Donner la réponse correcte.

Exercice1 : (3points)

Donner la réponse correcte.

1) lim

→ ^π

π)

− ^π

=:

2) 703 est un nombre : a) composé ; b) premier

3) Soit un entier naturel alors le nombre + 2 est premier avec : a) 2 + ² ; b) + 3 ; c) 2 + 4

Exercice2: (5points)

On considère la fonction définie sur ℝ par : ( ) = ² −

a) Vérifier que f est périodique de période 2

b) Montrer qu’il suffit d’étudier f sur [0, ].

c) Résoudre dans [0, ] l’équation ( ) = 0.

2) a) Dresser le tableau de variation de f sur[0, ].

b) Tracer ( ) courbe représentative de la restriction de f sur [− , ].

3) Soit g la fonction définie par ( ) = ² −

En utilisant la courbe de f, tracer la courbe de g (expliquer).

Exercice3: (4points) Soit un entier naturel

1) a) Vérifier que ( − 1)(1 + + ² + ) = − 1 b) En déduire que 2 − 1 est divisible par 7.

2) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul ; 2 − 1 est divisible par 7.

b) En déduire 2 − 2 2 − 4 sont divisibles par 7.

c) Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 des nombres suivants.

2 ; 2 ; 2

Lycée Thelepte

A.S :2009-2010

Devoir de contrôle n°3

Epreuve

Mathématiques Durée : 3

Section : 3

math

Enseg : H.Salem

Exercice4: (3points)

On lance un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Soient les deux événements suivants :

A : « Obtenir un multiple de 3 » ; B : « Obtenir un nombre supérieure ou égale à 3 »

Soit é

On suppose que = 3 , = = = = et ( ) = .

1) Déterminer a et b sachant que ( ) = .

2) En déduire la probabilité d’avoir un nombre impair.

Exercice5: (5points)

Une urne contient boules blanches et rouges indiscernables au toucher.

I) On tire au hasard et successivement boules de l’urne en remettant chaque fois la boule tirée dans l’urne. Calculer la probabilité des événements suivants :

A « Obtenir exactement deux boules blanches » B « Obtenir trois boules de même couleur » D « Obtenir au moins une boule rouge »

II) L’épreuve consiste maintenant à effectuer tirages successifs en remettant la boule tirée dans l’urne si elle est rouge, on le remettant pas si elle est blanche.

1) Dans cette question on prend = 3.

Soit l’événement

“

”

b) Qu’elle est la probabilité d’obtenir une seule boule blanche.

2) Déterminer en fonction de , la probabilité de tirer au moins une boule blanche en tirages.

BON TRAVAIL

Correction

1)

lim

π

– ^π é é : → sin 2x – ^π

3 en^π

6

⇒ lim

→ π sin (2x − π 3) x − π

6

= 2 cos 2 ×π 6−π

3 = 2

2) 703 est un nombre composé car 703 = 19 × 37.

3)

Si n est un entier naturel alors le nombre + 2 est premier avec n+3.

1) a) ∀ ∈ ; + 2 ∈ ( + 2 ) = cos²( + 2 ) − ( + 2 ) = ² − =

( ).

b) f est paire, en effet ; ∀ ∈ ;− ∈ (− ) = cos²(− ) − (− ) = ² −

= ( ), et comme f est périodique de période 2 donc il suffit d’étudier f sur [0, ].

c) ( ) = 0 ⇔ ² − = 0 ⇔ ( − 1) = 0 ⇔ = 0 = 1 ⇔ = = ⇔ _{[ , ]}= {0, }.

2) a) f est dérivable sur IR et ∀ x ∈ IR ; ( ) =−2 + = (1−2 ).

( ) = 0 ⇔ = 0 = ⇔ = 0 = = .

c) On a :∀ ∈ ; − = − =

et, donc ( ) = ² −₂ − −₂ = −

Ainsi la courbe représentative de g est déduite à partir de celle de f par une translation du vecteur ⃗.

1) a)

( − 1)(1 + + ² + ) = + ² + + − 1 − − ² − = − 1.

b) On prend n = 2³, on obtient :

(2 − 1)(1 + 2 + 2 + 2 ) = (2 ) − 1 ⇔ 7 × (1 + 2 + 2 + 2 ) = 2 − 1.

0

+ +

−

-- +

-- +

3

− 1 4

D’où 2 − 1 est divisible par 7.

2) a) Montrons par récurrence que ∀ ∈ ℕ; 2 − 1 est divisible par 7.

Pour n =1 : 2 ^× − 1 = 7: Divisible par 7.

Supposons que 2 − 1 est divisible par 7 et montrons que 2 ^{( )}− 1 est divisible par 7.

2 ^{( )}− 1 = 2 + 2 − 1 = 2 × 8 − 1 = 2 (7 + 1) − 1 = 7 × 2 + 2 − 1

b) 2^{3 +1}− 2 = 2³ ×2 − 2 = 2(2³ − 1)qui est divisible par 7.

2 − 4 = 2 ×4 − 4 = 4(2 − 1) qui est divisible par 7.

c) 2 = 2 ^× = (2 ^× − 1) + 1 d’où le reste de la division euclidienne de 2 par 7 est 1.

2 = 2 = 2 ^× − 2 + 2 = (2 ^× − 2) + 2 .

d’où le reste de la division euclidienne de 2 par 7 est 2.

2 = 2 ^× − 4 + 4 = (2 ^× − 4) + 4

d’où le reste de la division euclidienne de

1) On a ∶

∑ p = 1⇒ p₁+ p₂+ p

3+ p₄+ p₅+ p₆= 1 ⇒ a + 3p₆+ a + a + a + p₆= 1⇒ 4 + 4 ₆ (1)

p(A) = b ⇒ p + p = b or p = 3p ⇒ 4 = donc (1) ⇒4 + = 1 (2) p( B ) = 1− ⇒ p + p = ⇒2a =³

4 ⇒ a = donc (2) ⇒ b = 1−4× = . D’où a = , b = et =

2) soit q la probabilité d’obtenir un nombre impaire. On

q =

8+³

8+¹

8= ⁵

8

I) ●

( ) = × × × =

=

9

×

9

×

9

+

9

×

9

×

9

=

729

B, B, B, B, B R, R, R, R

Divisible par 7 Divisible par 7

Divisible par 7

Divisible par 7

● Soit l’événement « n’obtenir aucune boule rouge » On a ( ) =⁵

3

9³= ⇒ ( ) = 1− = .

II) 1) a) E1 « seule la première boule est blanche ». ( ) = ( ) = × × = ×

=

E2 « seule la 2^ème boule est blanche. ( ) = ( ) = × × = E3 « seule la 3^ème boule est blanche. ( ) = ( ) = × × =

b) La probabilité d’obtenir une seule boule blanche est ( ∪ ∪ ) Or les évènements , sont incompatibles,

donc ( ∪ ∪ ) = ( )+ ( ) + ( ) =

× + ^× + ^×

= ^{× ²}

× + ^{× × ×}

× + ^{× ×}

× = ≅ 0,37

1) Soit la probabilité de ne tirer aucune boule blanche en n tirage c'est-à-dire toutes les boules tirées sont rouges.

D’où = × × … .× = d’où = 1 − .

Fin