I.
Conclusion : On place la première extrémité de la nouvelle planche sur le milieu de la corde définie par la planche précédente et l’autre extrémité sur le bord du bassin.
Tentative N°1 :
On tourne en spirale en disposant la première extrémité de la planche sur le milieu de la corde recouverte en totalité ou en partie par la planche précédente, l’autre extrémité étant sur le bord du bassin (on pourrait choisir d’avancer en zig-zag, le résultat étant inchangé à cause des symétries)
La planche N°1 s’appuie sur les bords du bassin en A et B ;
La planche N°2 s’appuie sur le milieu C de la corde AB et le bord du bassin D ; La planche N°3 s’appuie sur le milieu E de la corde C1D et le bord du bassin F ; La planche N°4 s’appuie sur le milieu G de la corde E1F et le bord du bassin H.
On constate (avec Geogebra pour éviter les calculs fastidieux) que la planche N°4 est encore à 1,11m du centre O Ce processus ne permet pas d’accéder au centre du bassin sans mettre un doigt de pied dans l’eau.
Il faudrait une cinquième planche pour parvenir à atteindre O.
Tentative N°2 :
On va dérouler le même processus pour les planches 1 et 2.
La planche N°1 s’appuie sur les bords du bassin en A et B ;
La planche N°2 s’appuie sur le milieu C de la corde AB et le bord du bassin en D.
Mais on disposera la planche N°3 sur l’autre demi-cercle parallèlement à la planche N°2 La planche N°3 s’appuie sur les bords du bassin en E et F.
Soit G le milieu de C1D et H le milieu de EF, Geogebra nous donne une longueur HG (passant par O) de 9,74 m.
Il suffit donc de mettre la planche N°4 sur HG.
Ce processus permet d’accéder au centre du bassin sans mettre un doigt de pied dans l’eau.
En faisant un calcul plus précis hors Geogebra on obtient confirmation (origine des axes en O) :
Bassin circulaire de 16 m et planches de 10m :
On vérifie facilement que la solution précédente ne permet pas d’atteindre le centre du bassin.
Montrons qu’une 5ème planche suffit pour l’atteindre.
On va dérouler le même processus pour les planches 1 et 2.
La planche N°1 s’appuie sur les bords du bassin en A et B ;
La planche N°2 s’appuie sur le milieu C de la corde AB et le bord du bassin en D.
La planche N°3 s’appuie sur les bords du bassin en E et F (E et F symétrique de A et B par rapport à O) ; La planche N°4 s’appuie sur le milieu G de la corde EF et le bord du bassin en H.
Soit J le milieu de C1D et I le milieu de G1H, Geogebra nous donne une longueur IJ (passant par O) de 9,99 m.
Il suffit donc de mettre la planche N°4 sur IJ.
Ce processus permet d’accéder au centre du bassin sans mettre un doigt de pied dans l’eau en utilisant uniquement 5 planches.
En faisant un calcul plus précis hors Geogebra on obtient confirmation (origine des axes en O) :
PS : On pourrait rêver d’une solution plus optimale avec 2 planches seulement pour les bassins de 15m ou 16m, voire avec 3 planches si on veut plus de stabilité…
….mais il faudrait accepter de travailler la tête en bas pour réparer la vasque en ayant les pieds retenus par une corde de près de 6m accrochée au sommet de la pyramide constituée par les planches.
Il faudrait alors envisager de recruter un alpiniste.
Planche 1 Planche 1 Planche 2
Planche 1 Planche 1
Planche 2
Planche 1 Planche 3
Planche 1
