E436. Le bon vieux tic-tac-toé
A tour de rôle le joueur A et le joueur B écrivent respectivement le chiffre 1 et le chiffre 0 dans l’un des cases vides d’une matrice M(3x3) jusqu’à la remplir avec cinq « 1 » et quatre « 0 ». Le joueur A gagne si le
déterminant associé à M est non nul et a contrario le joueur B gagne si ce déterminant est nul. En supposant que les deux joueurs adoptent des stratégies optimales, quel est le gagnant ? Pourquoi ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Montrons qu’il existe une stratégie permettant au joueur B de gagner à coup sûr.
Le joueur A place son premier 1. La permutation de lignes ou de colonnes conserve la valeur absolue du déterminant. On peut donc supposer sans nuire à la généralité que A joue en ligne 1, colonne 1. Le joueur B décide alors de placer son premier 0 en ligne 3, colonne 3.
1 . . . . . . . 0
Le joueur A place son deuxième 1. La transposition conserve le déterminant. On peut donc supposer sans nuire à la généralité que A joue dans l’une des quatre positions possibles au-dessus ou sur la diagonale principale. Le joueur B joue alors en ligne 3, colonne 2.
1 1 . . . .
. 0 0 ; 1 . 1 . . .
. 0 0 ; 1 . . . 1 .
. 0 0 ; 1 . . . . 1 . 0 0
Le coup suivant du joueur A est alors d’empêcher la formation d’une ligne de 0 qui annulerait immédiatement le déterminant de la matrice. Il joue alors en ligne 3, colonne 1.
1 1 . . . .
1 0 0 ; 1 . 1 . . .
1 0 0 ; 1 . . . 1 .
1 0 0 ; 1 . . . . 1 1 0 0
Si on développe le déterminant selon la troisième ligne, on constate qu’il est égal à celui de la matrice extraite en supprimant ligne 3 et colonne 1. Cette matrice contient un 1 et trois positions inoccupées.
1 1 . . . .
1 0 0 ; 1 . 1 . . .
1 0 0 ; 1 . . . 1 .
1 0 0 ; 1 . . . . 1 1 0 0 Le joueur B joue alors en position diamétralement opposée au 1 dans la matrice extraite.
1 1 . . . 0
1 0 0 ; 1 . 1 . 0 .
1 0 0 ; 1 . 0 . 1 .
1 0 0 ; 1 0 . . . 1 1 0 0
Quelque soit le coup suivant de A, le joueur B peut conclure en plaçant un 0 dans l’une des positions inoccupées de l’autre diagonale de la matrice extraite, annulant son déterminant, et du même coup celui de la matrice M.
Le joueur B remporte donc la partie.
