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Feuille d’exercices n˚7 D´ enombrement

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Academic year: 2022

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L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚7 D´ enombrement

Exercice 105 : Une compagnie a´erienne dessert 6 villes : Lille, Rennes, Nice, Bordeaux, Nantes et Dijon. On appelle ligne a´erienne desservie par cette compagnie tout trajet joignant deux de ces villes (Rennes-Nice et Nice-Rennes d´esignent la mˆeme ligne).

1. Combien la compagnie met-elle de lignes en service ?

2. Quel serait le nombre de lignes si la compagnie desservait une ville suppl´ementaire ?

Exercice 106 : On lance 3 d´es de couleurs diff´erentes.

1. Combien y a-t-il de r´esultats possibles ? 2. Combien de fois peut-on obtenir un 421 ?

Exercice 107 : Combien peut-on former de nombres de 9 chiffres en utilisant trois chiffres 2, deux chiffres 5 et quatre chiffres 7.

Exercice 108 : Soitp∈N. Combien y a-t-il de nombres strictement inf´erieurs `a 10p dont la somme des chiffres est 8 ?

Exercice 109

1. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot´ev`enement? 2. Combien y en a-t-il si on enl`eve les accents ?

Exercice 110 : Soitn∈N.ncoureurs `a pied participent au marathon d’Amilly. On suppose qu’il n’y a pas d’ex-æquo dans le classement final.

1. Donner le nombre de classements possibles.

2. Donner le nombre de podiums possibles.

Exercice 111 : Un sac contient 26 jetons portant les lettres de l’alphabet. On tire successivement, sans remise, 6 lettres. Combien peut-on former de mots de 6 lettres :

1. qui soient diff´erents ?

2. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles et les autres des consonnes ? 3. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles ?

Exercice 112 : Dans une salle se trouvent 8 gar¸cons et 8 filles.

1. De combien de mani`eres peut-on les r´epartir en couples gar¸con/fille ?

2. De combien de mani`eres peut-on les disposer en file indienne en alternant les sexes ?

F Exercice 113 : Soient k, n ∈N. De combien de fa¸cons peut-on disposer k drapeaux discernables sur n poteaux discernables (chaque poteau est suppos´e suffisamment grand pour pouvoir recevoir les k drapeaux et l’ordre des drapeaux sur un mˆeme poteau est `a prendre en compte) ?

1

(2)

Exercice 114 :

1. Combien y a-t-il de pi`eces dans un jeu de dominos ?

2. On tire successivement 2 dominos. Combien y a-t-il de tirages de deux dominos ayant un num´ero en commun ?

Exercice 115 : On consid`ere un pavage carr´e `a nlignes etncolonnes. On dispose depjetons tous identiques.

1. Combien y-a-t-il de dispositions diff´erentes des jetons sachant que lespjetons doivent se trouver sur des cases diff´erentes ? (On commencera par indiquer une condition surppour qu’au moins une telle disposition existe.) 2. Combien y a-t-il de dispositions diff´erentes des jetons sachant que lespjetons doivent se trouver sur des cases

diff´erentes avec un jeton par ligne et un jeton par colonne au maximum ? (On commencera par indiquer une condition surppour qu’au moins une telle disposition existe.)

Exercice 116 : Soitn∈N. D´eterminer le nombre le surjections d’un ensemble `a n+ 3 ´el´ements dans un ensemble

`

a n´el´ements.

Exercice 117 :

1. ´Enoncer la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux.

2. Soitn∈N. Montrer par r´ecurrence surnque :

∀p∈J1, nK Cnp =Cn−1p−1+Cn−2p−1+. . .+Cp−1p−1.

Exercice 118 : On dispose d’un jeu de 32 cartes. Combien peut-on former de mains de 5 cartes comportant : 1. exactement un as ?

2. au moins un as ? 3. une couleur unique ?

4. l’as de tr`efle et 2pique exactement ? 5. un as exactement et 2pique exactement ?

Exercice 119 : SoitE un ensemble de cardinal n(n∈N).

1. Combien y a-t-il de couples (A, B) de partiesEtels que : A∪B=E etA∩B=∅? 2. Combien y a-t-il de couples (A, B) de partiesEtels que : A⊂B?

Exercice 120 : Soient b, n∈N. On consid`ere une urne remplie de bboules blanches indiscernables et de nboules noires indiscernables. On extrait les boules de l’urne, une `a une, jusqu’`a ce que l’urne soit vide.

1. Quel est le nombre de fa¸cons de faire ?

2. Soitk∈Ntel quek≥b. Quel est le nombre de fa¸cons de faire pour que la derni`ere boule blanche soit enk-i`eme position ?

Exercice 121 : Soitn∈N.

1. D´eterminer le nombre de couples (x, y)∈J1, nK

2 tels quex > y.

2. D´eterminer le nombre de couples (x, y)∈J1, nK

2 tels quex≥y.

3. D´eterminer le nombre de triplets (x, y, z)∈J1, nK

3tels que x > y > z.

F Exercice 122 : Soient n ≥ 2 et k ≥ 2 deux entiers. Une urne contient n boules num´erot´ees de 1 `a n. On tire successivement, avec remise,kboules de cette urne. Pour touti∈J1, kK, on notexile num´ero de lai-`eme boule tir´ee.

D´eterminer le nombre de tirages pour lesquels : 1. x1< xk.

2. La somme des num´eros tir´es est ´egale `ak+ 2.

3. Exactement deux num´eros identiques sont apparus au cours du tirage.

2

(3)

Exercice 123 : On consid`ere les ensembles E={a, b, c}et F =J1,5K. 1. Combien existe-t-il d’applications deE dansF?

2. Combien existe-t-il d’applicationsf deE dansF telles quef(a) = 1 ? 3. Combien existe-t-il d’applicationsf deE dansF telles quef(a)6=f(b) ? 4. Combien existe-t-il d’applications injectives deE dansF?

5. Combien existe-t-il d’applications surjectives deE dansF? 6. Combien existe-t-il d’applications deE×F dansF3?

Exercice 124 : On dispose d’un ensemble de 52 cartes `a jouer. D´eterminer le nombre de mains de 7 cartes comportant : 1. exactement 4pique ;

2. 4pique au moins ;

3. unepaire (2 cartes de mˆeme hauteur) et une seule ; 4. exactement un roi et exactement 3tr`efle ;

5. une couleur unique.

F Exercice 125 : Soientb, r, n∈N. De combien de fa¸cons diff´erentes peut-on r´epartirbboules blanches indiscernables et rboules rouges indiscernables dansnboˆıtes indiscernables, chaque boˆıte pouvant accueillir un nombre quelconque de boules ?

F Exercice 126

1. De combien de fa¸cons peut-on choisir 6 entiers non cons´ecutifs compris entre 1 et 49 (1 et 49 inclus) ?

2. De combien de fa¸cons peut-on choisir 6 entiers deux `a deux non cons´ecutifs compris entre 1 et 49 (1 et 49 inclus) ?

F Exercice 127 : Soienta, b, c, d∈Cet soitn∈N. On d´eveloppe (a+b+c+d)n et on ´ecrit le r´esultat sous la forme la plus r´eduite possible, i.e. :

X

(α,β,γ,δ)∈An

mα,β,γ,δ × aαbβcγdδ

o`u An est l’ensemble des 4-uplets (α, β, γ, δ) d’´el´ements de J0, nK tels que α+β+γ+δ =n et o`u mα,β,γ,δ est un coefficient num´erique.

1. Dans cette question, on suppose quen= 3.

(a) Calculer Card(A3).

(b) ´Ecrire (a+b+c+d)3sous la forme X

(α,β,γ,δ)∈A3

mα,β,γ,δ × aαbβcγdδ.

(c) Calculermα,β,γ,δ pour chaque (α, β, γ, δ)∈A3. 2. On suppose maintenantnquelconque.

(a) Calculer Card(An).

(b) Calculermα,β,γ,δ pour chaque (α, β, γ, δ)∈An.

F Exercice 128 : SoientA,B etC trois parties d’un mˆeme ensemble finiE. On suppose que :

Card(E) = 20 Card(A) = 11 Card(B) = 14 Card(C) = 10

Card(A∩B) = 7 Card(A∩C) = 6 Card(A∩B∩C) = 5.

Calculer :

1. Card(B∪C) ; 2. Card(A∩B) ;

3. Card((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)).

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