Feuille d’exercices n˚12 D´ enombrement

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚12 D´ enombrement

Exercice 174 : Une compagnie a´erienne dessert 6 villes : Lille, Rennes, Nice, Bordeaux, Nantes et Dijon. On appelle ligne a´erienne desservie par cette compagnie tout trajet joignant deux de ces villes (Rennes-Nice et Nice-Rennes d´esignent la mˆeme ligne).

1. Combien la compagnie met-elle de lignes en service ?

2. Quel serait le nombre de lignes si la compagnie desservait une ville suppl´ementaire ?

Exercice 175 : On lance 3 d´es de couleurs diff´erentes.

1. Combien y a-t-il de r´esultats possibles ? 2. Combien de fois peut-on obtenir un 421 ?

Exercice 176 : Soitn∈N^∗.ncoureurs `a pied participent au marathon d’Amilly. On suppose qu’il n’y a pas d’ex-æquo dans le classement final.

1. Donner le nombre de classements possibles.

2. Donner le nombre de podiums possibles.

Exercice 177 : Julia a le choix entre quatre confitures diff´erentes pour ´etaler sur une tartine, une biscotte et un toast. Combien a-t-elle de possibilit´es, sachant qu’elle peut ´eventuellement, en plus de la confiture, les beurrer ?

Exercice 178 : Combien peut-on former de nombres de 9 chiffres en utilisant trois chiffres 2, deux chiffres 5 et quatre chiffres 7.

Exercice 179

1. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot´ev`enement? 2. Combien y en a-t-il si on enl`eve les accents ?

Exercice 180 : Un sac contient 26 jetons portant les lettres de l’alphabet. On tire successivement, sans remise, 6 lettres. Combien peut-on former de mots de 6 lettres :

1. qui soient diff´erents ?

2. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles et les autres des consonnes ? 3. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles ?

Exercice 181 : Dans une salle se trouvent 8 gar¸cons et 8 filles.

1. De combien de mani`eres peut-on les r´epartir en couples gar¸con/fille ?

2. De combien de mani`eres peut-on les disposer en file indienne en alternant les sexes ?

1

Exercice 182 :

1. Combien y a-t-il de pi`eces dans un jeu de dominos ?

2. On tire successivement 2 dominos. Combien y a-t-il de tirages de deux dominos ayant un num´ero en commun ?

Exercice 183 : On consid`ere un pavage carr´e `a nlignes etncolonnes. On dispose depjetons tous identiques.

1. Combien y-a-t-il de dispositions diff´erentes des jetons sachant que lespjetons doivent se trouver sur des cases diff´erentes ? (On commencera par indiquer une condition surppour qu’au moins une telle disposition existe.) 2. Combien y a-t-il de dispositions diff´erentes des jetons sachant que lespjetons doivent se trouver sur des cases

diff´erentes avec un jeton par ligne et un jeton par colonne au maximum ? (On commencera par indiquer une condition surppour qu’au moins une telle disposition existe.)

Exercice 184 : Soitn∈N^∗. D´eterminer le nombre le surjections d’un ensemble `a n+ 3 ´el´ements dans un ensemble

`

a n´el´ements.

Exercice 185 : Un club de football est compos´e de 20 joueurs dont 3 gardiens de but. Combien d’´equipes diff´erentes de 11 joueurs dont un gardien peut-on former ? (On ne tient pas compte de la place des joueurs, sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans les buts.)

Exercice 186 :

1. ´Enoncer la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux.

2. Soitn∈N^∗. Montrer par r´ecurrence surnque :

∀p∈J1, nK C_n^p =C_n−1^p−1+C_n−2^p−1+. . .+C_p−1^p−1.

Exercice 187 : On dispose d’un jeu de 32 cartes. Combien peut-on former de mains de 5 cartes comportant : 1. exactement un as ?

2. au moins un as ? 3. une couleur unique ?

4. l’as de tr`efle et 2pique exactement ? 5. un as exactement et 2pique exactement ?

Exercice 188 : SoitE un ensemble de cardinal n(n∈N^∗).

1. Combien y a-t-il de couples (A, B) de partiesEtels que : A∪B=E etA∩B=∅? 2. Combien y a-t-il de couples (A, B) de partiesEtels que : A⊂B?

F Exercice 189 : Soientb, n∈N^∗. On consid`ere une urne remplie deb boules blanches indiscernables et denboules noires indiscernables. On extrait les boules de l’urne, une `a une, jusqu’`a ce que l’urne soit vide.

1. Quel est le nombre de fa¸cons de faire ?

2. Soitk∈N^∗tel quek≥b. Quel est le nombre de fa¸cons de faire pour que la derni`ere boule blanche soit enk-i`eme position ?

Exercice 190 : Soitn∈N^∗.

1. D´eterminer le nombre de couples (x, y)∈J1, nK

2 tels quex > y.

2

2. D´eterminer le nombre de couples (x, y)∈J1, nK

2 tels quex≥y.

3. D´eterminer le nombre de triplets (x, y, z)∈J1, nK

3tels que x > y > z.

F Exercice 191 : Soient n ≥ 2 et k ≥ 2 deux entiers. Une urne contient n boules num´erot´ees de 1 `a n. On tire successivement, avec remise,kboules de cette urne. Pour touti∈J1, kK, on notexile num´ero de lai-`eme boule tir´ee.

D´eterminer le nombre de tirages pour lesquels : 1. x₁< x_k.

2. La somme des num´eros tir´es est ´egale `ak+ 2.

3. Exactement deux num´eros identiques sont apparus au cours du tirage.

Exercice 192 : On consid`ere les ensembles E={a, b, c}et F =J1,5K. 1. Combien existe-t-il d’applications deE dansF?

2. Combien existe-t-il d’applicationsf deE dansF telles quef(a) = 1 ? 3. Combien existe-t-il d’applicationsf deE dansF telles quef(a)6=f(b) ? 4. Combien existe-t-il d’applications injectives deE dansF?

5. Combien existe-t-il d’applications surjectives deE dansF? 6. Combien existe-t-il d’applications deE×F dansF³?

Exercice 193 : On dispose d’un ensemble de 52 cartes `a jouer. D´eterminer le nombre de mains de 7 cartes comportant : 1. exactement 4pique ;

2. 4pique au moins ;

3. unepaire (2 cartes de mˆeme hauteur) et une seule ; 4. exactement un roi et exactement 3tr`efle ;

5. une couleur unique.

F Exercice 194 : Soitp∈N^∗. Combien y a-t-il de nombres strictement inf´erieurs `a 10^p dont la somme des chiffres est 8 ?

F Exercice 195 : Soientb, r, n∈N^∗. De combien de fa¸cons diff´erentes peut-on r´epartirbboules blanches indiscernables et rboules rouges indiscernables dansnboˆıtes indiscernables, chaque boˆıte pouvant accueillir un nombre quelconque de boules ?

F Exercice 196

1. De combien de fa¸cons peut-on choisir 6 entiers non cons´ecutifs compris entre 1 et 49 (1 et 49 inclus) ?

2. De combien de fa¸cons peut-on choisir 6 entiers deux `a deux non cons´ecutifs compris entre 1 et 49 (1 et 49 inclus) ?

F Exercice 197 : SoientA,B etC trois parties d’un mˆeme ensemble finiE. On suppose que :

Card(E) = 20 Card(A) = 11 Card(B) = 14 Card(C) = 10

Card(A∩B) = 7 Card(A∩C) = 6 Card(A∩B∩C) = 5.

Calculer :

1. Card(B∪C) ; 2. Card(A∩B) ;

3. Card((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)).

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