E436 : Le bon vieux tic-tac-toe
A tour de rôle le joueur A et le joueur B écrivent respectivement le chiffre 1 et le chiffre 0 dans l’un des cases vides d’une matrice M(3x3) jusqu’à la remplir avec cinq « 1 » et quatre « 0 ». Le joueur A gagne si le déterminant associé à M est non nul et a contrario le joueur B gagne si ce déterminant est nul. En supposant que les deux joueurs adoptent des stratégies optimales, quel est le gagnant ? Pourquoi ?
Le déterminant sera nul si trois zéros sont alignés sur une ligne ou une colonne, ou encore si quatre zéros forment un carré. Montrons que le joueur B peut toujours obtenir cette configuration. Soit la matrice :
a b c
d e f
g h j
Quitte à intervertir les lignes ou les colonnes, on peut toujours supposer que A met le premier 1 en a : B met alors le premier zéro dans la case centrale e. Quelle que soit la case où A pose le deuxième 1, il suffit alors à B de poser un deuxième 0 au milieu d’un des cotés judicieusement choisi. A doit alors éviter que B puisse aligner trois zéros, et son coup est forcé. B peut ensuite poser un zéro formant avec les précédents trois sommets d’un carré dont le quatrième est vide, et un alignement de deux avec la case suivante vide : A ne peut parer les deux menaces…
Le tableau ci-dessous récapitule, en fonction du deuxième coup de A (2A), l’enchaînement des coups et le dilemme final :
2A 2B 3A 3B
b f d j c/h
c h b d f/g
d h b j f/g
f h b g d/j
g h b f g/j
h f d c b/j
j h b d f/g
